1.2 Некоторые модели случайных графов
В данной главе рассматриваются три основных модели случайных графов.
Первая модель была предложена в 1999 г. Альбертом Барабаши и Реки Альберт, которые независимо открыли процесс предпочтительного присоединения.
Другой рассмотренной моделью является модель Дункана Уаттса и Стивена Строгатца предложенная ими в 1998 г. Ими был обнаружен эффект, названный «тесным миром».
Третьей описанной моделью является модель Эрдеша-Реньи для генерации случайных графов. Она была предложена на рубеже 50-х и 60-х годов.
1.2.1 Модель графа Барабаши ‑ Альберт
Модель графа Барабаши – Альберт (граф БА) представляет собой алгоритм генерации случайных безмасштабных сетей с использованием правила предпочтительного связывания (ПС).
Правило предпочтительного связывания говорит, что чем большую степень связности имеет вершина, тем выше вероятность присоединения к ней новых вершин. Если для присоединения выбирать вершину случайным образом, то вероятность выбора определённой вершины будет пропорциональна её степени связности. Данное правило соответствует принципу «богатый становится богаче».
Данный граф выращивается из небольшого графа-затравки, у которого степень связности каждой вершины должны быть не меньше единицы.
Каждая новая вершина присоединяется к уже существующим вершинам с вероятностью пропорциональной степени связности этих вершин. Вероятность pi того, что вершина присоединится к i-ой вершине равна:
,
(1)
где ki –степень i-ой вершины [2].
1.2.2 Модель графа Уаттса – Строгатца
Большинство моделей сложных сетей представляют собой численную реализацию графа и генерируются на компьютере. Данная же модель появилась задолго до свободного распространения вычислительной техники.
Д.Уаттс и С. Строгатц обнаружили феномен, характерный для многих реальных сетей, названный эффектом «тесного мира».
Модель «тесного мира» состоит в том, что перебирая круг своих ближайших знакомых, затем людей, знающих наших ближайших знакомых (но не знающих нас непосредственно), и т.д. легко убедиться в следующем: достаточно проследить за небольшим числом цепочек таких знакомств, чтобы понять, что любой из нас опосредовано знаком с любым членом общества. В этом смысле наш мир является тесным, откуда и пошло название этой модели [3].
Сетевые структуры, соответствующие свойствам малых миров, обладают следующими типичными свойствами: малая средняя длина пути относительно диаметра сети (что характерно также для случайных сетей) и большой коэффициент кластеризации.
При исследовании этого феномена ими была предложена процедура построения наглядной модели сети, которой присущ этот феномен.
Чтобы построить сеть «тесного мира», следует начать с регулярной циклической решётки с N вершинами, каждая из которых соединена с k ближайшими соседями в каждом направлении. Для каждой вершины задаётся 2k связей, где N >> log2 (N) >> 1. Затем каждое ребро пересоединяется со случайной парой вершин с вероятностью p.
При условии p = 0 получается упорядоченная решётка с большим количеством циклов и большими расстояниями, а при условии p → 1 сеть становится случайным графом с короткими расстояниями, и малым количеством циклов.
Данная сеть может иметь три состояния:
− регулярная сеть, каждый узел которой соединён с четырьмя соседними;
− та же сеть, у которой некоторые «ближние» связи случайным образом заменены более «дальними» (именно в этом случае возникает феномен «тесного мира»);
− случайная сеть, в которой количество подобных замен превысило некоторый установленный порог [4].
На рисунке 1 представлена иллюстрация данной модели.
Рисунок 1 – Модель графа Уаттса-Строгатса [4]
Параметр p в данной модели отвечает за переброс рёбер в случайные положения. Так по рисунку 1 можно увидеть трансформацию из регулярной цепочки в модель «тесного мира», а затем в случайный граф.
Компьютерная модель «малого мира» была разработана Уаттсом и Строгатсом несколькими годами позже.
Модель Уаттса-Строгатса представляет собой модель генерации случайного графа, имеющего высокий коэффициент кластеризации вершин [3] и относительно небольшую среднюю длину пути.