- •1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
- •1.1. Краткая историческая справка
- •1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
- •1.3. Метод сечений
- •1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
- •1.5. Правило знаков ВСФ
- •1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
- •1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
- •1.9. Понятие о перемещении и деформации
- •1.10. Теорема Кастилиано
- •1.11. Теорема Бетти-Максвелла
- •1.12. Основные принципы сопротивления материалов
- •1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
- •1.14. Основные виды расчетов
- •2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические характеристики материалов
- •2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
- •2.3. Допускаемые напряжения
- •2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики
- •2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
- •2.6. Предельное состояние конструкции
- •3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
- •3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
- •3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
- •3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
- •4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
- •4.1.1. Площадь сечения
- •4.1.2. Статические моменты площади
- •4.1.3. Моменты инерции
- •4.1.4. Радиусы инерции
- •4.2. Основные теоремы о моментах инерции
- •4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
- •4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
- •4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
- •4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
- •5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
- •5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
- •5.6. Численные методы решения интеграла Мора
- •5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5.6.2. Способ Верещагина
- •5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
- •5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
- •5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
- •5.10. Косой изгиб
- •5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
- •6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
- •6.1. Чистый сдвиг и его особенности
- •6.2. Кручение стержней круглого профиля
- •6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
- •6.4. Интеграл Мора для случая кручения
- •6.5. Кручение стержней некруглого профиля
- •6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
- •6.7. Практические расчеты на срез и смятие
- •6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •6.7.2. Сварные соединения
Определить перемещение среднего сечения двухопорной балки, нагруженной распределенной нагрузкой.
Для определения перемещения точки C методом Мора, необходимы две функции внутреннего изгибающего момента: от действия внешних сил и от действия единичной безразмерной силы, приложенной в точке C к разгруженной балке в направлении искомого перемещения.
Составляем и решаем интеграл Мора.
|
ql |
|
|
qz |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l 2 |
|
|
z − |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
q z4 |
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
ql z3 |
|
|
|
|
|
ql4 |
|
|
|
ql4 |
|
5ql4 |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
δ C = 2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
EJx |
|
dz = 2 |
4EJx |
3 |
4EJx 4 |
|
|
|
6 8EJx |
16 |
8EJx |
384EJx |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6. Численные методы решения интеграла Мора
5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
Функция M1 в интеграле Мора всегда является линейной, а функция M(F) в общем случае (при равномерно распределенной нагрузке) является квадратичной параболой. Произведение этих функций, таким образом, в общем случае есть параболическая функция, интеграл от которой можно вычислить по формуле Симпсона:
∫l |
M (F)M1 |
dz = |
l |
|
(M л (F)M1л + 4M ср (F)M1ср + M пр (F)M1пр ) . |
|
|
6EJ |
|
||||
0 |
EJ |
x |
|
x |
||
|
|
|
63
Рассмотрим вычисление интеграла Мора по методу Симпсона в ранее рассмотренном примере:
|
|
|
l 2 |
|
|
+ 4 3ql |
2 |
|
l |
+ ql |
2 |
|
l |
|
|
l |
5ql |
3 |
5ql |
3 |
|
|
δ |
|
= 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
. |
||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
32 |
8 |
8 |
|
4 |
|
|
6EJ x |
8 8 |
|
384EJ x |
|||||||
|
|
|
6EJx |
|
|
|
|
|
5.6.2. Способ Верещагина
Пусть на участке длиной l грузовая эпюра ограничена функцией f1(z), единичная эпюра – функцией f2(z).
Рассмотрим интеграл вида:
l
I = ∫ f1 (z) f2 (z)dz .
0
Поскольку функция f2(z) всегда является линейной, то есть f2(z)=b+kz, то
l |
l |
l |
I = ∫ f1(z)(b + kz)dz =b∫ f1(z)dz + k ∫ f1(z)z dz .
0 |
0 |
0 |
l
Учитывая, что площадь грузовой эпюры равна Ω1 = ∫ f1 (z)dz , можно записать
0
l
I = bΩ1 + k ∫ z dΩ1 ,
0
64