3.5 Полный факторный эксперимент (пфэ)

3.5.1. Матрица планирования эксперимента. Её свойства.

В ПФЭ каждый фактор варьируется на двух уровнях. Число возможных комбинаций уровней факторов будет:

N=2^k, (3.14)

где k- число факторов.

Таким образом, эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней факторов, называют полным факторным экспериментом.

Условия эксперимента удобно представлять в виде таблицы, называемой матрицей планирования или планом эксперимента, который включает «собственно план» и вспомогательные столбцы, служащие для обработки уже проведённого эксперимента.

При большом числе опытов и факторов удобно пользоваться следующим правилом для составления матрицы планирования ПФЭ: в первом столбце х₁ знаки «плюс» и «минус» меняются поочередно; во второмх₂ – через два; в третьем – через четыре; в четвертом – через восемь и т.д. Матрица планирования эксперимента 2³cэффектами взаимодействия имеет вид, приведенный в табл. 3.2.

Таблица 3.2

№ опыта	х0	х 1	х 2	х 3	х 1 х 2	х 1 х 3	х 2 х 3	х 1 х 2 х 3	yi
1	+	+	+	+	+	+	+	+	y 1
2	+	–	+	+	–	–	+	–	y2
3	+	+	–	+	–	+	–	–	y3
4	+	–	–	+	+	–	–	+	y4
5	+	+	+	–	+	–	–	–	y5
6	+	–	+	–	–	+	–	+	y6
7	+	+	–	–	–	–	+	+	y7
8	+	–	–	–	+	+	+	–	y8
	N	0	0	0	0	0	0	0

Построенный таким образом план ПФЭ обладает свойствами:

• симметричностиотносительно центра эксперимента – сумма элементов каждого столбца равна нулю

; (3.13)

• нормировки– сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов

; (3.14)

• ортогональности – сумма построчных произведений элементов двух любых столбцов равна нулю

, . (3.15)

Ортогональность является важным свойством планов ПФЭ, поскольку оценка всех коэффициентов уравнения регрессии производится независимо друг от друга и факторы, имеющие незначимые коэффициенты могут быть выведены из состава уравнения без повторного вычисления остальных коэффициентов уравнения регрессии;

• ротабельности, которая означает одинаковость предсказательной способности уравнений, полученных по планам ПФЭ по всем направлениям от начала координат, т.е. дисперсия предсказания зависит только от радиуса сферы, на которой расположена рассматриваемая точка.

Указанные выше свойства планов ПФЭ существенно упрощают расчетные формулы по определению оценок коэффициентов линейных моделей.

Геометрически матрица планирования представляет квадрат, куб, k –мерный гиперкуб, в зависимости от числа факторов, в котором вершины являются опытными точками.

Рис. 3.2. Геометрическая интерпретация матрицы планирования 2².

В общем случае линейная модель имеет вид

. (3.16)

3.5.2. Метод наименьших квадратов. Оценка коэффициентов модели.

Поскольку при проведении ПФЭ число опытов определяется величиной N= 2^k, то для идентификации четырехфакторной линейной модели, которая содержит 5 неизвестных коэффициентов, необходимо провести 16 опытов. В этом случае число уравнений, которые можно составить после проведения опытов по плану ПФЭ, превышает число неизвестных коэффициентов. С целью снятия переопределенности системы для вычисления коэффициентов полинома используют метод наименьших квадратов (МНК). Идея МНК состоит в том, что оценки коэффициентов линейного уравнения выбираются из условия минимизации ошибки аппроксимации.

Пусть y_iдействительноезначение функции отклика, определяемое вi–том опыте, аy_0i – значение, рассчитанное по формуле (3.16). Ошибкаопределится как разность действительного и расчётного значений функции отклика = y_i– y_0i.

Рис.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии (3.16) определяются из условия

. (3.17)

Предположим, что ошибки в отдельных наблюдениях имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией, не коррелированны между собой и не зависят от значений факторов. Для простоты математических выкладок рассмотрим однофакторный эксперимент. Модель в этом случае имеет вид:

y_0i = b₀+b₁ x_i. (3.18)

Запишем условие (17) для рассматриваемого случая

. (3.19)

Минимум выражения (3.19) может быть достигнут за счет подбора коэффициентовb₀иb₁. Это означает, что частные производные выражения (3.19) по неизвестным коэффициентам должны быть равны нулю.

. (3.20)

Проведя несложные преобразования, получим систему линейныхуравнений относительно неизвестных коэффициентов полинома:

. (3.21)

Число уравнений в системе (3.21) равно числу двух искомых коэффициентов b₀ и b_1.

Исходя из свойств симметричностии нормировки

систему (3.21) можно переписать

. (3.22)

Откуда могут быть получены оценки коэффициентов полинома

, . (3.23)

Формулы для определения оценок коэффициентов линейной модели в случае действия k факторов можно привести к единому виду, если в матрицу планирования ввести нулевой столбец, состоящий из верхних уровней нормированных факторов, т.е. +I(см. табл. 3.2). Тогда выражение для j коэффициента примет вид:

, (3.24)

где j –номер коэффициента, стоящего при соответствующем факторе (j=0,1,...k);

i– номер опыта.

Таким образом, способ расчета коэффициентов модели в данном случае очень прост: для подсчета любого b_j столбцу результатов эксперимента y_i следует приписать знаки соответствующего столбца x_j,, сложить экспериментально найденные значения y_i с этими знаками и результат разделить на число опытов матрицы планирования.

При ортогональном планировании формула для определения коэффициентов принимает вид:

. (3.25)

Поскольку коэффициенты регрессии рассчитывают по формуле (3.25) из результатов опытов, являющихся случайными величинами, то и сами коэффициенты является случайными величинами.

3.5.3. Оценка значимости коэффициентов модели.

После нахождения оценок коэффициентов производится оценка их значимости, которая проводится путём сопоставления абсолютной величины коэффициентас его доверительным интервалом его определения, рассчитываемым по формуле:

; (3.26)

где t_α – значение критерия Стьюдента, который берется из таблиц его распределения в зависимости от уровня значимости α (α = 0,01; 0,05; 0,1) и числа степеней свободыf₁= n₀ - 1 (гдеn₀ – число дублирующих опытов, обычно, в центре плана). Для технических измерений α чаще всего принимается равным 0,05. Для меньших значений величиныαдоверительный интервал определения получается больше (см. табл. 3.3).

–среднеквадратичная ошибка в определении коэффициента регрессии b_j, которая определяется в зависимости от величины дисперсии воспроизводимости .

В случае равномерного дублирования опытов и числе дублирующих опытов в каждой строке плана nдисперсия коэффициентов определяется по формуле

. (3.27)

Коэффициент считается статистически значимым, когда его абсолютная величина больше доверительного интервала его определения или равна ему

или ; (3.28)

Смысл последнего неравенства заключается в том, что абсолютная величина значимого коэффициента должна быть в раз больше, чем ошибка его определения.

Некоторые значения критерия Стьюдента приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Число степеней свободы f1	Уровни значимости α
	0,1	0,05	0,01
I	6,3I	12,7	63,66
2	2,92	4,30	9,93
5	2,02	2,57	4,03
10	1 ,81	2,23	3,17
20	1,73	2,03	2,85
100	1,64	1,96	2,58

Статистическая незначимость коэффициента в уравнении 3.16 интерпретируется, как отсутствие влияния соответствующего фактора. Если модель линейная и соответственно незначим линейный эффект, можно считать, что данный фактор в изученных интервалах его изменения на функцию отклика не влияет.

При ортогональном планировании статистически незначимые коэффициенты из модели могут быть исключены и при этом пересчет остальных коэффициентов не требуется.

4. Оценка адекватности модели

После оценивания коэффициентов модели проводится оценка адекватности модели, которая состоит в оценке однородности дисперсии воспроизводимости и дисперсии неадекватности с использованием критериев, приведенных в разделе 3.3.

Дисперсию неадекватности определяют по формуле (3.29)

, (3.29)

где – значениеу, определенное по модели дляi-тых условий

эксперимента;

–значение у, определенное вi-том опыте;

–число степеней свободы определения дисперсии неадекватности.

, (3.30)

где – число найденных коэффициентов в модели.

При оценке адекватности модели по критерию Фишера оценивается отношение

, (3.31)

которое сопоставляется с табличным значением , определяемом при степени свободы дисперсии воспроизводимостии степени свободы дисперсии неадекватности. Если, то модель считается адекватной, в противном случае модель неадекватна.

По сути дела, модель считается адекватной, если погрешности расчета функции отклика y по модели не превышают погрешности ее экспериментального определения.

5. Дробный факторный эксперимент для двухуровневых

факторов

Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма обширную информацию, однако с ростом числа факторов число опытов в нем резко возрастает. Так при трех факторах следует поставить 2³ = 8 опытов, при пяти 2⁵ = 32, а уже при восьми 2⁸ = 256 опытов.

В то же время, начиная эксперимент, исследователь часто не знает, в какой части изучаемой поверхности отклика он находится. Поэтому, естественно в начале нужно попытаться получить некоторую, хоте бы и не очень точную информацию при минимальной затрате труда на проведение эксперимента.

Именно из этих соображений на первых этапах ограничиваются построением лишь линейной модели локального участка поверхности отклика. Но если ограничить задачу только линейным описанием, использование полного факторного эксперимента становится явно нецелесообразным, поскольку число его опытов заметно превышает число коэффициентов линейного уравнения. Возникает желание сократить число опытов за счет той информации, которую несутэффекты взаимодействия факторови которая для построения постулируемой линейной модели не существенна.

Рассмотрим снова ПФЭ 2². Мы уже видели, что с его помощью с учётом эффектов взаимодействия можно построить модель вида

. (3.57)

Однако, если есть основания предположить, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить всего три коэффициента: b₀, b₁, b_2. Тогда квадратичный эффект взаимодействия факторов , учитываемый коэффициентомb₁₂ возможно имеет малую величину. Это предположение позволяет включить в схему эксперимента еще один новый фактор . Для этого производится замена столбца взаимодействия на столбец с теми же знаками. Эта процедура записывается так . Таким образом, получена матрица планирования уже для трех факторов (табл. 3.4).

Формула ДФЭ записывается в виде

N= 2^k-р, (3.58)

где: k – число исследуемых факторов,

p – число эффектов взаимодействия, заменяемых на действие нового фактора.

Таблица 3.4. План ДФЭ 2^3-1.

№ опыта	x0	x1	x2	x1x2=x3	y
1 2 3 4	+ + + +	+ – + –	+ + – –	+ – – +	y1 y2 y3 y4

По результатам проведения опытов спланированного эксперимента можно построить линейную модель уже для трех факторов при числе опытных точек четыре, и число определяемых коэффициентов линейной модели также равно четырём.

. (3.59)

Коэффициенты этой модели рассчитываются по ранее приведенной формуле:

, i = 0, 1, 2…, k. (3.60)

Планы дробного факторного эксперимента (ДФЭ), как и планы ПФЭ, обладают свойствами симметричности, нормировки, ортогональности и ротатабельности.

Наиболее важное отличие описанного планирования ДФЭ от полного факторного эксперимента заключается в следующем. Из плана видно, что величина коэффициента b₃ в точности совпадает с величиной коэффициентаb₁₂ (знаки столбцовx₃иx₁x₂ одинаковые). Если в дополнение к столбцам, указанным в плане, построить столбцыx₁x₃иx₂x₃, то они в точности совпадут со столбцамиx₂иx₁ соответственно и, следовательно, коэффициентыb₁₃ иb₂₃ совпадут соответственно с коэффициентамиb₂ иb₁ . Таким образом, планы ДФЭ уже не позволяют получить раздельные, независимые оценки коэффициентов, как это делалось при полном факторном эксперименте. В данном случае говорят, чтолинейные эффекты смешаны с эффектами парных взаимодействий. Символически это записывается следующим образом:

, ,, (3.61)

где b_j – вычисленные оценки коэффициентов;

, – неизвестные истинные значения коэффициентов.

Приведенную запись можно прочесть следующим образом: например вычисленное значение коэффициента b₁ является совместной оценкой коэффициентовβ₁иβ₂₃, т.е. величинаb₁ свидетельствует как о влиянии фактораx₁, так и совместном влиянии факторовx₂иx₃. Итак, в рассматриваемом ДФЭ нельзя отделить линейное влияние факторовx₁,x₂ иx₃от их парных взаимодействий.

Сказанное, свидетельствует о значительной потере информации при проведении ДФЭ по сравнению с полным факторным экспериментом, но это естественная плата за сокращение числа опытов. Действительно ПФЭ для трех факторов должен был бы содержать 2³ = 8 опытов, а в данном случае опытов требуется вдвое меньше.

Указанные в табл. 3.4 четыре опыта, поставленные для оценки влияния трех факторов, представляют собой половину ПФЭ или дробную реплику. Составляют дробные реплики заменой некоторых эффектов взаимодействия новыми независимыми переменными. Эти реплики условно обозначает2^к-р. Тогда, если ПФЭ 2⁶ включает 64 опыта, то 1/2–реплика (полуреплика) содержит 2^6-1 = 32 опыта, 1/4–реплика (четверть–реплика) – 2^6-2 = 16 опытов, 1/8–реплика – 2^6-3= 8 опытов. Естественно, что минимальная дробная реплика для построения линейной модели должна включать не менее (k+1) опытов, гдеk– число факторов.

Дробные реплики обычно задают с помощью так называемых определяющих контрастов. Полуреплика 2^3-1построена после приравниванияx₃кx₁x₂, т.е.

x₃ = x₁x₂ (3.62)

Это выражение называют генерирующим соотношением. Оно в общем случае показывает, с каким из эффектов смешан данный эффект. Умножим обе части генерирующего соотношения наx_3.

x₃² = x₁x₂x_{3 .} (3.63)

Столбец x₁x₂x₃ (какx₃²) состоит из одних +1. Поэтому можно записать

1 = x₁x₂x₃ . (3.64)

Символическое обозначение произведения столбцов, равное +1 (или –1), называютопределяющим контрастом.

С помощью определяющего контраста можно определить систему смешивания эффектов. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным эффектом, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если 1 = x₁x₂x₃, то дляx₁ имеемx₁ =x₁²x₂x₃ =x₂x₃, т.к. всегдаx² = 1. Находим для столбцаx₂ :x₂ =x₁x₂²x₃ =x₁x₃, для столбцаx₃:x₃ =x₁x₂x₃² =x₁x₂.

Если существует какая-либо априорная информация об эффектах взаимодействия, то ее следует использовать при выборе реплики. В случае, когда предварительной информации нет, стремятся выбрать реплику, в которой основные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высокого порядка. Последнее связано с тем, что очень часто основные эффекты сильнее парных взаимодействий, парные – сильнее тройных, тройные – четверных и т.д.

5. Понятие о планах второго порядка

Речь идет о планировании эксперимента по идентификации модели более высокого порядка (квадратичной) вида:

. (3.65)

Число опытов должно быть не меньше, чем

. (3.66)

Кроме того, необходимо, чтобы каждый фактор варьировался не менее, чем на трех уровнях. Опыты могут проводиться в одной из двух областей: на k-мерном гиперкубеили наk-мерном гипершаре.

Расчет коэффициентов уравнения (3.65) также проводится МНК, что соответствует матричной форме записи

. (3.67)

Для построения модели (3.65) предложено большое количество планов. Наиболее широко распространены так называемые симметричные планы: планы типа 3^k , разного рода композиционные (ортогональные, ротатабельные, типа В_k); некомпозиционные планы Бокса-Бенкина; квази-D-оптимальные планы Песочинского и др.

В качестве примера рассмотрим композиционные планы. В данном случае композиционность означает последовательную достройку линейных планов до планов второго порядка. Эта процедура предполагает реализацию опытов ПФЭ или ДФЭ, а затем добавление к этим опытам («ядру» плана) некоторого количества, так называемых, «звездных точек». Такие планы обычно называют центральными, поскольку все опыты располагаются симметрично вокруг центра плана – основного уровня.

Например, один из центральных композиционных планов для k = 2 имеет вид

Таблица 3.5.

Номер опыта	х1	х2	Примечание
1-4			ПФЭ – ядро плана
5-8	0	0	«звездные точки»
9	0	0	основной уровень – центр плана

Общее число опытов N композиционных планов приk факторах (если опыты не дублируются) равно

, (3.68)

где – число опытов в ядре плана (,если ядро плана ПФЭ и

, если ядро плана ДФЭ);

–число «звездных точек»;

–число опытов в центре плана.

Последовательность решения задачи состоит в следующем. Вначале ставят опыты 1-4, составляющие ядро плана и позволяющие построить либо линейную модель вида

, ( 3.69)

либо неполную квадратичную модель вида

. (3.70)

Если эти модели окажутся неадекватными, то добавляют опыты в звездных точках 5-8 и в центре плана (точка 9), что позволяет построить уже квадратичную модель.

(3.79)

Рассмотрим некоторые примеры решения технологических задач с применением планирования эксперимента, взятые из книги А.А. Спиридонова [12].

Пример 1 ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ШПИНДЕЛЬ — ДЕТАЛЬ ТОКАРНОГО СТАНКА

В Уральском техническом университете С. И. Солониным исследовано влияние факторов процесса резания на упругую характеристику системы шпиндель — деталь токарного станка. При точении деталей, консольно закрепленных в патроне, положение оси вращения в зоне обработки определяется положениями звеньев системы шпиндель — деталь. К этим звеньям относятся опоры шпинделя, шпиндель, патрон и деталь. В процессе точения система «шпиндель — деталь» упруго деформируется под действием силы резания. Если рассматривать обработку деталей большой жесткости, упругими деформациями которых можно пренебречь, то схема деформации системы под действием силы P, эквивалентной силе резания, будет иметь вид, изображенный на рис. 3.3.

Упругие деформации системы шпиндель — деталь будут определяться главным образом упругими деформациями стыков между шпинделем и опорами, шпинделя с патроном и стыка патрон — кулачки — деталь. Деформации стыков приводят к повороту звеньев друг относительно друга на углы . В результате ось системы шпиндель — деталь получает форму ломаной линии, а ось системы в зоне обработки, будет повернутой и смещенной и располагается так, как это показано на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Схема деформации системы шпиндель-деталь.

Для создания системы автоматического управления размером детали необходимо обеспечить измерение отклонений y_z оси вращающейся детали в зоне обработки. Непосредственное измерение этих отклонений практически трудно осуществимо. Поэтому вместо у_z измеряли упругое перемещение у_ш шпинделя в месте его соединения с патроном, а затем измеренную величину преобразовывали в оценку упругого перемещения оси шпинделя в зоне резания. В рассматриваемом случае указанное преобразование заключалось в умножении перемещенияу_ш оси шпинделя на упругую характеристику f(z) системы шпиндель — деталь. Измерение у_ш выполнялось с помощью индуктивного датчика Д. Упругая характеристика f(z) системы шпиндель — деталь представляет собой отношение у_г к у_ш. Получена математическая модель, описывающая это отношение:

(3.83)

где z — координата, равная расстоянию от вершины резца до точки измерения y_ш; — расстояние от задней опоры шпинделя до стыка шпинделя с патроном; — расстояние от задней опоры шпинделя до стыка патрон – кулачки – деталь; - коэффициенты, зависящие от упругих свойств стыков системы.

Величины упругих перемещений иопределяются величиной и направлением силы резания.

При выводе уравнения (3.83) сделано допущение о наличии прямой пропорциональной связи между силой нормального давления в стыке, деформацией стыка и углом , его поворота. Так как силы нормального давления пропорциональны силе резания, то пропорциональны ей и упругие перемещения у_z и у_ш. Имеются основания полагать, что при изменении силы P отношение у_z/у_ш будет оставаться постоянным, т. е. величина и направление силы резания не будут оказывать существенного влияния на упругую характеристику . Ее величина будет определяться только координатойz и упругими свойствами стыков, которые характеризуются коэффициентами k₂ и k₃. Для данного станка величины k₂ и k₃ можно считать постоянными.

Изложенная физическая модель подвергалась экспериментальной проверке, которая производилась с помощью дробного факторного эксперимента и аппарата регрессионного анализа.

Были выбраны четыре фактора процесса резания, которые могли бы оказать влияние на величину упругой характеристики f(z):

t — глубина резания, мм;

s — подача, мм/об;

—главный угол в плане, град;

п — угловая скорость вращения детали, об/мин. Первые три фактора определяют величину и направление силы резания.

Для описания возможной связи упругой характеристики f(z ) с факторами t, s, и п была принята простейшая математическая модель в виде полинома первой степени. Если обозначить f(z) в точке с фиксированным значением z через и, a t = ,s = , = ,n=,то согласно принятой модели можно записать

U=, (3.84)

где В_о, В_1, В₂, В₃, В₄— коэффициенты полинома. Взаимодействиями факторов пренебрегаем. Если величина и не зависит от , ,и , то модель f(z) для фиксированного значения упругой характеристики z сведется к выражению u==const. Таким образом, задачей эксперимента было определение коэффициентов полинома, оценка значимости коэффициентов В₁ В₂, В₃, В₄ и проверка адекватности модели. Величина и характеризует функцию f(z) в точке с фиксированной величиной z, поэтому для оценки влияния t, s, , n на f(z) были проведены исследования с различными значениями z. Величина z варьировалась от 200 до 320 мм с шагом 20 мм, при этом вылет детали из патрона соответственно изменялся от 40 до 160 мм.

При проведении эксперимента каждый фактор варьировался на двух уровнях. Принятые в исследовании уровни факторов приведены в табл. 3.7

Для упрощения вычислений независимые переменные кодировались по выражению (3.7)

(3.85)

Коэффициенты полинома при кодированных переменных обозначим через . Полином (3.84) после кодирования получил вид

(3.44)

Уровни факторов Таблица 3.7

Факторы	Интервалы варьирова- ния	Уровни факторов
		верхний +1	основной 0	нижний —1
t, мм s, мм\об ,град n, об\мин	0,5 0,1 22,5 75	2 0,3 90 400	1,5 0,2 67,5 325	1 0,1 45 250

При выбранной модели использование дробного факторного эксперимента типа , предусматривающего проведение восьми опытов, позволяет получить эмпирические данные, необходимые для оценки коэффициентов уравнения регрессии и его статистического анализа. Матрица планирования в этом случае представляет собой полуреплику от плана эксперимента типа2⁴. В качестве генерирующего соотношения принято =. Определяющий контраст равен . Для оценки дисперсии воспроизводимости проводилось равномерное дублирование по два опыта в каждой точке факторного пространства

Матрица планирования и результаты опытов

Таблица 3.8

Номер опыта
1 2 3 4 5 6 7 8	+ + + + + + + +	- + - + - + - +	- - + + - - + +	- - - - + + + +	- + + - + - - +	3,75 4,64 4,95 4,83 4,25 4,38 4,00 4,52	4,39 4,15 4,44 4,55 3,94 4,94 4,64 4,94	3,97 4,40 4,70 4,69 4,10 4,66 4,32 4,73	0,2048 0,1201 0,1301 0,0392 0,0481 0,1568 0,2048 0,0882
Коэффи- циенты	= =4,458	=0,161	= =0,151	= =0,006	= =0,024

Матрица планирования и результаты опытов, выполненных при z=260 мм, указаны в табл. 3.8. Опыты выполнялись в случайной последовательности, Общее число опытов равно 16, а порядок их выполнения, установленный по таблице случайных чисел, следующий: 2, 15, 9, 5, 12, 14, 8, 13, 16, 1, 3, 7, 4, 6, 11, 10. Номера опытов выше 8-го относятся к повторным, например, условия опытов 1-го и 9-го одинаковы и соответствуют условиям 1-го опыта в матрице планирования и т. д. Для каждой серии опытов вычисляли среднее арифметическое и дисперсию воспроизводимости опыта . Эту дисперсию определяли по выражению

(3.87)

где l — номер опыта в j-й серии; — значение функции отклика в l-м опыте j-й серии; — число опытов в j-й серии.

Вычисленные средние и дисперсии приведены в плане эксперимента таблице 3.8. Таккак число параллельных опытов в каждой серии одинаково, то однородность ряда дисперсий проверяли по G-критерию Кохрена:

(3.88)

Табличное значение критерия при 5%-ном уровне значимости для N = 8 и т=2 G_T=0,6798. Так как расчетное значение G_p = 0,2064 меньше табличного G_T = 0,6798, гипотеза однородности дисперсий принимается. Убедившись в однородности дисперсий можно вычислить дисперсию s² воспроизводимости эксперимента:

(3.89)

Коэффициенты вычисляли по формуле (3.90)

(3.90)

где — кодированное значение i-го фактора в j-м опыте.

Вычисленные значения коэффициентов указаны в табл. 3.8 После подстановки в уравнение (3.86) значений коэффициентов оно получило вид

(3.91)

Для проверки гипотезы адекватности уравнения (3.91) находится дисперсия адекватности по формуле

(3.92)

Остаточная сумма квадратов определена по выражению

(3.93)

где: k — число исследуемых факторов; т = 2 - число параллельных опытов

f = N-(k+1)=3 - число степеней свободы.

Дисперсия адекватности составила

Гипотезу адекватности проверялась по F-критерию Фишера

Табличное значение критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 3 и знаменателя 8 равно = 4,07. Так как F_P<F_T, модель, представленную уравнением (3.91) можно признать адекватной.

Для оценки значимости коэффициентов найдены их дисперсии

и определён доверительный интервал

где t_T = 2,3 — табличное значение критерия Стьюдента при 5% уровне значимости и числе степеней свободы N{m—1) =8.

Все коэффициенты, кроме , меньше доверительного интервала, поэтому их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии (3.91), которое в этом случае примет вид

или u = 4,458.

Для проверки возможности предсказания значений и по модели была вычислена дисперсия s_p² рассеяния результатов относительно их среднего, которым в данном случае является коэффициент . Дисперсия s_p² определена по выражению

Однородность дисперсий s_p² и s² проверена по F-критерию Фишера:

Табличное значение критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 7 и для знаменателя 8 (табл. ) F_T = 3,50; расчётное значение критерия меньше табличного F_P<F_T, поэтому дисперсии s_p² и следует признать однородными, а полученную модель — адекватной.

Адекватность модели свидетельствует о несущественном влиянии глубины резания t, подачи s, угла в плане и числа оборотов n на величину упругой характеристики системы «шпиндель-деталь» f(z), т. е. в области эксперимента при фиксированном значении осевой координаты z упругая характеристика f(z) остается постоянной при изменении t, s, и п.

Аналогичные исследования были проведены при всех других принятых значениях z, а именно: z=200; 220; 240; 260; 280; 300; 320 мм. Математическая обработка экспериментальных данных показала, что в области эксперимента при принятых значениях z факторы t, s, и п также не оказывают существенного влияния на величину упругой характеристики f(z).

Опытные данные, полученные при различных значениях z, позволили определить коэффициенты k₂ и k₃, характеризующие упругие свойства стыков системы. Эти коэффициенты, входящие в уравнение (3.83) упругой характеристики f(z), находились с использованием метода наименьших квадратов.

Проведенные исследования позволили получить упругую характеристику f(z) системы шпиндель — деталь токарного станка мод. 1К62, а также использовать предлагаемую методику для других станков токарной группы.

Использование полученной характеристики даёт возможность создать эффективную систему автоматического управления размером детали, обеспечивающую обработку с точностью до 3 класса.

Кроме того: линейная модель нулевого порядка это отсутствие функциональной зависимости, но отрицательный результат – в науке тоже результат!

Пример 2. ПОЛУЧЕНИЕ МОДЕЛИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩЕЙ ЗАВИСИМОСТЬ ТЕМПЕРАТУРЫ РЕЗАНИЯ ОТ ОСНОВНЫХ ФАКТОРОВ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ

Рассмотрим методику получения зависимости температуры резания θ от скорости υ, подачи s и глубины резания t при обработке точением материала «сталь 20» цельными проходными резцами из быстрорежущей стали Р18.

Эмпирические температурные зависимости принято представлять степенными уравнениями регрессии вида

. (3.93)

Для экспериментального получения степенных зависимостей их удобно логарифмировать с целью последующего использования мтода наименьших квадратов и последующим потенцированием.

Уравнение (3.47) после логарифмирования получит вид

. (3.94)

Для представления результатов эксперимента предлагается выбрать полиномом второй степени:

(3.95)

Где; ;

θ – температура резания, записанная через аналого-цифровой преобразователь на компьютер;

x₁, x₂, x₃ – кодированные (безразмерные) значения параметров v, s, t.

В качестве плана эксперимента использован центральный композиционный ротабельный план второго порядка. Кодирование независимых переменных производили с помощью соотношения [12]. Принятые в исследовании уровни факторов указаны в табл. 3.9.

Таблица 3.9

Уровни факторов	Скорость резания.		Подача		Глубина резания
	v, м/с	x1	s, мм/об	x2	t, мм	x3
Верхнее “звездное плечо”:	0,725	1,682	0,463	1,682	1,49	1,682
верхний	0,454	1	0,26	1	1,04	1
основной	0,229	0	0,17	0	0,61	0
нижний	0,115	-1	0,11	-1	0,36	-1
Нижнее “звездное плечо”:	0,072	-1,682	0,082	-1,682	0,25	-1,682

Формулы преобразования натурных значений факторов в кодированные в данном случае имеют вид

; ;

. (3.95)

Матрица планирования и результаты опытов представлены в табл. 3.10

Матрица планирования и результаты опытов Таблица 3.10

Номер опыта	x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3				y
1 2 3 4 5 6 7 8	+ + + + + + + +	- + - + - + - +	- - + + - - + +	- - - - + + + +	+ - - + + - - +	+ - + - - + - +	+ + - - - - + +	+ + + + + + + +	+ + + + + + + +	+ + + + + + + +	1,6879 2,0777 1,8499 2,2837 1,7787 2,1677 1,9479 2,3801
9 10 11 12 13 14	+ + + + + +	-1,682 +1,682 0 0 0 0	0 0 -1,682 +1,682 0 0	0 0 0 0 -1,682 +1,682	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	2,829 2,829 0 0 0 0	0 0 2,829 2,829 0 0	0 0 0 0 2,829 2,829	1,6391 2,3311 1,8868 2,2016 1,9652 2,1226
15 16 17 18 19 20	+ + + + + +	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	2,0551 2,0734 2,0743 2,0568 2,0608 2,0858

Коэффициенты уравнения (3.97) вычислены по формулам, которые здесь не приводятся. В результате получено следующее уравнение регрессии второго порядка

(3.96)

Дисперсия воспроизводимости вычислена по результатам шести опытов в центре плана s_y² = 0,00014576.

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии, имеют следующие значения:

s²{b₀}=0,000024;

s²{b_i}=0,00001064;

s²{b_il}=0,00001822;

s²{b_ii}=0,00000966.

Обратим внимание, что они различны для линейных коэффициентов, эффектов. взаимодействия и квадратичных слагаемых уравнения (3.96)

Доверительные интервалы коэффициентов при 5% уровне значимости составили:

Δb₀=±0,01264; Δb_i=±0,008383; Δb_il=±0,01097; Δb_ii=±0,00811.

Коэффициенты b₁₂, b₁₃, b₂₃ по абсолютной величине меньше доверительного интервала, поэтому их можно считать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии. После исключения незначимых коэффициентов уравнение (3.96) получило вид

(3.97)

Проверка гипотезы адекватности модели, представленной уравнением (3.97), показала, что модель адекватна при 5%-ном уровне значимости, так как соотношение расчетного и табличного критериев Фишера свидетельствует в её пользу.

F_р<F_т.

Коэффициенты при квадратичных членах уравнения регрессии значимы. Это свидетельствует о том, что исследуемый процесс не может быть описан линейным уравнением. Уравнение (3.97) для рассматриваемой области изменения факторов дает возможность предложить другую модель процесса, которая получается подстановкой в уравнение (3.97) вместо кодированных натуральных значений факторов с использованием соотношения (3.95)

После преобразования получена зависимость

, (3.98)

которая позволяет определять температуру резания в достаточно широком диапазоне изменения режимов резания при обработке точением стали 20.

По уравнению (3.98) построена номограмма, для быстрой оценки температуры резания в практических условиях.

Изложенная в примере методика планирования и обработки эксперимента может быть использована для определения температуры резания при механической обработке других конструкционных материалов.

Пример 3. Применение ротатабельного планирования второго порядка для минимизации шероховатости при обработке материалов резанием

Изготовление прецизионных деталей из пластмасс часто произ­водится обработкой резанием. Выбор рациональных режимов реза­ния в значительной степени определяет производительность процес­са и качество обработанной поверхности. Предусматри­валось изучения влияния режимов резания на шероховатость поверхности (параметр оптимизации) при обработке точением капролона и поиск условий, обеспечивающих минимальную шероховатость обработанной по­верхности. Исследования проводились на высокоскоростном токар­ном станке. В качестве режущего инструмента использовались рез­цы с пластинками из твердого сплава ВК6М со следующими гео­метрическими параметрами: задний угол в плане = 30°; передний угол в плане =18°; угол наклона режущей кромки = 0; радиус скругленияr = 1,5 мм. Шеро­ховатость поверхностей режущего инструмента соответствовала Ra = 0,040,16 мкм. Обработке подвергались блоки из капролона без охлаждения.

Шероховатость поверхности определялась на двойном микро­скопе МИС-11. За критерий шероховатости принималась высота не­ровностей Rz, которая оценивалась осреднением по десяти измерениям каждого участка.

В качестве факторов, влияющих на шероховатость обрабатываемой поверхности, выбраны скорость резания V, подача S и глубина резания t, как параметры режима обработки, опре­деляющие в основном высоту неровностей обработанной поверхности. В качестве параметра оптимизации принята высота неровностей.

На первом этапе исследования был поставлен полный фактор­ный эксперимент типа 2³. Уровни факторов и интервалы варьирова­ния выбраны по результатам предварительных поисковых экспери­ментов. Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов при­ведены в табл. 3.7.

Матрица плана эксперимента и результаты из­мерений высоты неровностей у представлены в табл. 3.8.

\

Таблица 3.7.

Фактор		Уровни фактора			Интервал варьирования
наименование, размерность	обозначение	верхний	основной	нижний
скорость резания, м/мин		314	205	96	109
подача, мм/мин		0,7	0,5	0,3	0,2
глубина резания, мм		0,75	0,5	0,25	0,25

Таблица 3.8.

Номер опыта									y (Rz)
1	+	-	-	-	+	+	+	-	2,16
2	+	+	-	-	-	-	+	+	2,65
3	+	-	+	-	-	+	-	+	3,80
4	+	+	+	-	+	-	-	-	4,70
5	+	-	-	+	+	-	-	+	2,22
6	+	+	-	+	-	+	-	-	2,48
7	+	-	+	+	-	-	+	-	4,20
8	+	+	+	+	+	+	+	+	4,89

План эксперимента типа 2³ позволяет получить раздельные оценки для коэффициентов уравнения регрессии вида

. (3.83)

В результате расчетов получены следующие значения ко­эффициентов

b₀ = 3,3875; b₁ = 0,2925; b ₂= 1,01; b₃ = 0,06;

b₁₂ = 0,105; b₁₃ = - 0,055; b₂₃ = 0,0875; b₁₂₃ = 0,0025.

После подстановки значений коэффициентов уравнение (3.83) приняло вид

. (3.84)

Для проверки адекватности полученного уравнения и определе­ния дисперсий коэффициентов определяется дисперсия воспроизводимости эксперимента по результатам шес­ти параллельных опытов, поставленных в центре плана (опыты 16, табл. 3.9).

Таблица 3.9.

Опыты	Номер опыта								y
центр плана	1 2 3 4 5 6	+ + + + + +	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	2,31 2,08 2,12 2,32 2,36 2,12
«звёздные» точки	7 8 9 10 11 12	+ + + + + +	-1,682 +1,682 0 0 0 0	0 0 -1,682 +1,682 0 0	0 0 0 0 -1,682 +1,682	2,828 2,828 0 0 0 0	0 0 2,828 2,828 0 0	0 0 0 0 2,828 2,828	3,55 4,50 1,80 5,15 2,32 2,56

Рис.3.4. Центральный композиционный план для трёх факторов.

Среднее арифметическое значение параметра в центре плана равно. Дисперсия воспроизводимости эксперимента . Разность между значением параметра в центре плана и значением свободного члена b₀ (в центре плана значения всех эффектов в уравнении (93) равно нулю) составляет по модулю .

Полученная разность во много раз превышает ошибку экс­перимента (дисперсию воспроизводимости) . Из этого следует, что коэффициенты при квадратичных членах значимо отличаются от нуля, а исследуемая зависимость не может быть с достаточной точностью аппроксимирована уравнением (3.100). В связи с этим необходимо перейти к модели более высокого порядка. Предположим, что явление описывается моделью второго порядка, т.е. полиномом вида

. (3.85)

Эксперимент был поставлен по программе центрального компо­зиционного ротатабельного планирования второго порядка. Реали­зованные восемь опытов полного факторного эксперимента 2³ (см. табл. 22) и шесть опытов в центре плана (см. табл. 3.13) дополнили шестью опытами в «звездных» точках (опыты 712, табл. 3.13). Ве­личина «звездного» плеча в рассматриваемом случае равна 1,682.

Получили следующие значения коэффициентов:

b₀ = 2,1956; b₁ = 0,2882; b₂ = 0,9819; b₃ = 0,0646; b₁₂ = 0,105; b₁₃= - 0,055; b₂₃ = 0,0875; b₁₂₃ = 0,0025; b₁₁ = 0,6663; b₂₂ = 0,4594; b₃₃= 0,0833.

После подстановки значений коэффициентов в уравнение 3.101) оно получило вид

y= 2,1956 + 0,2882х₁ + 0,9819х₂ + 0,0646х₃ + 0,105х₁х₂ - 0,055х₁х₃ +

+ 0,0875 х₂х₃+ 0,0025х₁х₂ х₃+0,6663 х₁² + 0,4594 х₂²+0,083 х₃². (3.102)

После нахождения дисперсий коэффициентов и их доверительных интервалов получено что коэффициенты b₃ , b₁₂ , b₁₃ , b₂₃ , b₁₂₃ , b₃₃ по абсолютной величине меньше соответствующих доверитель­ных интервалов их определения, то можно признать их статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии. Так как среди незначимых коэффициентов ока­зался также коэффициент b₃₃ при квадратичном члене, то значимые коэф­фициенты при других эффектах должны быть пересчитаны, например, с использованием МНК. Пересчитанные значения коэффициентов приведены ниже:

b₀ = 2,26; b₁₁ = 0,6555; b₂₂ = 0,4389; b₁ = 0,2882; b₂ = 0,9819.

Таким образом, математическая модель, полученная в резуль­тате ротатабельного планирования второго порядка, приняла вид

у=2,26+ 0,2882+ 0,9819+ 0,6555+0,438. (3.103)

Для проверки адекватности модели найдена дисперсия S_ад² адекватности и остаточная сумма квадратов, о также определено расчетное значение F-критерия:

При 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя 10 и знаменателя 5 табличное значение критерия F_т равно 4,74. Значение F_Р<F_т, поэтому модель (3.103) следует признать адекватной. Уравнение (3.103) неудобно для интерпретации получен­ных результатов и практических расчетов, поэтому оно преобразо­вано по формулам перехода от кодированных значений (х_{1 ,} х_{2 ,} х₃) к натуральным значениям факторов скорость резания, подача и глубина резания (u,s,t):

Где натуральные значения факторов на основных уров­нях;значения интервалов варьирования.

Таким образом,

Уравнение (3.103) с учетом отношений (3.104) можно представить следующим выражением:

(3.105)

Из приведенного выражения следует, что в области эксперимен­та (t = 0,250,75 мм) глубина резания не оказывает влияния на шероховатость обработанной поверхности капролона. Уравнение (3.103) использовано для поиска оптимального режима обработки кап­ролона резцом с заданной геометрией (вторая задача планирования эксперимента, см. параграф 3.1)

В результате переноса на­чала координат в центр фигуры с координатами х_1s=-0,22; х_2s = = -1,12 (они соответствуют значениям u=181 м/мин; s= 0,276 мм/об) и поворота координатных осей уравнение (3.103) было приведено к каноническому виду

Y - 1,68 = 0,6555 + 0.4389. (3.106)

Выражение (99) является уравнением эллипса в каноническом виде. Так как коэффициенты B₁₁ и B₂₂ имеют положительные знаки, центр эллипса

(х_1s =-0,22; х_2s = -1,12) является минимумом функции отклика. В этом случае для поиска экстремума достаточ­но поставить опыт в центре фигуры и проверить, насколько точно значение параметра оптимизации, предсказанное уравнением рег­рессии, совпадает с экспериментальным.

В дополнительном опыте, поставленном в центре фигуры (х_1s = -0,22;

х_2s = -1,12), получено значение функции отклика у = 1,7 мкм. Дальнейшее варьирование скорости и подачи вблизи экстремума не вызвало уменьшения значения y. Таким образом, оптимальным следует считать режим обработки:

у = 181 м/мин, s= 0,276 мм/об при t= 0,250,75 мм.

Уравнение (3.106) можно также использовать для определения ожидаемой шероховатости поверхности при об­работке капролона на режимах, входящих в область эксперимента.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ к разделу 3

Для закрепления материала раздела 3 предлагается ответить на контрольные вопросы и решить задачи по планированию экспериментальных исследований.

Контрольные вопросы:

1. Основные виды эксперимента.

2. Ошибки опытов. Дисперсия воспроизводимости.

3. Две задачи ПЭ. Тенденции ПЭ.

4. Основные понятия ПЭ. Требования к объекту исследования и факторам.

5. Математические модели объекта.

6. Предварительный этап планирования эксперимента. Натуральная и кодированная системы координат.

7. Полный факторный эксперимент. Пример ПФЭ.

8. Свойства планов ПФЭ.

9. Метод наименьших квадратов и методика получения оценок коэффициентов линейной однофакторной модели.

10. Матричный подход в ТПЭ. Формула для вычисления коэффициентов линейных моделей по планам ПФЭ.

11. Статистические свойства коэффициентов. Методика оценки значимости коэффициента регрессионной модели.

12. Дробный факторный эксперимент. Генерирующее соотношение. Определяющий контраст.

Задачи:

1. Составьте матрицу ПФЭ для четырехфакторного эксперимента.

2. Определите коэффициенты линейной двухфакторной модели вида y=b₀+b₁X₁+b₂X₂ если получены следующие значения функции отклика

№ опыта	X1	X2	y
1	+1	+1	4
2	-1	+1	2,5
3	+1	-1	1
4	-1	-1	-5,5

3. Проверьте значимость коэффициентов линейной модели идентифицированной по плану ПФЭ 2 , если коэффициент Стьюдента равен I,8 аb₀=5,b₁=0,3,b₂= 3. Дисперсия воспроизводимости равна 0,25.

4. Разберите пример на стр. 34 – 37 в источнике [12].

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2