2.2. Скалярное произведение векторов

рис Скалярным произведением вектора на векторназываетсячисло

,

где .

Например,

Свойства скалярного произведения.

Приложения скалярного произведения

1. .

2. .

2а. .

3.

4. Работа постоянной силы при перемещении вдоль вектора равна.

Пример 2.3. Найти угол между векторами и .

Решение.

Ответ:

2.3. Векторное произведение векторов

Тройка некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторовв указанном порядке образуетправую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого векторако второму векторунаблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называетсялевой.

Например, – правая тройка,– левая.

Рис Векторным произведением векторана векторназываетсявектор такой, что

Свойства векторного произведения.

Приложения векторного произведения

1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и, равна.
2. Момент силы , приложенной к точке, относительно точкиравен.

Пример 2.3. Найти векторное произведение векторов , если известны координаты точек.

Решение. Сначала найдем координаты векторов по правилу «конец минус начало»:

. Далее возможны два способа решения.

I способ. Запишем векторы в виде и, с учетом свойствполучим:

Всем пунктам определения векторного произведения отвечает вектор, таким образом.

II способ. Векторы заданы в базисе. Если ввести третью координату (например, 0), то можно найти их векторное произведение, пользуясь свойством_:

Определитель в правой части

Ответ:

2.4. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов называетсячисло

.

Свойства вытекают из свойств скалярного и векторного произведений. В частности

.

Приложения смешанного произведениярис

1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен.

1а. Векторы компланарны.

2. Тройка правая; тройкалевая.

Пример 2.4. Выяснить, лежат ли векторы в одной плоскости. Найти смешанное произведение векторов , если

Решение. I способ. Воспользуемся результатом примера 2.3 и вычислим смешанное произведение по определению:

найденным ранее (см.) произведением

II способ. С учетом правила «конец минус начало», замечания… и свойства , получим:

2.5. Пространство .

Последовательность из действительных чисел, расположенных в определенном порядке, называется-мерным вектором. Совокупность всех -мерных векторов () обозначим. Введем воперации сложения и умножения на вещественное число поэлементно: ,

нуль-вектором назовем вектор, все координаты которого равны нулю: .

Множество, на котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие обычным свойствам арифметических действий, называется линейным пространством. Таким образом, множество с введенными выше операциями является линейным пространством.

Совокупность из векторов пространствабудем называтьлинейно независимой, если их линейная комбинация

(*)

лишь при условии .В противном случае, т.е. если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется равенство (*), совокупность назовемлинейно зависимой.

Так, например, векторы в пространствеявляются линейно зависимыми, т.к. существует их нетривиальная (не все равны нулю) линейная комбинация, равная нуль-вектору: .

Обозначим – вектор из , все координаты которого равны нулю, за исключением- ой, которая равна:

.

Эта система векторов линейно независима, и любой вектор единственным образом можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:

.

Любая система векторов, обладающих такими свойствами, называетсябазисом пространства .

В случаях векторможно рассматривать как вектор, заданный своими проекциями на оси координат. Тогда в «привычных» обозначениях: системаявляется базисом в пространстве, а– в.

В существует бесконечное множество базисов. В частности, в– это любая пара неколлинеарных, а в– любая тройка некомпланарных векторов.

Покажем, что векторы образуют базис в, и найдем разложение векторапо базису

1. Составим линейную комбинацию . Выясним условия на, при которых эта комбинация дает.

Определитель полученной однородной системы , значит (см. замечание к теме «СЛАУ») она имеет только тривиальное решение .

2. Найдем координаты вектора в этом базисе: .

Ответ: . (На рис результат проиллюстрирован геометрически.)