pdf математика / Таблица производных
.pdf
Таблица производных ● Математика для заочников и не только
Таблица производных
Обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций
Правила дифференцирования:
1) (Cu) Cu , где C – постоянное число;
– константу можно вынести за знак производной.
2) (u v) u v – правило дифференцирования суммы
3) (uv) u v uv |
|
|
– правило дифференцирования произведения |
|
|
|
|
|
! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доступно |
|||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
– правило дифференцирования частного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– дифференцирование сложной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5) (u(v)) |
u (v) v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные элементарных функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(C) 0 , где C – постоянное число; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
просто |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
) nx |
|
|
|
в частности: ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
. |
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mathprofi |
|
|
|
|
функции – это самая «ходовая» |
|||||||||||||||||||||
Следует обратить внимание, что производная степеннойru |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вещь на практике. Любой радикал (корень), например 3 |
x5 , |
|
1 |
, |
1 |
, |
(4x 7)3 , нужно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
x2 |
|
x5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
представить в виде |
для применения формулы (x |
) nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(как представить – см. Горячие формулы школьного курса математики: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
http://mathprofi.ru/mate |
aticheskie |
formuly.html). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Логарифмы и показательная функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
loga x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
x |
|
|
|
x |
ln a |
, в частности e |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Высшая(ctgx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тригонометрические функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(tgx) |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обратные тригонометрические функции: (arctgx) 1 1x2
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Таблица производных ● Математика для заочников и не только
(arcctgx) 1 1x2
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin x) |
|
1 x2 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arccos x) |
|
|
1 x2 |
|
||||
И, на всякий случай, гиперболические функции:
|
|
|
chx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(shx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|||||||
|
|
|
shx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(chx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
доступно |
|||
|
ch2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(thx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(cthx) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Производные параметрической функции. |
|
|
|
|
||||||||||||
Если функция задана в параметрической форме: |
x (t) |
, то |
и |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t (t) |
, |
|
yx t |
|
просто |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
yx |
|
t (t) |
yxx |
t (t) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
! Важно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
производные «других функций» на самом деле являются следствием правил
mathprofi Иногда встречаютсяматематикаочень большие таблицы производных (порядка 100 штук). Такие таблицы рекомендую использовать только в самом крайнем случае, так как
дифференцирования, и, такое «решение» может сильно не понравиться преподавателю. Или понравиться: Какой Вы гений! – скажет он, – А теперь распишите, пожалуйста, подробнее. Здесь, здесь зд сь.
Высшая
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта