3. Формальная логика

3.1. Исчисление высказываний

Формальная математическая логика решает проблемы проверки правильности рассуждений в естественном языке, строя свои модели и правила их преобразования. Законы формальной логики, адекватные законам мышления человека для многих приложений, были разработаны еще Аристотелем. В результате конкретизации выводов формальной логики – новых полученных формул – мы можем оценить свойства исходных предложений и получить новые предложения естественного языка.

Из всего разнообразия естественного языка логика высказываний имеет дело только с узким кругом утверждений – повествовательных предложений, которым может быть приписано значение «истина» либо «ложь» (True и False). Каждое элементарное высказывание обозначается буквой. Кроме простейших высказываний, структура которых не анализируется (они поэтому называются атомами), вводится понятие сложного высказывания или формулы – комбинации более простых высказываний. Каждой формуле также можно приписать значение «истина» либо «ложь», и такое значение определяется на основе анализа логических операций между элементарными высказываниями.

Очевидно, что логика высказываний и теория булевых функций имеют теснейшую связь: обе эти модели являются булевыми алгебрами. Фактически, двоичные функции представляют собой функциональную модель логики высказываний, в которой атомные высказывания истолковываются как двоичные переменные. Истинностные значения истина и ложь в логике соответствуют 1 и 0 в модели двоичных функций, пара основных логических связок – отрицание и импликация – составляют базис, и все остальные производные логические связки соответствуют известным нам булевым функциям.

Тождественно истинная формула, т.е. такая формула, которая принимает значение 1 на всех интерпретациях ее элементов, называется тавтологией. Тождественно ложная формула, принимающая значение 0 на всех интерпретациях ее элементов, называется противоречием. Для указания того, что данная формула является тавтологией, используется знак |=, который помещается перед формулой, например: |=(А→В) (В→С) А→С. Для того чтобы проверить, является ли логическая формула тавтологией, можно составить таблицу истинности или привести к нормальной форме и использовать законы логики Буля.

Тавтологии или силлогизмы можно рассматривать как некоторые логические истинные схемы рассуждений, поэтому они играют роль законов логики высказываний. Впервые силлогизмы исследовались Аристотелем и имели фиксированную форму. Наиболее часто используемые из них следующие:

А→А – закон тождества;

А – закон исключения третьего;

–закон противоречия;

~ А – закон двойного отрицания;

→(А →В) – falso quodlibet (из ложного что угодно);

(А →В)А→В – закон отделения или modus ponens;

(А →В) →– modus tollens (доказательство от противного);

(А →В) (В→С) →(А →С) – закон силлогизма;

(А →В) →(→) –закон контрапозиции.

Две формулы называются равносильными, если на всех наборах входных переменных они принимают одинаковые значения. Для обозначения отношения равносильности употребляют символ «», и равносильность илилогическая эквивалентность формул А и В запишется как АВ (на естественном языке это будет звучать так: «А тогда и только тогда, когда В»).

В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, т.е. на отношении, которое существует между причиной и следствием. При этом объектный символ импликации «→» заменяют на субъектный символ метаимпликации «». Говорят, что формула В являетсялогическим следствием формулы А и пишут АВ – «если А то В». Логическое следствие АВ означает, что из истинности А следует истинность В, но если А ложно, то относительно В ничего утверждать нельзя. Между логическим следствием и логической эквивалентностью имеется связь, которая вытекает из соотношения

А ~ В(А→В)(В→А).

Это соотношение означает: А ~ В, если и только если А→В и В→А.

Пусть А ~ В – тавтология, тогда А→В и В→А – тоже тавтологии, т.е. |= А ~ В, если и только если |= А→В и |= В→А.

Логическое следствие есть отношение порядка и удовлетворяет трем законам: - рефлексивности: АА;

- антисимметричности: если АВ, то ВА;

- транзитивности: если АВ и ВС, то АС.

Вместо букв в логическое следствие можно поставить объектные высказывания, и тогда она наполнится конкретным содержанием, которое называется легендой.

Например: имеем А→В, АВ. Если принять, что А –сверкнула молния, В – грянул гром, то можно составить следующую легенду: «Известно, что если сверкнула молния, то грянет гром. Молния сверкнула, следовательно, должен грянуть гром».

Формализация процессов доказательств и выводов в логике высказываний имеет большое практическое значение и позволяет построить схемы доказательств, которые могут быть реализованы на ЭВМ. Доказательство здесь строится на отношении порядка, которое является общим случаем отношения эквивалентности. Логика высказываний является расширением логики Буля, поэтому все истинные тождества логики Буля автоматически становятся справедливыми логическими следствиями логики высказываний.