pdf математика / Таблица разложений функций в ряды
.pdf
Таблица разложений функций в степенные ряды ● Высшая математика для заочников и не только
Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды
e 1 |
|
|
2 |
3 |
n |
1! |
|
2! |
3! ... |
n! ... |
Область сходимости ряда:
n
n 0 n!
sin |
3 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
2n 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
2n 1 ... |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
5! |
7! |
|
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
(2n 1)! |
|
||||||||||||||||||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos 1 |
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
( 1) |
n |
|
|
|
|
|
( 1) |
n |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
2n |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2! |
|
|
4! |
|
6! |
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|||||
ln(1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1)n 1 |
... |
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Область сходимости ряда: 1 1 или, то же самое: |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Внимание! Концы интервала 1 , 1 нужно в каждом случае исследовать отдельно, там ряд тоже может сходиться! (это зависит от знака и значения «альфа»)
Биномиальное разложение:
(1 )k |
1 k |
k(k 1) |
2 |
|
k(k 1)(k 2) |
3 |
... |
k(k 1)(k 2) ... (k n 1) |
n ... |
|
|
|
|
n! |
|||||||
|
2! |
|
3! |
|
|
|
||||
1 k(k 1)(k 2) ... (k n 1) n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
Область сходимости ряда: 1 1. Сходимость ряда в точках 1 , 1 исследуется отдельного для того или иного значения k
Распространенные частные случаи биномиального разложения:
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 3 |
|
|
3 |
|
1 3 5 |
|
4 |
... |
|||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 4 |
2 4 6 |
2 4 6 8 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 3 |
|
3 |
|
|
1 3 5 |
|
4 |
... |
|||
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|
2 4 6 8 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 3 |
2 |
|
|
1 3 5 |
|
3 |
|
1 3 5 7 |
4 |
... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 4 |
|
2 4 6 |
2 4 6 8 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 3 |
2 |
|
|
1 3 5 |
|
3 |
|
1 3 5 7 |
4 |
... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|
2 4 6 8 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11 2 3 4 5 ...
11 2 3 4 5 ...
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Таблица разложений функций в степенные ряды ● Высшая математика для заочников и не только
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
2n 1 |
|
|
|||||||
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1)n |
|
|
|
|
... |
( 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
2n 1 |
|
|
|||||||||||||||||
Область сходимости ряда: 1 1 или, то же самое: |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arcsin |
1 |
|
3 |
|
|
1 3 |
|
|
5 |
|
1 3 5 |
|
7 |
|
1 3 5 7 |
|
|
9 |
... |
(2n 1)!! 2n 1 |
... |
|||||||||||
2 |
3 |
|
2 4 |
5 |
2 4 6 |
|
7 |
2 4 6 8 |
|
|
9 |
(2n)!!(2n 1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Область сходимости ряда: 1 1 или, то же самое: |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложения справедливы не только для значения x , но и для таких значений, как x ,2x , x2 , x3 , 
x , 3x4 и т.п.
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта