![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр
- •1.1. Краткая историческая справка
- •1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
- •1.3. Метод сечений
- •1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
- •1.5. Правило знаков ВСФ
- •1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
- •1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
- •1.9. Понятие о перемещении и деформации
- •1.10. Теорема Кастилиано
- •1.11. Теорема Бетти-Максвелла
- •1.12. Основные принципы сопротивления материалов
- •1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
- •1.14. Основные виды расчетов
- •2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические характеристики материалов
- •2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
- •2.3. Допускаемые напряжения
- •2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики
- •2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
- •2.6. Предельное состояние конструкции
- •3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
- •3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
- •3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
- •3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–сжатии
- •4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
- •4.1.1. Площадь сечения
- •4.1.2. Статические моменты площади
- •4.1.3. Моменты инерции
- •4.1.4. Радиусы инерции
- •4.2. Основные теоремы о моментах инерции
- •4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
- •4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
- •4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
- •4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
- •5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
- •5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов
- •5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба
- •5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
- •5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
- •5.6. Численные методы решения интеграла Мора
- •5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
- •5.6.2. Способ Верещагина
- •5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
- •5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных параметров
- •5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
- •5.10. Косой изгиб
- •5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
- •6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
- •6.1. Чистый сдвиг и его особенности
- •6.2. Кручение стержней круглого профиля
- •6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
- •6.4. Интеграл Мора для случая кручения
- •6.5. Кручение стержней некруглого профиля
- •6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
- •6.7. Практические расчеты на срез и смятие
- •6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
- •6.7.2. Сварные соединения
![](/html/2706/197/html_73CO0aUbXV.nL3m/htmlconvd-6LCcQv73x1.jpg)
l |
M x |
(F)M1 |
l |
F cosα z z |
|
F cosα l3 |
δ y = ∫ |
|
x |
dz = ∫ |
|
dz = |
. |
|
EJx |
EJx |
||||
0 |
|
0 |
|
EJx |
||
C |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, перемещение по направлению оси y:
|
δ x |
= |
F sin α l3 . |
|
|
|
|||
|
C |
|
|
EJ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полное перемещение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fl |
3 |
2 |
α |
+ sin |
2 |
α . |
δ = δ x2 |
+ δ y2 |
= |
|
cos2 |
2 |
||||
С |
С |
|
3E |
Jx |
|
J y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
Рассмотрим стержень, нагруженный в точке сечения с координатами xF, yF силой F, параллельной продольной оси z.
Это случай внецентренного сжатия.
В сечениях стержня возникают следующие внутренние силовые факторы:
N = F ; M y = FxF ; M x = FyF .
Суммарное нормальное напряжение от действия этих факторов возникает в точке сечения с координатами x, y:
σ |
Σ |
= F |
+ |
M y |
x + |
M x |
y = F |
+ |
FxF x |
+ |
FyF y |
|
|
|
|
||||||||
|
A |
|
J y |
|
J x |
A |
|
J y |
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
С целью нахождения опасных точек сечения определим положение нейтральной линии, для этого приравняем напряжение, возникающее в точках нейтральной линии, к нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xF xн.л. |
|
yF yн.л. |
|
|
||||
σ |
|
= |
F 1 |
+ |
+ |
|
= 0 , |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
н.л. |
|
A |
|
|
J y |
|
|
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда уравнение нейтральной линии имеет следующий вид:
73
![](/html/2706/197/html_73CO0aUbXV.nL3m/htmlconvd-6LCcQv74x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
1+ |
xF xн.л. |
+ |
yF yн.л. |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
i2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
где i |
x |
= |
J x , i |
y |
= J y |
- радиусы инерции сечения. |
||||
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
x |
|
= 0 y |
|
= |
i2 |
||
|
н.л. |
x |
, |
||||
|
|
|
|||||
н.л. |
|
|
yF |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 0 x |
|
= |
i2 |
||
y |
|
|
y |
. |
|||
н.л. |
н.л. |
|
|||||
|
|
|
xF |
||||
|
|
|
|
|
Условия прочности при внецентренном растяжении-сжатии:
σΣ max р ≤ [σ ]р , σΣ maxс ≤ [σ ]с .
Аналогично данному виду деформации ведется расчет на прочность элементов конструкции, работающих при совместном действии изгиба и растяжения-сжатия.
Пример.
Рассмотрим консольную балку, испытывающую прямой изгиб и растяжение.
Под действием дополнительного напряжения от продольной силы нейтральная линия смещается от главной центральной оси поперечного сечения:
Если σ(N) = NA ≤ 5%[σmax (M z )], учитывать влияние N необязательно.
Ядро сечения
Ядром сечения называется область в окрестности точки центра тяжести, при приложении в которую внешней продольной силы, в сечении будут возникать нормальные напряжения одного знака. Это особенно важно для конструкций, изготовленных из хрупких материалов, которые сжатию сопротивляются лучше, чем растяжению.
74
![](/html/2706/197/html_73CO0aUbXV.nL3m/htmlconvd-6LCcQv75x1.jpg)
Пример.
Построим ядро прямоугольного сечения при внецентренном растяжении-сжатии.
Определим такую точку приложения силы, чтобы нейтральная линия совпадала с линией 1-
1.
Длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
yн.л. = h2 , xн.л. = ∞ .
Координаты точки приложения силы:
|
|
|
|
|
i2 |
, x |
|
|
iy2 |
|
|
y |
F |
= − |
x |
F |
= − |
|
= 0. |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
yн.л. |
|
|
xн.л. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как радиус инерции i2 |
= h2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = − h2 2 = − h .
F 12 h 6
Рассуждая аналогичным образом, можно получить, что для совмещения нейтральной линии с линией 2-2, силу необходимо приложить в точку с координатами
|
|
|
|
x |
F |
= 0 , |
y |
F |
= h . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для линии 3-3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
н.л. |
= − b |
, |
y |
н. |
л. |
= ∞ . |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что i2 |
= b2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
F |
= 0 |
, x |
F |
= b2 2 = b . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
b 6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично для линии 4-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
F |
= 0, |
x |
F |
|
= − b . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соединяя найденные точки, получим ядро сечения.
75