3. Логика высказываний

3.1. Основные определения и законы логики высказываний

Высказывание представляет собой некоторое грамматическое повествование, которое может быть истинным или ложным, например: «Я пойду в театр» (А), «Я встречу друга» (В). Понятно, что если высказывание истинно (А=1), то его отрицание (инверсия) (=0) ложно. Высказывание может быть сложным, образованным с помощью логических функций. Дизъюнкция высказываний А  В «Я пойду в театр или встречу друга» будет истинна при условии, что истинно хотя бы одно из них. Конъюнкция А  В (АВ) «Я пойду в театр и встречу друга» истинна, если истинны оба высказывания.

В логике высказываний широко используют еще две логические операции: импликацию, соответствующую связке «если, то», и эквивалентность А ~ В, соответствующую связке «если и только если», «тогда и только тогда, когда». Для наших примеров импликация высказываний, «Если я пойду в театр, то встречу друга» ложна только тогда, когда первое из простых высказываний истинно, а второе ложно. Это, собственно, следует из логического уравнения, определяющего импликацию А → В =  В. Эквивалентность высказываний «Я пойду в театр, если и только если встречу друга» будет являться истинной, когда оба простые высказывания истинны или оба ложны, что также следует из логического уравнения А ~ В = А В. Зададим еще одно простое высказывание «Мой друг пойдет в театр» (С). Тогда можно представить сложное высказывание « Если мой друг пойдет в театр, то я пойду в театр и встречу друга» логической формулой С → А В.

Тождественно истинная формула, т.е. такая формула, которая принимает значение 1 при любых значениях ее элементов, называется тавтологией. Тождественно ложная формула, принимающая значение 0 при любых наборах ее элементов, называется противоречием. Для указания того, что данная формула является тавтологией, используется знак |=, который помещается перед формулой, например: |=(А→В) (В→С) А→С. Для того чтобы проверить, является ли логическая формула тавтологией, можно составить таблицу истинности или привести к нормальной форме и использовать законы логики Буля. Так, для нашего примера имеем:

(А→В) (В→С) А→С = ( В) ( С) А→С =(С  В С)А→ С =

= А В С → С = С =   А =   (А  ) =  1 = 1.

Тавтологии можно рассматривать как некоторые логические истинные схемы рассуждений или утверждений, поэтому они играют роль законов логики высказываний. Наиболее часто используемые из них следующие:

А→А – закон тождества;

А – закон исключения третьего;

–закон противоречия;

~ А – закон двойного отрицания;

А→(В→А) – закон добавления антецедента или verum ex quodlibet

(истина из чего угодно);

→(А →В) – falso quodlibet (из ложного что угодно);

(А →В)А→В – закон отделения или modus ponens;

(А →В) →– modus tollens

(А →В) (В→С) →(А →С) – закон силлогизма;

(А →В) →( →) – закон контрапозиции.

Две формулы называются равносильными, если на всех наборах входных переменных эти формулы принимают одинаковые значения. Для обозначения отношения равносильности в логике высказываний употребляют символ «», и равносильность формулА и В запишется как АВ.Равносильность в логике высказываний – это отношение эквивалентности, поэтому равносильность называют также логической эквивалентностью.

Между отношением равносильности и эквивалентности формул существует следующая связь: если А и В равносильны, то А ~ В – тавтология, и обратно, если А ~ В – тавтология, то А и В – равносильны. Это можно записать так: |= А~В, если и только если АВ.Справедливость этого утверждения следует непосредственно из определения равносильности и таблицы истинности для эквивалентности.

В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, т.е. на отношении, которое существует между причиной и следствием. При этом объектный символ импликации «→» заменяют на субъектный символ метаимпликации «». Говорят, что формулаВ является логическим следствием формулы А и пишут АВ,если В истинно на всех наборах значений переменных, для которых А истинно. Логическое следствие АВозначает, что из истинности А следует истинность В, но если А ложно, то относительно В ничего утверждать нельзя. Во избежание путаницы введем еще два метасимвола: субъектный символ метаконъюнкции – «,» и метадизъюнкции – «;». В дальнейшем условимся логическое следствие называть клаузой (clause).

Между логическим следствием (клаузой) и логической эквивалентностью имеется связь, которая вытекает из соотношения

А ~ В(А→В)(В→А).

Это соотношение означает: А ~ В, если и только если А→В и В→А.

Пусть А ~ В – тавтология, тогда А→В и В→А – тоже тавтологии, т.е. |= А ~ В, если и только если |= А→В и |= В→А.

Клауза есть отношение порядка и удовлетворяет трем законам:

- рефлексивности: АА;

- антисимметричности: если АВ, то ВА;

- транзитивности: если АВ и ВС, то АС.

Клауза – это формальная запись доказываемого предложения. Вместо букв в ней можно поставить объектные высказывания, и тогда она наполнится конкретным содержанием, которое называется легендой.

Например: имеем клаузу А→В, АВ. (1)

Если принять, что А – сверкнула молния, В – грянул гром, то можно составить следующую легенду: «Известно, что если сверкнула молния, то грянет гром. Молния сверкнула, следовательно, должен грянуть гром».