pdf математика / Методичка по интегралам

= 14 ln x + C .

2.4.Интегрирование по частям.

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные u′(x) и v′(x). Тогда, по правилу дифференцирования произведения, будем

иметь

[u(x)v(x)]′ = u(x)′v(x) + u(x)v′(x).

Это равенство показывает, что произведение данных функций u(x)v(x)

является первообразной для суммы u(x)′v(x) + u(x)v′(x) и, следовательно,

ò[u′(x)v(x) + u(x)v′(x)]dx = u(x)v(x) + C .

Отсюда, используя линейное свойство интеграла, получим

òu(x)v′(x) dx = u(x)v(x) − òu′(x)v(x)dx + C .

Так как по определению дифференциала

v′(x)dx = dv , u′(x)dx = du ,

то полученное равенство можно записать короче

òu dv = u v − ò v du + C ,

или

òu dv = u v − ò v du ,

считая, что постояннаяC включена в один из неопределенных интегралов.

При применении формулы интегрирования по частям

òu dv = u v − ò v du

подынтегральное выражение f (x)dx разбивают на два множителя (две час-

ти) u и dv из которых находят недостающие части формулы ,а именно, из u находится du , а из dv находится v . Разбиение подынтегрального выраже-

11

ния на две части производится таким образом, чтобы полученный инте-

грал ò v du оказался проще первоначального òu dv .

Пример 2.15. Найти интеграл òln x dx .

Решение. Разобьем подынтегральное выражение ln x dx на две части следующим образом: u = ln x , dv = dx . Тогда du = (ln x)¢dx = dxx , а v = x (как

первообразная для функции v , находящейся под знаком дифференциала в выражении dv ). Далее, используя формулу дифференцирования по частям,

получим

òxexdx = xex − òex dx = xex − ex + C .

Пример 2.17. Найти интеграл òarctg x dx .

Решение. Разобьем подынтегральное выражение на части: u = arctg x ,

рирования по частям,

òarctg xdx = arctg x × x - òx1+1x2 dx .

Получившийся интеграл найдем интегрированием по частям.

= −2xcos x + 2sin x + C .

Следовательно

òx2 cos x dx = x2 sin x − (− 2x cos x + 2sin x + C)= x2 sin x + 2x cos x − 2sin x + C .

Пример 2.19. Найти интеграл òe2x sin 3x dx .

Решение.

разбивая на части аналогично разбиению на части исходного интеграла

òe2x sin 3x dx .

13

14

или òe2 x sin3xdx = e132x (2sin3x − 3cos3x).

Замечание.

1. В интегралах вида òxn eaxdx , òxn sin(ax)dx , òxn cos(ax)dx рекомен-

дуется подынтегральное выражение разбивать на части таким образом, чтобы u = xn ;

2. В интегралах вида òxn lnk x dx , òxn arcsin(ax)dx , òxn arccos(ax)dx ,

òxn arctg(ax)dx , òxn arcctg (ax)dx рекомендуется подынтегральное выраже-

ние разбивать на части таким образом, чтобы dv = xn dx . (Здесь a, k, n –

действительные числа.)

3.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

3.1. Понятие рациональной дроби.

Определение. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называют отношение двух многочленов.

Определение. Рациональную дробь называют правильной, если сте- пень многочлена, находящегося в числителе, меньше степени многочлена, на- ходящегося в знаменателе; Рациональную дробь называют неправильной, если степень многочлена, находящегося в числителе, больше степени много- члена, находящегося в знаменателе.

Пример 3.1.

где A, V , N, a, p, q – действительные числа, x2 + px + q не имеет дейст-

вительных корней называют простейшими рациональными дробями.

стейших дробей по правилу

Замечание. Эта теорема имеет обобщение на случай представления много- члена Q(x) в виде произведения нескольких линейных множителей и несколь-

ких квадратичных множителей со своими степенями.

2x +1

Пример3.3. Разложить дробь x3 + 2x2 + 2x +1 на сумму простейших дробей.

Решение. Разлагаем знаменатель рассматриваемой дроби на множители:

x3 + 2x2 + 2x =1 = (x + 1)(x2 + x + 1).

Тогда, используя теорему, данная дробь разложится на сумму простейших дробей следующим образом:

17

Далее используем метод неопределенных коэффициентов для нахождения чисел A, B, C :

1) в получившемся равенстве приведем левую и правую части к общему

2)для того, чтобы последнее равенство стало тождеством приравниваем числители левой и правой дробей этого равенства. Получаем

2x + 3 = A(x2 + x + 1) + (x + 1)Bx + C .

После перегруппировки в правой части получим

2x + 3 = (A + B)x2 + (A + C + B)x + (A + C).

3)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента x ,

т.е. при x2 , x , x0 (свободный член), в левой и правой частях тождест- ва, получаем линейную систему уравнений для нахождения неизвест- ных коэффициентов A, B, C :

Решение. Так как x3 − 3x2 + 3x −1 = (x −1)3 , то, согласно теореме о раз-

ложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей, по-

Далее, приводя к общему знаменателю обе части полученного равенства и приравнивая получившиеся после этого числители, получим равенство

3.2.Интегрирование простейших рациональных дробей.

Как было сказано выше, неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рацио- нальной дроби, а правильную рациональную дробь, в свою очередь, можно представить суммой простейших рациональных дробей. Следовательно, не-

правильная рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и простейших рациональных дробей. Поэтому интегрирование неправильной рациональной дроби сводится интегрированию многочлена (что не представ- ляет трудностей) и интегрированию простейших рациональных дробей.

Рассмотрим вопрос об интегрировании простейших рациональных дро-

бей.

19

знаменателе выделим полный квадрат двучлена:

Далее сделаем замену следующую переменной интегрирования: x + 2p = t .

Тогда x = t - 2p , dx = dt . Следовательно, учитывая линейные свойства неоп-

ределенного интеграла, получим следующую цепочку равенств: