Desktop_1 / Лекции 1 симестр / механика2
.docЛекция №2
Механика
Кинематика поступательного и вращательного движения
(Материальная точка, система отсчета, перемещение, скорость, ускорение, основная задача кинематики)
Кинематика - это раздел механики, где изучаются способы описания движений независимо от причин, обусловливающих эти движения, то есть, в основном, геометрические свойства движения. Массы тел и действующие на них силы в кинематике не рассматриваются. В лекциях по кинематике рассмотрены три вопроса, необходимых для понимания физических основ механики: кинематика частицы, кинематика твердого тела и преобразование скорости и ускорения при переходе от одной системы отсчета к другой
Если размеры тела при описании его движения несущественны, то его движение можно рассматривать как движение материальной точки в пространстве. Это самая простая модель для описания реального тела. Так как в дальнейшем будут рассматриваться движения тела обладающего массой, но в пренебрежении ее размерами, внутренней структуры и формы, то введем в рассмотрение единый термин частица, понимая под ним материальную точку. Существует несколько способов описания движения частицы: векторный (геометрический) и координатный. Рассмотрим их последовательно.
Векторный способ. В этом способе положение интересующей нас частицы А задают радиусом-вектором , проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета в точку А. Под системой отсчета в механике понимают совокупность: тело отсчета, способ измерения расстояний ("линейка") и способ измерения времени ("часы"). При движении частицы А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени t.
Рис. 2.1. Векторный способ описания движения частицы |
Геометрическое место точек, где тело побывало за время своего движения, называется траекторией частицы А. При векторном способе описания траекторией будет положение концов радиус-вектора во все моменты времени.
Введем понятие скорости частицы. Скорость характеризует быстроту движения частицы. Пусть за промежуток времени точка А переместилась из точки 1 в точку 2 (рис. 2.1). Из рисунка видно, что вектор перемещения частицы А представляет собой приращение радиус-вектора за время (t : . Отношение называют средним вектором скорости <> за время (t. Вектор <> совпадает по направлению с . Определим теперь вектор скорости частицы в данный момент времени как предел отношения при t→ 0, т. е.
(2.1) |
Это значит, что вектор скорости частицы в данный момент времени равен производной от радиус-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения частицы А (как и вектор ). Модуль вектора равен
Заметим, что в общем случае модуль приращения радиус-вектора не равен изменению модуля радиус-вектора . Например, если меняется только по направлению при движении частицы по окружности, то но .
Движение частицы характеризуется также ускорением. Вектор ускорения определяет скорость изменения вектора скорости со временем:
, |
(2.2) |
т. е. равен производной от вектора скорости по времени. Направление вектора совпадает с направлением вектора - приращением вектора за время dt. Модуль вектора определяется аналогично модулю вектора . Пусть, например, радиус-вектор частицы зависит от времени t по закону
,
где и - постоянные векторы. Найдем скорость и ускорение частицы: Модуль вектора скорости
.
Таким образом, зная зависимость , можно найти скорость и ускорение частицы в каждый момент времени.
Возникает и обратная задача: можно ли найти и , зная зависимость от времени ускорения ?
Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости недостаточно, так как необходимо еще знать начальные условия, а именно - скорость и радиус-вектор частицы в некоторый начальный момент . Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простой случай, когда при движении ускорение частицы остается постоянным.
Определим сначала скорость частицы . Согласно (2.2), за интервал времени dt малое приращение скорости . Интегрируя это выражение по времени от t = 0 до t, определим конечное приращение вектора скорости за это время:
.
Но величина - это еще не искомая скорость . Для нахождения , необходимо знать скорость в начальный момент времени . Тогда , или
Аналогично вычисляется и радиус-вектор частицы. Согласно (2.1), за интервал времени dt малое приращение радиус-вектора . После интегрирования этого выражения с учетом определенной выше зависимости , определим приращение радиуса-вектора за время от t = 0 до t:
.
Для нахождения самого радиус-вектора необходимо знать положение частицы в начальный момент времени . Тогда ,
или
.
Координатный способ. В этом способе с телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор вида системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить математическое решение задачи. Для простоты рассмотрим декартову систему координат x,у,z. Изучение движений частицы в других координатах оставим для задач.
Запишем проекции радиус-вектора на оси координат. Вектор определяет положение интересующей нас частицы относительно начала координат О в момент t:
Закон движения частицы - это зависимость координат от времени. Он задает положение частицы в каждый момент времени, ее скорость и ускорение. Cпроектировав (2.1) и (2.2), например, на OX, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:
, |
(2.3) |
где dx- проекция вектора перемещения на ось х,
(2.4) |
здесь - проекция вектора приращения скорости на ось х. Такие же соотношения получаются для у- и z-проекций соответствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени.
Зависимости полностью определяют движение частицы. Зная их, можно найти не только положение частицы, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов и в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости определяется формулой
,
а направление вектора задается направляющими косинyсами по формулам:
(2.5) |
где , β ,γ - углы между вектором и осями х, у, z соответственно. Направляющие косинусы всегда удовлетворяют соотношению . Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения .
С помощью закона движения можно найти траекторию частицы, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения частицы и т.д.
Нахождение скорости и закона движения частицы по заданному ускорению называется обратной задачей. Ее решение проводится, как и в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по времени). Задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и координаты частицы в начальный момент времени.
Вернемся к определению ускорения частицы . Выразим
Здесь еτ является еденичным вектором (ортом) вдоль направления вектора скорости. Отсюда:
Первая часть нашего равенства характеризует изменение модуля скорости со временем и направлена вдоль вектора скорости эта часть носит название: линейное или тангенциальное ускорение.
Перейдем ко второй части равенства. Рассмотрим изменение единичного вектора еτ при его повороте за малый промежуток времени t . Для этого совместим начало вектора еτ в первоначальный момент времени с началом этого вектора в момент времени через промежуток t . При этом вектор соединяющий конец первого вектора с концом второго вектора будет приращением (разностью) этих векторов еτ .
При малом повороте вектора еτ
При малых
Отсюда вторая исходное уравнение приобретает вид
Производная по времени от угла поворота есть угловая скорость. Представим угловую скорость в виде:
Таким образом, мы установили связь между абсолютными значениями угловой и линейной скоростью.
Исходное выражение для ускорения точки может быть записано в окончательном виде:
В этом выражении первый член правой части является тангенциальным ускорением, которое направлено в сторону или навстречу движению точки. Второй член называется нормальным или центростремительным ускорением. Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно вектору скорости движения точки и направлено к центру кривизны траектории.
Полное ускорение направлено находится по правилу векторного сложения и является результирующим вектором векторов тангенциального и нормального ускорения. Его абсолютная величина определяется как:
Вернемся к рассмотрению вращательного движения, характеристиками которого является угол поворота тела и угловая скорость.
Угловая скорость, как и угол поворота, являются векторами (псевдо векторами) направление которых перпендикулярно плоскости вращения и совпадает с направлением вкручивания правого винта, если тот вращается в сторону рассматриваемого вращения.
Есть еще одна векторная характеристика вращательного движения, это угловое ускорение.
Направление этого вектора (псевдо вектора) совпадает или противоположно вектору угловой скорости в зависимости от того увеличивается или уменьшается угловая скорость объекта.
Равномерное вращение так же характеризуется периодом T (временем одного оборота тела) и частотой вращения (количеством полных оборотов в единицу времени).
Период измеряется в секундах, частота - в обратных секундах, угол поворота - в радианах, угловая скорость - в радианах в секунду, угловое ускорение - в радианах в секунду за секунду.
Вернемся к выражению для углового ускорения, распишем его и получим связь между линейным и угловым ускорением
Основной задачей кинематики является нахождение положения движущейся матеоиальной точки, ее скорости, ускорения в любой интересующий нас момент времени.
Пусть известен вид функции, выражающей зависимость координат точки от времени
x = f1(t), y =f2(t), z = f3(t). Тогда подставляя значение времени в эти выражения, получим координаты точкив интересующий момент времени. Продифференцировав по времени и продифференцировав дважды по времени функции определяющие координаты точки, получим соответственно значение компонент скорости и ускорения точки.
Возможно так же и обратная задача: по функциям выражающим временную зависимость компонент ускорения от времени найти компоненты скорости и координаты точки в интересующий момент времени. Эта задача решается совершением обратной операции интегрированием. Однократное интегрирование дает значение компонент скорости, двукратное дает значение координат точки.
Так как интегрирование определяет функцию с точностью до произвольной постоянной величины. Для решения поставленной задачи должны быть заданы начальные условия определяемые из дополнительных соображений.
Начальные условия это параметры механического состояния заданные в определенный момент времени. Обычно удобен для этих случаев начальный момент, когда t = 0 .