3. Организация и планирование эксперимента

3.1 Введение.

Планирование экспериментов на уровне, изложенном ниже началось развиваться примерно в середине 60-х годов ХХ века. и к настоящему времени используется в самых различных сферах человеческой деятельности: химии, физике, авиастроении, разработке машин и приборов, сельском хозяйства и т. д. Накоплен достаточно большой опыт ПЭ, имеются разработанные экспериментальные планы для различных типов моделей исследуемых объектов.

Структура идентификации обьекта в наиболее общем случае имеет следующий вид:

а) проведение оценочных экспериментов;

б) регрессионный анализ (выбор вида уравнения регрессии);

в) планирование экспериментов;

г) проведение экспериментов;

д)оценка коэффициентов модели (параметрическая идентификация);

е) проверка и подтверждение модели (диагностическая проверка);

ж) использование модели по ее назначению.

На первом этапе эксперимент проводится обычно традиционным способом однофакторного экспериментаи на основании однофакторных зависимостей выдвигается гипотеза о модели объекта (явления). Задача регрессионного анализа – установить вид модели, число входных воздействий, определяющих выходные параметры системы, определение доверительных интервалов для оценок коэффициентов модели.

Под собственно планированием эксперимента понимается процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и до­статочных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

В рамках теории планирования эксперимента (ТПЭ) рассматривают две задачи:

1. Определение экстремальных условий, т.е. значений факторов х_j, определяющих экстремум функцииy(,). Такая постановка характерна для численного решения задач многомерного поиска. Например, при проектировании органа управления летательным аппаратом задача кон­структора найти такой набор конструктивных параметров при наличии определенных ограничений, который обеспечит максимальную его эффективность, минимальный вес, минимальные габариты и т.д.

2. Построение модели объекта. В дальнейшем мы будем рассматривать аппарат ТПЭ применительно к этой задаче.

2. Алгоритм пэ

1. Выбор параметра оптимизации, вида функции отклика, факторов и их уровней.

2. Формирование матрицы планирования, способа дублирования опытов.

3. Рандомизация опытов.

4. Проведение опытов, заполнение столбцов результатов «Y»в матрице планирования.

5. Оценка коэффициентов линейной модели.

6 Нахождение дисперсии «Y», - S_у² и дисперсии коэффициентов S_b²

7 Определение значимости коэффициентов линейной модели, используя их доверительные интервалы. Удаление слагаемых линейной модели с незначимыми коэффициентами.

8. Нахождение дисперсии адекватности, критерия Фишера и проверка адекватности модели.

9. Переход к модели более высокого порядка, если линейная модель неадекватна, дополнение матрицы планирования, проведение дополнительных опытов и расчет модели второго порядка (см. пп. (5-8).

3. Функция отклика. Факторы и требования к ним

Если математическая модель объекта неизвестна, его рассматривают, как «черный ящик» (рис. 3.1) На вход объекта воздействуют факторыx₁…x_k,задаваемые в процессе исследования.

Рис.3.1. К постановке задачи о «черном ящике».

На выходе объекта наблюдают случайные величины y₁...y_n,которые являются исследуемыми характерис­тиками (параметрами) объекта. Случайные неуправляемые факторы вызывающие разброс выходных параметров объектаy₁...y_n.

Объект исследованиядолжен удовлетворять требованиювоспроизводимости, т.е. многократно повторенные опыты должны давать результаты с разбросом значений, не превышающих некоторую заданную величину. Объект должен бытьуправляемым(следует помнить, что нет абсолютно управляемых объектов). На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Последние влияют на воспроизводимость результатов эксперимента и могут служить причиной ее нарушения.

Фактором называют независимую переменную величину, влияющую на функции отклика y₁...y_n. Каждый фактор имеет область определения - совокупность всех значений, которые может принимать фактор. Область определения всех факторов называется факторным пространством.

При исследовании процесса необходимо учитывать все существенныефакторы. Если по какой-либо причине влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов производят на основеаприорного ранжированияили с помощью постановки так называемых отсеивающих экспериментов.

Ранжированиефакторов означает расположение факторов в упорядоченный ряд, например, в порядке убывания их влияния на функцию отклика.

Уровнями варьированияфакторов называют значения факторов, которые они могут иметь при проведении эксперимента. Уровень варьирования каждого фактора не должен выходить за пределы области определения фактора. Факторы должны быть:

1. управляемыми;

2. непосредственно воздействующими на объект исследования (трудно управлять фактором, который является функцией других факторов);

3. совместимыми, т.е. все комбинации уровней факторов должны быть осуществимы и безопасны;

4. независимыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.

Под математической модельюпонимают видфункции отклика

, (3.3)

связывающей выходной параметр объекта с факторами. Выбор модели зависит от задачи исследования и от предъявляемых требований к модели. Наиболее простой моделью является полином, линейный относительно неизвестных коэффициентота, которые определяются при обработке результатов эксперимента. Это обстоятельство позволило развиться аппарату теории планирования экспериментов именно для полиномиальных моделей. Для других моделей планирование требует более сложных специальных подходов.

Различают искомую функцию отклика, которая для двух факторов, например, имеет вид

(3.4)

и экспериментально полученную,

, (3.5)

в которой коэффициенты b_iявляются оценками коэффициентов искомой функцииβ_i. Полином включает линейные относительно факторов слагаемые, эффекты взаимодействия и слагаемые второго и более высоких порядков.

Поскольку существуют ошибки воспроизводимости эксперимента, функцию отклика следует рассматривать как случайную величину, рассеивание возможных значений которой характеризуется дисперсией воспроизводимости. Основное требование, которое предъявляется к модели, заключается в способности модели «предсказывать» значение функции отклика с требуемой точностью для дальнейших опытов. Это означает, что предсказанные по модели значения функции отклика должны отличаться от фактических не более, чем на некоторую наперед заданную величину. Модель, удовлетворяющая этому требованию, называетадекватной.

Прежде, чем начать планирование эксперимента, необходимо выбрать область эксперимента (интервалы варьирования факторов, основной или нулевой уровень факторов) иопределить дисперсию воспроизводимости для факторного пространства.

На выбор интервалов варьирования факторов накладываются ограничения как сверху, так и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой измеряются уровни факторов в процессе эксперимента, а как правило больше её в несколько раз. С другой стороны, интервал варьирования должен иметь границы, не выходящие за область определения фактора с учетом установленных ограничений. Например, при измерении температуры в опыте с помощью термометра с точностью 0,5 ^оС, интервал должен иметь величину не менее 5^оС.

Основному или нулевому уровню факторов соответствует центр области варьирования факторов. Обозначим начальную точку дляj-того фактора, ее значение при известных значениях верхнейи нижней границыфакторного пространства определится выражением:

. (3.6)

Все величины в выражении (3.6) размерные.

Интервалом варьирования I_j называется половина разности между верхним и нижним значением фактора:

. (3.7)

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных, а также создания математического аппарата ТПЭ в рассмотрение вводят кодированные факторы. Переход от натуральной системы к кодированной осуществляется по формуле:

, (3.8)

где – значение фактора в кодированной системе координат, из выражений (3.7) и (3.8) следует, что в кодированной системе координат верхнему уровню фактора соответствует значение +1, а нижнему – -1.

- значение фактора в натуральной системе координат.