Desktop_1 / Лекции 1 симестр / механика11

Лекция №11.

Механика

Волны

Волновое движение. Интерференция волн от двух источников. Стоячая волна.

Пусть имеется некоторая точка, совершающая колебания в среде все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебания может передаться и другим частицам вызывая их колебания.

Явление распространения колебания в среде называется волной.

Примером волны могут служить волны на поверхности воды от брошенного камня. Если колебать конец веревки, то вдоль нее побежит волна. Звук распространяется при помощи звуковой волны.

При распространении колебаний в волне колеблющиеся частицы никуда не перемещаются они колеблются вокруг собственных положений равновесия, в то время как волновой процесс распространяется вдоль определенного направления называемого лучом.

Если частицы колеблются вдоль направления распространения волны, волна называется продольной. Если частицы колеблются поперек направления распространения волны, то волна называется поперечной.

От упругих свойств среды зависит вид распространяющихся в среде волн. Если при сдвиговых деформациях в среде возникает упругая возвращающая сила, то в среде могут распространяться поперечные волны. Примером поперечных волн могут служить волны на натянутой струне.

Если такие силы возникают в среде при ее сжатии, то в такой среде могут возникать продольные волны. Примером могут служить звуковые волны в сплошной среде.

Скорость распространения продольных волн зависит от упругих свойств среды и от ее плотности. При волновом процессе в волне не происходит перемещение вещества вдоль луча имеет место только колебание колеблющейся величины вокруг положения равновесия в каждой точке пространства. Вдоль луча перемещается только фаза колебаний.

Рассмотрим для примера волны на поверхности резиновой мембраны от точечного вибратора. Если рассмотреть поведение каждой точки на этой пленке, то мы увидим что она совершает колебания во времени вокруг положения равновесия и только с определенным временным периодом. Сфотографируем пленку, и мы увидим, что на пленке имеется повторяющиеся через один и тот же пространственный период холмы и впадины представляющие волновую картину.

Таким образом, волновой процесс это двояко периодический процесс, характеризующийся временным и пространственным периодом.

Время, за которое совершается одно полное колебание колеблющейся величины в каждой точке пространства, называется периодом колебания волны (T).

Расстояние на которое распространяется определенная фаза колебания за один период называется длиной волны (длина волны это пространственный период) ().

Под скоростью распространения волны понимают скорость распространения ее фазы V_ф (фазовая скорость). V_ф = /Т

Представим, что источник колебания расположен в сплошной среде, и колебания от него распространяются во все стороны.

Геометрическое место точек до которого к настоящему моменту времени дошло колебание называется фронтом волны.

Геометрическое место точек колеблющихся в одной фазе образуют поверхность одной фазы, которая называется волновой поверхностью. Если среда изотропна, то волновые поверхности будут сферической формы с радиусом r = V_фt.

Направление распространение фронта волны называется лучом. Луч перпендикулярен фронту волны.

11.1. Уравнение волны

Выясним каким образом можно аналитически характеризовать волновой процесс. Представим, что мы возбудили волну на веревке. Конец веревки мы привели в колебательное движение. Пусть веревка растянута вдоль оси у , тогда смещение веревки из нейтрального положения происходят в перпендикулярном у направлении по оси х . Пусть конец веревки колеблется по гармоническому закону x=acost. Произвольная точка лежащая на веревке с координатой у начнет колебаться с той же фазой с некоторым запаздыванием на время τ = у/V_фаз .

Таким образом уравнение колебания произвольной точки лежащей на пути распространения волны можно записать следующим образом:

Каждая точка на луче волнового процесса совершает колебание во времени и имеет свою начальную фазу зависящую от ее геометрического места.

Таким образом если рассмотреть волновой процесс в какой то фиксированный момент времени, то видно, что колеблющаяся величина будет распределена вдоль луча периодически.

Две точки с координатами у₁ и у₂ имеют разность фаз ₁-₂ = 2( у₂- у₁)/. Это так называется плоские волны.

Однако в упругой сплошной среде от точечного источника могут распространяться сферические волны, у которых амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию от источника.

11.2. Интерференция волн

В среде могут распространяться колебания от нескольких источников. Если колебания от нескольких источников происходят с одинаковой частотой в одном направлении и постоянной разностью фаз, то такие колебания при наложении могут складываться. Это явление получило название интерференции, а такие колебания называются монохроматическими и когерентными.

Явление интерференции можно наблюдать в простом эксперименте. Возбудим в пространстве волну и поставим перед ее фронтом преграду в которой имеются два отверстия.

По принципу Гюйгенса каждая точка фронта волны сама по себе является источником вторичных волн. Таким образом, эти отверстия являются двумя источниками монохроматических когерентных волн:

Рассмотрим некоторую точку О расположенную за преградой на расстоянии r₁ и r₂ соответственно от первого и второго отверстия. В этой точке колебания дошедшие от первого и второго отверстия будут иметь вид соответственно:

Если расстояние между отверстием 1 и 2 невелико, то

В этом случае, как мы уже знаем амплитуда результирующего колебания определяется из выражения:

Таким образом, если

Если

Отсюда учитывая, что

Получим условия максимума и минимума амплитуды результирующего колебания в произвольной точке за преградой:

Результирующая картина называемая интерференционной представляет собой систему точек в которых имеет место усиление или ослабление колебаний.

12.3.Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются так называемые стоячие волны образующиеся в результате наложения двух встречных плоских волн одинаковой амплитуды и частоты. В качестве примера рассмотрим стоячие волны образующиеся на струне.

Пусть на струне закрепленной на концах в направлении оси у бежит плоская волна

Добежав до закрепленного конца волна отразится от него и побежит в обратном направлении

В результате эти волны складываются и результирующие колебания будут определятся новым выражением:

Первый сомножитель в этом выражении определяет частоту временных колебаний точек струны, второй сомножитель показывает пространственную периодичность максимумов (место пучности) и минимумов (узлов) амплитуды колебания точек струны.

Координаты пучности определяются из выражения

Расстояние между пучностями можно определить из выражения:

Координаты узлов и расстояние между ними соответственно определяются как: