pdf математика / Преобразование Лапласа
.pdfТаблица оригиналов и изображений ● Высшая математика для заочников и не только
Таблица оригиналов и изображений (преобразование Лапласа)
Данный справочный материал несколько отличается от стандартной таблицы преобразования Лапласа, которую можно найти в различных источниках. По содержанию и обозначениям таблица оптимизирована под решение конкретных практических задач –
нахождение частного решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления, а также решения аналогичной задачи для системы ДУ.
Используемые обозначения:
x(t), x (t), x (t) – функция, первая производная и вторая производная; x(0), x (0) – начальные условия дифференциального уравнения;
a, b – константы;
n – целая неотрицательная степень.
Для удобства таблица содержит как преобразование Лапласа, так и обратное преобразование Лапласа:
№ |
Переход от оригиналов к изображениям |
Переход от изображений к оригиналам |
|||||||||||||||||||||
|
(прямое преобразование Лапласа L ) |
(обратное преобразование Лапласа L 1 ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 1 |
|
||
|
x(t) X ( p) |
|
|
|
X ( p) x(t) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
На практике вряд ли потребуется |
|||||||||
|
x (t) pX ( p) x(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
2 |
X ( p) p x(0) |
|
На практике вряд ли потребуется |
||||||||||
|
x |
(t) p |
|
x (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
tn |
L |
|
|
|
n! |
|
|
|
1 |
|
L 1 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn 1 |
||||||||||||||
|
pn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
pn |
|
(n 1)! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В частности: |
|
В частности: |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
L 1 |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
L |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
L 1 |
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
2 |
L |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
L 1 |
1 t2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
3 |
L |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
L 1 |
1 t3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
p4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Памятка по факториалам:
0! 1 1! 1
2! 1 2 2 3! 1 2 3 6
4! 1 2 3 4 24
…
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты
Таблица оригиналов и изображений ● Высшая математика для заочников и не только
№ |
Переход от оригиналов к изображениям |
Переход от изображений к оригиналам |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(прямое преобразование Лапласа L ) |
(обратное преобразование Лапласа L 1 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
t |
n |
e |
at |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
L 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn 1eat |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( p a)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p a)n |
(n 1)! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В частности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
at |
|
L |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
L 1 |
|
|
at |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
p a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
te |
at |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
L 1 |
|
|
|
at |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
te |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
( p a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p a)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
e |
|
|
|
( p a)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 t2eat |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
at |
|
L |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
|
e |
|
|
( p a)4 |
|
|
|
|
|
|
( p a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
1 t3eat |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
at |
|
L |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
sin bt |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
L 1 |
1 sin bt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
p2 b2 |
|
|
|
|
|
|
p2 b2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
L 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cosbt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosbt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 b2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
2 pb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
L 1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
t sin bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t sin bt |
||||||||||||||||||||||||||||
|
( p2 b2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( p2 b2 )2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
p |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
p |
2 |
b |
2 |
|
|
L 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
t cosbt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t cosbt |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( p2 b2 )2 |
|
( p2 b2 )2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 1 |
|||||||||
|
eat |
sin bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 eat sin bt |
||||||||||||||||||||
|
|
( p a)2 b2 |
|
( p a)2 |
|
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11. |
eat |
cosbt |
|
L |
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|
p a |
|
|
|
|
|
|
L 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eat cosbt |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( p a)2 b2 |
|
( p a)2 b2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты