- •1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
- •1.1. Краткая историческая справка
- •1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
- •1.3. Метод сечений
- •1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
- •1.5. Правило знаков ВСФ
- •1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
- •1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
- •1.9. Понятие о перемещении и деформации
- •1.10. Теорема Кастилиано
- •1.11. Теорема Бетти-Максвелла
- •1.12. Основные принципы сопротивления материалов
- •1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
- •1.14. Основные виды расчетов
- •2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические характеристики материалов
- •2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
- •2.3. Допускаемые напряжения
- •2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики
- •2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
- •2.6. Предельное состояние конструкции
- •3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
- •3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
- •3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
- •3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
- •4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
- •4.1.1. Площадь сечения
- •4.1.2. Статические моменты площади
- •4.1.3. Моменты инерции
- •4.1.4. Радиусы инерции
- •4.2. Основные теоремы о моментах инерции
- •4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
- •4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
- •4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
- •4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
- •5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
- •5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
- •5.6. Численные методы решения интеграла Мора
- •5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5.6.2. Способ Верещагина
- •5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
- •5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
- •5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
- •5.10. Косой изгиб
- •5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
- •6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
- •6.1. Чистый сдвиг и его особенности
- •6.2. Кручение стержней круглого профиля
- •6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
- •6.4. Интеграл Мора для случая кручения
- •6.5. Кручение стержней некруглого профиля
- •6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
- •6.7. Практические расчеты на срез и смятие
- •6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •6.7.2. Сварные соединения
l
где интеграл ∫ z dΩ1 представляет собой статический момент площади грузовой эпюры
0
относительно оси y и может быть вычислен
l
∫ z dΩ1 = Ω1zц.т. , 0
где zц..т. - абсцисса точки центра тяжести грузовой эпюры. Окончательно получаем
I = bΩ1 + kΩ1 zц.т. = Ω1 (b + k zц.т. ) = Ω1 f2 (zц.т. ) .
Таким образом, по правилу Верещагина интеграл Мора определяется как произведение площади грузовой эпюры Ω1 на расположенную под центром тяжести грузовой эпюры ординату единичной эпюры f2(zц.т.), отнесенное к жесткости поперечного сечения EJx. Если грузовая эпюра является линейной, то произведение в формуле Верещагина обладает свойством коммутативности.
Пример.
Определить перемещение среднего сечения консольной балки:
Поскольку обе эпюры являются линейными, при вычислении способом Верещагина возьмем площадь единичной эпюры и ординату грузовой эпюры, соответствующую положению точки центра тяжести единичной эпюры:
δ |
|
= |
1 |
l2 5Fl = |
5Fl3 |
. |
С |
|
|
||||
|
|
EJx |
8 6 |
48EJx |
||
|
|
|
5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
Определим функцию изогнутой оси балки y(z).
65
Из дифференциальной геометрии известно, что кривизну плоской кривой можно определить
1= y′′
ρ(1+ y′2 )3/ 2 .
Очевидно, что в области упругого деформирования угол наклона касательной к изогнутой оси балки Θ → 0, то есть
Θ ≈ tgΘ = y′ → 0 .
Следовательно, величиной y′2 в приведенной выше формуле можно пренебречь, тогда
1ρ = y′′ .
С другой стороны, в соответствии с формулой (5.5),
ρ1 = EJM x .
x
Таким образом, дифференциальное уравнение упругой линии балки имеет вид
y′′ = M x .
EJx
С учетом дифференциальных зависимостей при изгибе dMdz x = Qy ; dQdzy = q
получим следующие выражения для внутренних силовых факторов:
y′′EJx = M x ; y′′′EJ x = Qy ; yIV EJ x = q .
5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
Пример.
Определить перемещение среднего сечения консольной балки:
Эпюра внутреннего изгибающего момента для данного случая описывается функцией
Mx=Fz,
дифференциальное уравнение упругой линии балки
66
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ = |
|
|
M x |
|
= |
|
|
Fz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
x |
|
|
|
|
EJ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функция угла поворота сечений балки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = ∫l |
|
|
Fz |
dz = |
|
Fz2 |
|
|
|
|
+ C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
EJ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
функция перемещения точек балки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
Fz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fz |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C dz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Cz + D , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6EJ x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где C и D – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (условий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
закрепления балки). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В рассматриваемом случае граничные условия: y(z=l)=0; y’(z=l)=0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Применяя второе условие, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Fl2 |
|
|
|
|
+ C = 0, откуда C = − |
|
Fl2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2EJ |
x |
|
|
2EJ |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из первого условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Fl3 |
|
+ Cl + D = 0 , откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = − |
Fl |
3 |
− Cl = − |
|
|
Fl3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
Fl3 |
|
|
|
= |
|
|
Fl3 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6EJ |
|
|
6EJ |
|
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
3EJ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
F |
|
|
|
z |
3 |
|
− |
|
Fl2 |
|
z + |
|
|
Fl |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6EJ |
|
|
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
3EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Перемещение среднего сечения балки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
l3 |
|
|
|
|
|
|
Fl2 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fl3 |
|
|
|
|
|
|
5Fl |
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y z = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6EJx |
8 |
2EJx |
|
2 |
|
|
3EJ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48EJx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Это совпадает со значением, вычисленным ранее по формуле Верещагина. |
На основе метода непосредственного интегрирования получено уравнение начальных параметров:
EJx y(z) = EJx y0 |
+ EJx |
Θ0 z + |
M z |
2 |
|
F z3 |
+ |
q z4 |
− |
q |
(z − c)4 |
|||||||||||||||
|
|
0 |
+ |
0 |
0 |
|
0 |
|
+ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
4! |
|
|
|
4! |
|
|
|
||||
+ ∑ |
M |
(z − a )2 |
+ ∑ |
F (z − b )3 |
|
+ |
|
q (z − d |
)4 |
|
− ∑ |
q (z −l |
)4 |
|
|
|||||||||||
i |
i |
|
|
i |
i |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
i |
i |
|
|
|
|||||||
|
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
||||||||
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
где: y0, Θ0 линейноеперемещение и угол поворота балки в начале координат (геометрические начальные параметры),
M0, F0, q0 - силовые факторы в начале координат (статические начальные параметры),
ai, bi, di, ei – координаты приложения сосредоточенных силовых факторов Fi, Mi, начала и конца участков распределенной нагрузки qi.
Начало координат всегда помещается в крайнюю левую точку балки. 67
Знаки слагаемых: сосредоточенные и распределенные силы Fi и qi считаются положительными, если они направлены вверх, момент сосредоточенной пары сил Mi считается положительным, если пара сил действует по часовой стрелке.
5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
Пример.
Для заданной балки двутаврового поперечного определить из расчета на прочность номер двутавра и провести расчет на жесткость. Материал балки – сталь Ст3 с допускаемым напряжением [σ]=160 МПа, допускаемый прогиб [f]=(0,0005÷0,001)·3 м.
Расчет на прочность.
Для определения положения опасного сечения построим эпюры Qy и Мх. Из эпюры Мх очевидно, что опасным является сечение D.
Условие прочности:
σ |
max |
= σ |
D |
= 55кН м |
≤ [σ ], |
|
|
Wx |
|
||
|
|
|
|
|
откуда требуемый момент сопротивления
68