- •1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
- •1.1. Краткая историческая справка
- •1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
- •1.3. Метод сечений
- •1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
- •1.5. Правило знаков ВСФ
- •1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
- •1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
- •1.9. Понятие о перемещении и деформации
- •1.10. Теорема Кастилиано
- •1.11. Теорема Бетти-Максвелла
- •1.12. Основные принципы сопротивления материалов
- •1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
- •1.14. Основные виды расчетов
- •2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические характеристики материалов
- •2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
- •2.3. Допускаемые напряжения
- •2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики
- •2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
- •2.6. Предельное состояние конструкции
- •3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
- •3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
- •3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
- •3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
- •4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
- •4.1.1. Площадь сечения
- •4.1.2. Статические моменты площади
- •4.1.3. Моменты инерции
- •4.1.4. Радиусы инерции
- •4.2. Основные теоремы о моментах инерции
- •4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
- •4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
- •4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
- •4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
- •5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
- •5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
- •5.6. Численные методы решения интеграла Мора
- •5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5.6.2. Способ Верещагина
- •5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
- •5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
- •5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
- •5.10. Косой изгиб
- •5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
- •6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
- •6.1. Чистый сдвиг и его особенности
- •6.2. Кручение стержней круглого профиля
- •6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
- •6.4. Интеграл Мора для случая кручения
- •6.5. Кручение стержней некруглого профиля
- •6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
- •6.7. Практические расчеты на срез и смятие
- •6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •6.7.2. Сварные соединения
М Mz>0 М
|
y |
|
y |
x |
z |
z |
x |
против часовой стрелки М Mz<0 М
|
y |
y |
|
x |
z |
z |
x |
|
по часовой стрелке |
|
1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
Пример. Для нагруженной консольной балки построить эпюры Qy и Мх
12
1. Построение эпюры Qy.
Вданном случае будет один участок: 0≤z≤2l. Для произвольного сечения с координатой z:
Qy(z)=-F+q*z.
Получена линейная зависимость, для построения графика которой нужны значения функции Qy(z) в начале и конце участка:
Qy (0) = −2q l + q 0 = −2q l ; Qy (2l) = −2q l + q 2l = 0 .
2. Построение эпюры Mx. Рассмотрим два участка балки. 1-й участок: 0≤z1≤l:
M x (z1) = 2ql z1 − q z1 z21
Получена квадратичная зависимость, для построения графика которой нужны значения функции Мх(z1) в начале и конце участка:
Вначале участка M x (0) = 2ql 0 − q 0 02 = 0.
Вконце участка M x (l) = 2ql l − q l 2l = 1,5ql2 .
2-й участок: 0≤z2≤l:
M x (z2 ) = 2ql (z2 |
+ l) − q (z2 |
+ l) |
(z2 + l) |
+ ql |
2 |
. |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
Получена квадратичная зависимость, для построения графика которой нужны значения функции Мх(z2) в начале и конце участка:
В начале участка M x (0) = 2ql l − q l 2l + ql2 = 2,5ql2 .
Вконце участка M x (l) = 2ql 2l − q 2l 22l + ql2 = 3ql2 .
1.7.Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную произвольной нагрузкой qz.
Вокрестностях точки B вырежем бесконечно малый участок балки длиной dz. В силу малости участка можно принять q=const:
Запишем условия статического равновесия:
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Fiy =0 : Qy + q dz − Qy − dQy = |
|||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
∑M B (Fi ) = 0 :Qy dz + M x |
+ q dz |
||||||||
2 |
|||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
||
Слагаемым q dz |
dz |
можно пренебречь, тогда |
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
dM x |
|
|||
|
|
Qy = |
|
|
|||||
|
|
|
dz |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
q = |
d 2M |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dz2 |
|
|
|
0 q = dQy dz
− M x − dM x = 0 .
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Зависимость (1.4) используется для анализа возрастания или убывания функции Mx слева направо:
если Qy>0, то Mx возрастает; если Qy<0, то Mx убывает;
если q=0, Qy=const, то Mx=Qy*z+C – наклонная прямая; если q=const, то Qy=q*z+D – наклонная прямая,
M = q z2 + Dz + B – квадратичная парабола, где C, D, B – постоянные интегрирования.
x 2
14
Основные закономерности при построении эпюр Qy и Mx
1.От действия сосредоточенной силы на эпюре Qy – скачок на величину силы в сторону знака ее воздействия; на эпюре Mx – перелом, острие которого направлено в сторону действия силы.
2.От сосредоточенной пары сил на эпюре Mx – скачок на величину пары в сторону, противоположную знаку ее воздействия.
3.Если участок пустой (ничем не загружен), на эпюре Qy – прямая, параллельная базе; на эпюре Mx – прямолинейная зависимость.
4.Если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, то на
эпюре Qy – наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным q; на эпюре Mx – квадратичная парабола, выпуклость которой направлена в сторону действия распределенной нагрузки.
5.Если на участке действия распределенной нагрузки на эпюре Qy наклонная прямая пересекает базу, то в соответствующем сечении на эпюре Mx – экстремум.
1.8.Понятие о напряжении. Интегральные уравнения равновесия
Рассмотрим тело, нагруженное самоуравновешенной системой сил.
Выделим произвольное сечение данного тела.
15
Пусть величина площади сечения равна А. Выделим элементарную площадку dA с координатами x, y. В связи с тем, что площадка dA бесконечно мала, примем закон изменения внутренних сил, действующих на ней, равномерным, что позволяет заменить эти силы только главным вектором силы dR.
Введем следующие обозначения:
dN |
= σ – нормальное напряжение; |
|||||||
dA |
|
|
|
|
|
|
|
|
dQy |
= τ |
|
, |
dQx |
= τ |
|
– касательные напряжения. |
|
dA |
|
zy |
|
zx |
||||
|
|
|
dA |
|
||||
|
|
|
|
|
|
В обозначениях касательного напряжения первый индекс указывает ось, перпендикулярную площадке, второй – ось, в направлении которой оно действует.
Размерность напряжений – Па [Н/м2].
Полный вектор напряжений P = σ 2 +τ |
2 |
+τ 2 . |
|
|
|
|
zy |
zx |
|
На основании вышесказанного: |
|
|
|
= τ zx dA , |
dN = σ dA, dQy |
= τ zy dA, dQx |
|||
то есть |
|
|
|
|
N = ∫σ dA |
|
|||
|
|
|
A |
|
Qy |
= ∫τ zy dA |
(1.6) |
||
|
|
|
A |
|
Qx |
= ∫τ zxdA |
|
||
|
|
|
A |
|
|
|
|
16 |
|