2.6. Линейное програм­мирование

Линейное программирование (ЛП) — это одна из математических задач оптимизации, которая широко применяется в инженерной деятельности.

Например, при выборе варианта технологического оборудования для изготовления тех или иных деталей желательно обеспечить их минимальную себестоимость [13]. Менеджеры предприятия, производящего несколько видов продукции, должны знать, сколько и какого вида продукции необходимо выпускать, чтобы доход был как можно больше или издержки как можно меньше [11]. С использованием ЛП решаются задачи перевозок, снабжения и многие другие.

2.6.1. Ограничения и целевая функция задач ЛП

Все модели ЛП имеют две основные составляющие части: целевую функцию и ограничения.

Целевая функция описывает некоторое количество, которое долж­но быть минимизировано или максимизировано. Например, целевая функция может иметь смысл цены продажи или затрат выпускаемой продукции какого-то предприятия. Возникает естественный вопрос: сколько и какого вида продукции необходимо изготовить предприя­тию, чтобы получить максимальную прибыль, или снизить себестои­мость, время изготовления и т. д. При составлении задачи учитываются также ограничения на функционирование исследуемого объекта.

Пример.

Качество железной руды, добываемой на четырех шахтах, зависит от количества трех основных компонент, которые мы условно обозна­чим через А, В, С. В частности, каждая тонна руды должна содержать по крайней мере 5 кг элемента А, 100 кг элемента В и 30 кг элемента С. Содержание элементов в руде, добываемой в каждой из шахт, по­казано в таблице

Пример задачи ЛП Таблица 4.1

	№ шахты
компоненты руды	1	2	3	4
	содержание компонентов в 1 тонне руды в кг.
А -(5)	10	3	8	2
В-(100)	90	150	75	175
С -(30)	45	25	20	37
Цена руды $	800	400	600	500

Анализ приведенных данных показывает, что, например, руда из первой шахты удовлетворяет требованиям по содержанию элементов А и С, но не удовлетворяет требованиям по содержанию элемента В. Соответствующие выводы мы легко можем сделать и по остальным шахтам.

Очевидно, что для того, чтобы иметь руду, содержащую достаточ­ное количество элементов А, В и С, необходимо смешивать руды из различных шахт. Это можно сделать разными способами.

Однако, руда из каждой шахты имеет свою цену, а именно:

одна тонна из шахты 1 стоит $800, из шахты 2 $400,

из шахты 3 $600, из шахты 4 $500.

Чем должен руководствоваться менеджер предприятия, покупающего руду? Естественно тем, чтобы цена была как можно меньшей и при этом, чтобы руда была необходимого качества. Дан­ную реальную проблему можно сформулировать как математическую задачу.

Обозначим через Х₁ количество руды, которое должно содержать­ся в одной тонне смеси, добываемой из шахты 1. Аналогично: Х₂, — количество руды из шахты 2, Х₃— количество руды из шахты 3, Х₄ — количество руды из шахты 4.

Цена одной тонны смеси будет выражаться функцией:

. (2.26)

Выражение будет определять содержание элемента А в одной тонне смеси. Так как это количество по условию должно быть не менее 5, то получаем:

(2.27)

Точно также получим:

(2.28)

(2.29)

Необходимо учесть, что мы определяем смесь массой 1 тонна, т. е.

(2.30)

Все величины Х₁ , Х₂ , Х₃ , Х₄ должны быть неотрицательны.

(2.31)

Итак, необходимо найти такие неотрицательные значения Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, которые бы минимизировали функцию (2.26) и удовлетворяли бы ограничениям (2.28-.2.31).

Из выше изложенного следует, что задачи линейного программирования — это такие задачи, в которых целевая функция есть линейная функция, а ограничения — линейные равенства или неравенства.

2.6.2. Общая постановка задач ЛП

Как правило, большинство реальных проблем, которые можно сформулировать как задачи ЛП, имеют дело с достаточно большим количеством факторов. Поэтому приведем формулировку задач ЛП в общем виде, т. е. когда число неизвестных равно n, а число ограни­чений равно m.

Найти такие значения неизвестных х₁, х₂, . . . , х_n, которые бы максимизировали (или минимизировали) целевую функцию

( 2.32)

удовлетворяли бы ограничениям

,

…………………………………… (2.33)

,

( 2.34)

Знак ≤ подразумевает, что ограничения могут иметь вид "=", "≥","≤".

Функция ( 2.32) есть целевая функция, (2.33) и (2.34) — ограничения задачи ЛП. Величины С₁, С₂, ..., С_п в выражении (2.32) называются коэффициентами целевой функции; a_ij (i=1, 2, . . . , m; j=l, 2, . . . , n) — коэффициенты условий (II. 2. 2); b_i(i=1, 2, . . , т) — правые части ограничений

(2.33); условия (2.34) — условия неотрицательности. Из (2.33) и примеров, рассмотренных в предыдущем параграфе, следует, что ограничения могут быть неравенствами со знаками ≥ или ≤, а также иметь вид равенств. Соотношение между т и п, как правило, произвольно.

Все ограничения задачи образуют некоторую область в n-мерном пространстве, которую называют областью решений или областью планов задачи ЛП.

Любая точка n-мерного пространства называется решением или планом задачи ЛП, если ее координаты (х₁, х₂, . . . , х_n) удовлетворяют всем ограничениям задачи ЛП.

План называется оптимальным, если его координаты обеспечивают минимум или максимум целевой функции.

Ограничения, имеющие первоначально вид неравенств, можно свести к равенствам. Для иллюстрации этой возможности вернемся к задаче, рассмотренной выше нами в предыдущем параграфе. В примере 1 ограничения имели вид

,

, (2.35)

.

Правые части всех неравенства превосходят на какую-то неотрицательную величину левые части. Если мы к левым частям добавим новые неотрицательные переменные х₃, х₄ и х₅ соответственно, то при определенных значениях этих неизвестных неравенства станут равенствами, т. е.

,

, (2.36)

В примере 2 ограничения имели вид:

,

, (2.37)

,

Здесь уже левые части первых трех неравенств превосходят на ка­кую-то неотрицательную величину правые части. Необходимо от левых частей отнять некоторые неотрицательные переменные х₅, х₆, х₇ такие, что неравенства превратятся в равенства, т. е.

,

, (2.38)

.

Понятно, что с последним ограничением примера никаких опе­раций проделывать не надо. Переменные, которые надо прибавить к левым частям неравенств вида < или отнять от левых частей неравенств вида >, чтобы неравенства превратились в равенства, назы­ваются вспомогательными или дополнительными переменными.

Ясно, что значения дополнительных пере­менных не известны заранее. Введя дополнительные переменные, мы изменили задачу ЛП, т. к. у нас увеличилось число неизвестных. Мы должны эти новые неиз­вестные ввести в целевую функцию. Дополнительные переменные имеют конкретную интерпретацию.

Методы решения задач ЛП удобно применять в слу­чае, когда ограничения были бы в форме равенств (речь не идет, конечно, об условиях неотрицательности). Если ограничения задачи ЛП записаны в виде неравенств, то говорят, что данная задача запи­сана в стандартном виде. Если все ограничения имеют вид равенств, то говорят, что данная задача ЛП представлена в каноническом виде.

Можно использо­вать векторы и матрицы для записи задачи ЛП. Действительно, из коэффициентов ограничений a_ij без труда составляется мат­рица:

A =

Запишем матрицы неизвестных, правых частей и целевой функции, соответст­венно

X = , B = ,

. Тогда стандартную задачу ЛП можно записать так:

, (П. 2. 4)

,

,

или

, (П. 2. 5)

,

,

а если все ограничения в виде равенств (каноническая форма):

, (II. 2. 6)

,

.

Форма записи задачи ЛП в виде (П. 2. 1 - II. 2. 3) называется алгеб­раической формой задачи ЛП; форма записи в виде (II. 2. 4 — II. 2. 6) — матричной формой. Есть и третья форма записи — векторная.

Пусть С = (С₁, С₂, ... , C_n,), Х = (х₁, х₂,..., x_n) соответственно вектор целевой функции и вектор неизвестных. Каждый столбец матрицы А и правые части обозначим через векторы:

A₂ = , A₂ = , ………. , A_n = , B =

Тогда задача ЛП будет иметь вид:

.

Упражнения

1. Фирма изготовляет два вида лыж — беговые и слаломные. Цифро­вые данные о возможностях фирмы в день приведены в таблице. Сколь­ко пар лыж каждого типа должна производить фирма в день, чтобы прибыль была максимальной?

Таблица 2.6.2

	Количество человеко-часов для изготовления одной пары		Максимально возможное количество чел.- часов
	беговые	слаломные
Изготавливающий цех	6	4	108
Отделочный цех	1	1	24
Прибыль за одну пару	400	300

2. Предприятие ИВЦ «Техномаш» выпускает два вида огнетушителей – порошковые и аэрозольные. Цифро­вые данные о месячной производительности приведены в таблице. Сколь­ко огнетушителей каждого типа должно производить предприятие в месяц, чтобы прибыль была максимальной?

	Количество нормо-часов для изготовления одного изделия		Максимально возможное количество нормо- часов
	порош- ковые	аэрозоль- ные
Механо-сварочный цех	26	14	1008
Сборочный цех	4 (2)	3	124
Прибыль за одно изделие $	40	30

3. Придумайте самостоятельно проблему, которую можно пред­ставить как задачу ЛП.

2.6.3. Геометрическая интерпретация задач ЛП

Если задача ЛП является задачей с двумя неизвестными х₁ и х₂, то можно применить для ее исследования так называемый графичес­кий способ, основанный на геометрической интерпретации задачи ЛП.

Ограничения задачи ЛП определяют некоторую область в первой четверти плоскости x_l0x₂. Чтобы построить эту область (область пла­нов задачи ЛП) необходимо графически решить систему неравенств, представляющих собой ограничения. Изобразим область допустимых решений задач ЛП.

Вы знаете, что любое линейное неравенство с двумя переменны­ми делит плоскость на две полуплоскости, точки одной из которых удовлетворяют данному неравенству, точки другой — не удовлетворяют. Границей этих полуплоскостей является прямая, в уравнении кото­рой левые и правые части такие же как и в данном неравенстве. На­пример, изобразим графически неравенство

Рис. 2.13 Графическое изображение неравенства.

Алгоритм построения

1. Построили прямую

2. Определили, что все точки, лежащие выше прямой, удовлетво­ряют данному неравенству. Для этого достаточно взять какую-нибудь точку из любой полуплоскости и проверить, удовлетворяют или нет ее координаты данному неравенству. Самое простое — взять точку О (0, 0).

0х₁, — 0х₂,<6.

Следовательно, точка О (0, 0) принадлежит мно­жеству точек, удовлетворяющих данному неравенству. Если неравенство нестрогое, то точки прямой также будут удовлетворять неравенству.

Теперь ясно, как изобразить графически систему неравенств. Необходимо графически изобразить каждое неравенство, пересечение (об­щая часть) решений всех неравенств и будет изображать искомую область. Например, изобразим графически систему неравенств:

,

, (2.39)

,

Рис. 2.14 План задачи ЛП

Необходимо рассматривать только первую четверть, т. к. х₁ и х₂ неотрицательны.

Решением данной системы является многоугольник, вершины которого находятся в точках (0, 0), (0, 10), (5, 8), (9, 4), (11, 0). Вершины многоугольника, являющегося решением данной системы неравенств определяются попарным решением линейных уравнений системы (2.39). Если данные неравенства суть ограничения задачи ЛП, то любая точка из получен­ного многоугольника (включая его границы) будет являться планом задачи ЛП.

Рассмотрим еще один пример. Изобразим графически решение следующей системы неравенств:

,

, (2.40)

,