4. Логика предикатов

4.1. Действия над предикатами и кванторами

С логической точки зрения двоичные объекты, что мы рассматривали в алгебре логики (Булевой), – это высказывания, которые могут быть истинными или ложными. Формулы – это составные высказывания, истинность которых определяется истинностью входящих в них элементарных высказываний (А, В или С) и логическими операциями над этими элементарными высказываниями (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.).

Предикат – это функциональное высказывание. Логика предикатов – это расширение логики высказываний за счет использования предикатов в роли логических функций. Эти функции несколько отличаются от Булевых функций. Булева функция однородна, т.е. для нее область значений функции и область изменения аргументов по типу одна и та же – логическая (либо истина, либо ложь). Для предикатов же область значений функции – логическая, а область изменения аргументов – предметная, отсюда следует вывод, что эта функция неоднородна.

Таким образом, функцию Р, принимающую одно из значений – 0 или 1, аргументы которой могут принимать любое число значений из произвольного множества М, будем называть предикатом Р в предметной области М. Число аргументов предиката Р ( х₁, х₂, …, х_n) называется его порядком.

Приведем примеры предикатных функций. Пусть имеется ряд простых высказываний:

P₁ = x₁ > A, P₂= x₂ > A, …, P_n = x_n > A.

Вместо высказываний P₁, P₂,…, P_nможно ввести одноместный предикатР(х),для которого переменнаяхпринимала бы значения из предметной области–х = { x₁, x₂,…, x_n }, а сама предикатная функция записалась бы так:

Р(х) = «х > A».

Теперь изменим исходный ряд высказываний на другой:

P₁ = x₁ > у₁, P₂= x₂ > у₂ , …, P_n = x_n > у_n.

Здесь можно ввести уже двухместный предикат Р(х,у) = «x > у» с дополнительной предметной областью у = { у₁,, у₂,…, у_n }.

Введем трехместный предикат Р(х,у,z), который, допустим, означает, что «х есть сумма у и z ». Если какой-нибудь переменной задать конкретное значение, скажем х = 5, то тогда трехместный предикат превратится в двухместный Р(5,у,z) = Р¢(у,z) = «5 есть сумма у и z».

При х = 5иу = 3получим одноместный предикат:

Р(5,3,z) = Р¢(3, z) = Р¢¢(z) = «5 есть сумма 3 и z».

Наконец, если добавить условие z = 2, то исходный предикат становитсянульместным предикатом (константой или высказыванием), который в данном случае принимаетистинноезначение:

Р₁ =Р(5,3,2) = «5 есть сумма 3 и 2» = 1.

Но могло случиться, что z = 1, тогда имело бы место ложное высказывание: Р₀ =Р(5,3,1) = «5 есть сумма 3 и 1» = 0.

Таким образом, при замещении переменной х_i предметной постоянной а_i происходит превращение n-местного предиката Р( х₁, …, х_i, …, х_n) в (n –1)-местный предикат Р( х₁, …, а_i, …, х_n). Приписав конкретные значения всем аргументам предикатной функции, мы тем самым получаем предикатную константу.

Функциональная природа предиката влечет за собой введение еще одного понятия – квантора. Пусть P(x) – предикат, определенный на некотором множестве «М». Высказывание: «для всех x  M значение P(x) истинно» обозначается символом и называется квантором общности (“All”). Другое высказывание: «существует хотя бы одно значение x  M, при котором P(x) истинно» называется квантором существования и обозначается символом (“Exist”). Выставляя кванторы перед предикатами, мы как бы усиливаем или ослабляем их действие.

С другой стороны, выражение P(x) = 1 означает, что конъюнкция всех значений предикатной функции равна 1:

P(x) = P(x₁)  P(x₂)  P(x₃)  ··· = 1.

Аналогично, квантор существования перед предикатом P(x) = 1 означает, что дизъюнкция всех значений предикатной функции равна 1:

P(x) = P(x₁)  P(x₂)  P(x₃)  ··· = 1.

Оба квантора можно выражать один через другой на основании закона Де Моргана:

P(x) == (x₁)  (x₂)  (x₃)  =(x),

P(x) = = (x₁)  (x₂)  (x₃) ·=(x).

Отсюда

(x) = P(x) и (x) = P(x).

Переход от P(x) к P(x) или к P(x) называется связыванием переменной x, а также навешиванием квантора на переменную x. Переменная, на которую навешивается квантор, называется связанной переменной; несвязанная переменная называется свободной. Свободная переменная – это обычная переменная, которая может принимать любые значения из множества М.

Если выражение P(x) – переменное высказывание, зависящее от значения x, то выражения P(x) или P(x) не зависят от переменной x и при фиксированных значениях P и M превращают одноместный предикат в высказывание.

Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты, и вообще на любые логические выражения. Выражение, на которое навешивается квантор, называется областью действия квантора. Навешивание квантора на n-местный предикат уменьшает в нем число свободных переменных, превращая его в (n – 1)-местный предикат. Если на n-местный предикат навесить k кванторов, то он превращается в (n – k)-местный предикат.

Например, пусть P(x) = «x – четное число». Тогда высказывание P(x) истинно на любом множестве M четных чисел и ложно, если M содержит хотя бы одно нечетное число. Высказывание P(x) истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно четное число, и ложно на любом множестве нечетных чисел.

Рассмотрим двухместный предикат P(x, y) = «x ≥ y» на множествах M. Навешивая квантор (x ≥ y), получаем одноместный предикат от y – «Для всех x из множества M высказывание «x ≥ y» – истинно. Если M – множество положительных чисел, то этот предикат истинен в единственной точке при y = 0. Если навесим предикат на вторую переменную (x ≥ y), то тогда истинность получим лишь на множестве, состоящем из одного элемента.

Высказывание (x ≥ y) – «существует такое x , что для любого числа y – (x ≥ y)», утверждает, что на множестве имеется единственный максимальный элемент. Оно истинно на любом конечном множестве целых чисел и ложно на множестве {}. Высказывание (x ≥ y), утверждающее, что «для любого элемента y существует x не меньший, чем y», истинно на любом непустом множестве. Последние два примера показывают, что перестановка кванторов существования и общности меняет смысл высказывания и условия его истинности.