Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Сопромат.pdf
Скачиваний:
101
Добавлен:
29.03.2015
Размер:
1.35 Mб
Скачать

5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием

5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Чистым изгибом называется такой вид изгиба, при котором возникает только один внутренний силовой фактор: изгибающий момент. Такой вид деформации возникает, например, при четырехточечном изгибе:

Для случая чистого изгиба справедлива гипотеза Бернулли: сечения, плоские до приложения внешней силы, остаются такими же и после нагружения, поворачиваясь друг относительно друга на некоторый угол.

Для определения напряжений рассмотрим три стороны задачи. 1. Статическая сторона задачи.

Воспользуемся интегральными уравнениями равновесия (1.6) и (1.7):

N = σdA M x

= σydA M y

= σxdA

(5.1)

A

,

A

,

A

 

2. Геометрическая сторона задачи.

Вырежем из балки элемент длиной dz. После приложения нагрузки он выглядит следующим образом:

ρ - радиус нейтральной линии. Нейтральной линией называется след нейтрального слоя, разделяющего балку на области растяжения и сжатия.

dθ - угол поворота сечения.

ab = dz – длина нейтральной линии для выбранного элемента.

50

Выделим волокно длиной a1b1 на расстоянии y от нейтральной линии. До деформации его длина равнялась ab. Относительное изменение длины волокна:

ε a b

=

a1b1

ab

=

(ρ + y)dθ

ρdθ

=

y

(5.2)

ab

ρdθ

 

ρ

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Физическая сторона задачи.

Запишем закон Гука в напряжениях и деформациях:

 

 

 

σ = Eε

(5.3)

Подставим выражение (5.2) в формулу (5.3):

 

 

 

 

 

 

 

σ

= Ey

1

 

(5.4)

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда из (5.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M x = Ey2

1

dA =

E y2dA .

 

 

 

 

 

A

 

ρ

 

 

 

 

ρ A

Учитывая определение (4.1), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

M =

EJx

, откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

=

 

M x

 

(5.5)

 

 

 

ρ

 

EJx

 

 

 

 

 

 

 

Произведение EJx называется жесткостью поперечного сечения при изгибе.

Подставим (5.5) в (5.4):

σ = Ey

M x

=

M x y

.

 

 

 

EJ

x

 

J

x

 

 

 

 

Таким образом, абсолютная величина напряжения тем выше, чем больше расстояние y от нейтральной линии. Максимальное напряжение:

σ

max

=

M x ymax

,

 

 

 

Jx

 

 

 

где ymax – расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленной точки сечения. Введем следующее обозначение:

 

Jx

= Wx

- момент сопротивления, тогда условие прочности при чистом изгибе можно

 

ymax

 

 

 

 

 

 

 

записать следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

=

M x

[σ].

 

 

 

max

Wx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для отыскания положения нейтральной линии в области поперечного сечения привлечем оставшиеся два интегральных уравнения равновесия (5.1):

N =

E y dA =

E y dA =

E Sx = 0

 

A

ρ

ρ

A

ρ

,

 

 

 

откуда Sx=0, т.е. ось x является центральной.

51

M y =

E yx dA =

E yx dA =

E J xy = 0,

A

ρ

ρ A

ρ

откуда Jxy=0, т.е. ось x – главная.

 

 

 

Вывод: нейтральная линия является главной центральной осью поперечного сечения.

Для случая прямоугольного сечения можно утверждать, что ось x – нейтральная.

Таким образом, в отличие от случая растяжения-сжатия, где напряжение постоянно в любой точке поперечного сечения, при чистом изгибе напряжение по высоте сечения изменяется по линейному закону.

5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов

При проектировании элементов конструкции, работающих на изгиб целесообразно использовать сечения с размерами, удовлетворяющими условиям:

σmaxс=[σ]c…..σmaxρ=[σ]ρ

где σmaxс и σmaxρ – напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сечения, соответственно для сжатой и растянутой его части.

Пластичный материал

Для пластичного материала [σ]ρ=[σ]c. В данном случае рационально использовать симметричные профили (при этом σmaxρ=σmaxс).

Экономичными являются профили с уменьшенной металлоемкостью в области нейтральной линии, такие как двутавр и швеллер. Показателем экономичности является удельный момент

сопротивления wx = Wx

. Чем выше величина wx, тем профиль более экономичен.

A3

 

Для круга

wx=0,141.

Для кольца d/D=0,7

wx=0,294.

Для двутавра №10

wx=0,955.

Для двутавра №20

wx=1,33

Сечение следует располагать таким образом, чтобы силовой фактор действовал в плоскости максимальной жесткости.

52

Случай 2 более выгодный, т.к.

Wx(2) > Wx(1)

Простое увеличение размеров сечения не всегда эффективно. Так, если у круглого сечения вырезать сегменты высотой в пределах 0,11d, получится более экономичный профиль, чем сплошной круг.

Хрупкий материал

Для хрупкого материала [σ ]c > 0 , поэтому в данном случае целесообразно использовать

[σ ]p

несимметричные относительно нейтральной линии профили, например, тавровый:

Размеры поперечного сечения должны удовлетворять двум условиям:

 

 

 

 

 

σ

 

=

 

M x ymax с

 

≤ [σ]

 

 

 

(5.6)

 

 

 

max с

Jx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

=

M x ymax р

 

≤ [σ]

 

 

 

(5.7)

 

 

 

max р

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из подобия треугольников эпюры σ(Мх) следует, что

σmax с

=

ymax с

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

max р

 

y

max р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

ymax с

>

 

[σ]с

, опасными являются сжатые волокна и расчет на прочность следует

ymax р

 

 

 

[σ]р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вести по формуле (5.6).

53

Если

ymax с

<

 

[σ]с

, опасными являются растянутые волокна и расчет на прочность следует

ymax р

 

 

 

[σ]р

вести по формуле (5.7).

Задача. Подобрать для данной балки размер поперечного сечения a. q=10 кН/м, l=1 м.

Материал балки хрупкий, [σ]ρ=100 МПа, [σ]с=300 МПа.

1.Определяем положение опасного сечения. Для этого строим эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx. По эпюре Mx заключаем, что опасным является участок BC

c M xmax = 2ql2 = 20 кН м. Вид деформации на участке BC – чистый изгиб.

2.Определяем положение опасного волокна в опасном сечении.

Сначала найдем положение точки центра тяжести сечения (это даст положение нейтральной линии).

Разделяем сечение на два прямоугольника с центрами тяжести в точках C1 и C2. Выберем вспомогательную ось совпадающей с центром тяжести одной из фигур (ось xC2 ).

Статический момент сечения относительно вспомогательной оси находим как сумму статических моментов составляющих фигур относительно этой оси:

S

xС

 

= S (1)

+ S (2)

= 6a 2a 4a + 0 = 48a3 .

 

2

x

C2

x

C2

 

 

 

 

 

 

54

Расстояние от точки центра тяжести фигуры до оси xC2

:

SxС2

 

48a3

 

 

yC =

 

=

 

= 2a .

A

16a2 +16a2

По эпюре Mx находим, что нижняя относительно нейтральной линии часть сечения испытывает сжатие (эпюра Mx строится на растянутом контуре):

Так как σ max p > σ max c , а [σ]ρ<[σ]с, то заданное расположение профиля на опорах нерационально. Целесообразно повернуть сечение на 180º.

Определяем, какие волокна являются опасными. Сравним отношение расстояний до наиболее удаленных сжатого и растянутого волокон с отношением соответствующих допускаемых напряжений:

y

maxс

=

5a

<

 

[σ]

=

300 МПа

 

 

3a

 

с

100 МПа

,

ymax р

 

 

 

[σ]р

 

 

следовательно, опасны растянутые волокна, и условие прочности следует записать в виде

σ

 

=

M x ymax р

≤ [σ]

 

,

max р

 

р

 

 

Jx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

где J xC - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии (главный центральный момент инерции).

Момент инерции J xC определяем как сумму моментов инерции простых фигур, составляющих сечение, относительно главной центральной оси.

Для фигуры 1, используя формулу (4.4):

J (1) = J (1)

+ b2 A =

2a (6a)3

 

+ (2a)2 12a2 = 36a4

+ 48a4 = 84a4 .

 

 

xC

xC1

1

1

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для фигуры 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J (2) = J (2)

+ b2 A =

6a (2a)3

 

+ (2a)2 12a2 = 4a4

+ 48a4 = 52a4 .

 

 

xC

xC2

2

2

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]