- •1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
- •1.1. Краткая историческая справка
- •1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
- •1.3. Метод сечений
- •1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
- •1.5. Правило знаков ВСФ
- •1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
- •1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
- •1.9. Понятие о перемещении и деформации
- •1.10. Теорема Кастилиано
- •1.11. Теорема Бетти-Максвелла
- •1.12. Основные принципы сопротивления материалов
- •1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
- •1.14. Основные виды расчетов
- •2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические характеристики материалов
- •2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
- •2.3. Допускаемые напряжения
- •2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики
- •2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
- •2.6. Предельное состояние конструкции
- •3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
- •3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
- •3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
- •3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
- •4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
- •4.1.1. Площадь сечения
- •4.1.2. Статические моменты площади
- •4.1.3. Моменты инерции
- •4.1.4. Радиусы инерции
- •4.2. Основные теоремы о моментах инерции
- •4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
- •4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
- •4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
- •4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
- •5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
- •5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
- •5.6. Численные методы решения интеграла Мора
- •5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5.6.2. Способ Верещагина
- •5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
- •5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
- •5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
- •5.10. Косой изгиб
- •5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
- •6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
- •6.1. Чистый сдвиг и его особенности
- •6.2. Кручение стержней круглого профиля
- •6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
- •6.4. Интеграл Мора для случая кручения
- •6.5. Кручение стержней некруглого профиля
- •6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
- •6.7. Практические расчеты на срез и смятие
- •6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •6.7.2. Сварные соединения
5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
Чистым изгибом называется такой вид изгиба, при котором возникает только один внутренний силовой фактор: изгибающий момент. Такой вид деформации возникает, например, при четырехточечном изгибе:
Для случая чистого изгиба справедлива гипотеза Бернулли: сечения, плоские до приложения внешней силы, остаются такими же и после нагружения, поворачиваясь друг относительно друга на некоторый угол.
Для определения напряжений рассмотрим три стороны задачи. 1. Статическая сторона задачи.
Воспользуемся интегральными уравнениями равновесия (1.6) и (1.7):
N = ∫σdA M x |
= ∫σydA M y |
= ∫σxdA |
(5.1) |
||
A |
, |
A |
, |
A |
|
2. Геометрическая сторона задачи.
Вырежем из балки элемент длиной dz. После приложения нагрузки он выглядит следующим образом:
ρ - радиус нейтральной линии. Нейтральной линией называется след нейтрального слоя, разделяющего балку на области растяжения и сжатия.
dθ - угол поворота сечения.
ab = dz – длина нейтральной линии для выбранного элемента.
50
Выделим волокно длиной a1b1 на расстоянии y от нейтральной линии. До деформации его длина равнялась ab. Относительное изменение длины волокна:
ε a b |
= |
a1b1 |
− ab |
= |
(ρ + y)dθ |
− ρdθ |
= |
y |
(5.2) |
ab |
ρdθ |
|
ρ |
||||||
1 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Физическая сторона задачи.
Запишем закон Гука в напряжениях и деформациях:
|
|
|
σ = Eε |
(5.3) |
|||||||
Подставим выражение (5.2) в формулу (5.3): |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
σ |
= Ey |
1 |
|
(5.4) |
|||||
|
ρ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда из (5.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M x = ∫ Ey2 |
1 |
dA = |
E ∫ y2dA . |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
|
ρ |
|
|
|
|
ρ A |
||
Учитывая определение (4.1), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M = |
EJx |
, откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
M x |
|
(5.5) |
||||
|
|
|
ρ |
|
EJx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Произведение EJx называется жесткостью поперечного сечения при изгибе.
Подставим (5.5) в (5.4):
σ = Ey |
M x |
= |
M x y |
. |
||
|
|
|||||
|
EJ |
x |
|
J |
x |
|
|
|
|
|
Таким образом, абсолютная величина напряжения тем выше, чем больше расстояние y от нейтральной линии. Максимальное напряжение:
σ |
max |
= |
M x ymax |
, |
|
||||
|
|
Jx |
||
|
|
|
где ymax – расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленной точки сечения. Введем следующее обозначение:
|
Jx |
= Wx |
- момент сопротивления, тогда условие прочности при чистом изгибе можно |
||||
|
ymax |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
записать следующим образом: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
σ |
|
= |
M x |
≤ [σ]. |
|
|
|
max |
Wx |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Для отыскания положения нейтральной линии в области поперечного сечения привлечем оставшиеся два интегральных уравнения равновесия (5.1):
N = ∫ |
E y dA = |
E ∫ y dA = |
E Sx = 0 |
|
|
A |
ρ |
ρ |
A |
ρ |
, |
|
|
|
откуда Sx=0, т.е. ось x является центральной.
51
M y = ∫ |
E yx dA = |
E ∫ yx dA = |
E J xy = 0, |
A |
ρ |
ρ A |
ρ |
откуда Jxy=0, т.е. ось x – главная. |
|
|
|
Вывод: нейтральная линия является главной центральной осью поперечного сечения.
Для случая прямоугольного сечения можно утверждать, что ось x – нейтральная.
Таким образом, в отличие от случая растяжения-сжатия, где напряжение постоянно в любой точке поперечного сечения, при чистом изгибе напряжение по высоте сечения изменяется по линейному закону.
5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
При проектировании элементов конструкции, работающих на изгиб целесообразно использовать сечения с размерами, удовлетворяющими условиям:
σmaxс=[σ]c…..σmaxρ=[σ]ρ
где σmaxс и σmaxρ – напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сечения, соответственно для сжатой и растянутой его части.
Пластичный материал
Для пластичного материала [σ]ρ=[σ]c. В данном случае рационально использовать симметричные профили (при этом σmaxρ=σmaxс).
Экономичными являются профили с уменьшенной металлоемкостью в области нейтральной линии, такие как двутавр и швеллер. Показателем экономичности является удельный момент
сопротивления wx = Wx |
. Чем выше величина wx, тем профиль более экономичен. |
A3 |
|
Для круга |
wx=0,141. |
Для кольца d/D=0,7 |
wx=0,294. |
Для двутавра №10 |
wx=0,955. |
Для двутавра №20 |
wx=1,33 |
Сечение следует располагать таким образом, чтобы силовой фактор действовал в плоскости максимальной жесткости.
52
Случай 2 более выгодный, т.к.
Wx(2) > Wx(1)
Простое увеличение размеров сечения не всегда эффективно. Так, если у круглого сечения вырезать сегменты высотой в пределах 0,11d, получится более экономичный профиль, чем сплошной круг.
Хрупкий материал
Для хрупкого материала [σ ]c > 0 , поэтому в данном случае целесообразно использовать
[σ ]p
несимметричные относительно нейтральной линии профили, например, тавровый:
Размеры поперечного сечения должны удовлетворять двум условиям:
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
|
M x ymax с |
|
≤ [σ] |
|
|
|
(5.6) |
||||
|
|
|
max с |
Jx |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
= |
M x ymax р |
|
≤ [σ] |
|
|
|
(5.7) |
||||
|
|
|
max р |
|
|
р |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из подобия треугольников эпюры σ(Мх) следует, что |
σmax с |
= |
ymax с |
. |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
max р |
|
y |
max р |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
ymax с |
> |
|
[σ]с |
, опасными являются сжатые волокна и расчет на прочность следует |
||||||||||||||
ymax р |
|
||||||||||||||||||
|
|
[σ]р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вести по формуле (5.6).
53
Если |
ymax с |
< |
|
[σ]с |
, опасными являются растянутые волокна и расчет на прочность следует |
ymax р |
|
||||
|
|
[σ]р |
вести по формуле (5.7).
Задача. Подобрать для данной балки размер поперечного сечения a. q=10 кН/м, l=1 м.
Материал балки хрупкий, [σ]ρ=100 МПа, [σ]с=300 МПа.
1.Определяем положение опасного сечения. Для этого строим эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx. По эпюре Mx заключаем, что опасным является участок BC
c M xmax = 2ql2 = 20 кН м. Вид деформации на участке BC – чистый изгиб.
2.Определяем положение опасного волокна в опасном сечении.
Сначала найдем положение точки центра тяжести сечения (это даст положение нейтральной линии).
Разделяем сечение на два прямоугольника с центрами тяжести в точках C1 и C2. Выберем вспомогательную ось совпадающей с центром тяжести одной из фигур (ось xC2 ).
Статический момент сечения относительно вспомогательной оси находим как сумму статических моментов составляющих фигур относительно этой оси:
S |
xС |
|
= S (1) |
+ S (2) |
= 6a 2a 4a + 0 = 48a3 . |
||
|
2 |
x |
C2 |
x |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
54
Расстояние от точки центра тяжести фигуры до оси xC2 |
: |
||||
SxС2 |
|
48a3 |
|
|
|
yC = |
|
= |
|
= 2a . |
|
A |
16a2 +16a2 |
По эпюре Mx находим, что нижняя относительно нейтральной линии часть сечения испытывает сжатие (эпюра Mx строится на растянутом контуре):
Так как σ max p > σ max c , а [σ]ρ<[σ]с, то заданное расположение профиля на опорах нерационально. Целесообразно повернуть сечение на 180º.
Определяем, какие волокна являются опасными. Сравним отношение расстояний до наиболее удаленных сжатого и растянутого волокон с отношением соответствующих допускаемых напряжений:
y |
maxс |
= |
5a |
< |
|
[σ] |
= |
300 МПа |
|
|
3a |
|
с |
100 МПа |
, |
||||
ymax р |
|
|
|
[σ]р |
|
|
следовательно, опасны растянутые волокна, и условие прочности следует записать в виде
σ |
|
= |
M x ymax р |
≤ [σ] |
|
, |
max р |
|
р |
||||
|
|
Jx |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
C |
|
|
где J xC - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии (главный центральный момент инерции).
Момент инерции J xC определяем как сумму моментов инерции простых фигур, составляющих сечение, относительно главной центральной оси.
Для фигуры 1, используя формулу (4.4):
J (1) = J (1) |
+ b2 A = |
2a (6a)3 |
|
+ (2a)2 12a2 = 36a4 |
+ 48a4 = 84a4 . |
||||
|
|
||||||||
xC |
xC1 |
1 |
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для фигуры 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J (2) = J (2) |
+ b2 A = |
6a (2a)3 |
|
+ (2a)2 12a2 = 4a4 |
+ 48a4 = 52a4 . |
||||
|
|
||||||||
xC |
xC2 |
2 |
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55