pdf математика / Частное решение ДУ

В каком виде нужно искать частное решение y

Правая часть f (x)

~

неоднородного уравнения?

1.

f (x) 4 (или другая

~

A

ненулевая константа)

y

2.

f (x) 3x 1

y Ax B

~

3.

f (x) x

2

x

~

Ax

2

Bx C

y

4.

f (x) 4x

3

3x

2

1

~

Ax

3

Bx

2

Cx D

y

~

Ax B

y

5.

f (x) 2e3x

Коэффициент в показателе экспоненты:

не совпадает с

корнем характеристического уравнения 1

2

или 2 1

Подбор выполняем очевидным образом:

~

Ae

3x

y

6.

f (x) (2x 3)e x

Коэффициент в показателе экспоненты:

не совпадает с

корнем характеристического уравнения 1

2

или 2 1

Подбор выполняем очевидным образом:

~

(Ax B)e

x

y

Коэффициент в показателе экспоненты:

совпал с корнем

x

характеристического уравнения 1

2 . В подобной ситуации

7.

f (x)

e

2 x

~

(Ax B)e

2 x

нужно домножить на «икс»:

2

«штатный» подбор y

~

x(Ax B)e

2 x

, то есть, искать частное решение в виде:

y

~

(Ax

2

Bx)e

2 x

y

Коэффициент в показателе экспоненты:

совпал с корнем

8. f (x) ex

характеристического уравнения 2

1. Аналогично: «штатный»

подбор

~

Ae

x

~

x Ae

x

, то есть ищем

y

домножаем на «икс»: y

частное решение в виде:

~

x

y Axe

Примечание: Обратите внимание,

что опять же в случае неполных многочленов степени не

теряются, например, если f (x) 7x2e5x (в многочлене отсутствует «икс» в первой степени и

~

2

Bx

C)e

5x

.

константа), то частное решение следует искать в виде y (Ax

ищем в виде

~

2

Bx C)e

2 x

(Ax

3

Bx

2

Cx)e

2 x

y x(Ax

~

9.

f (x) sin x

Acos x B sin x

y

10.

f (x) 3cos 2x

~

Acos 2x B sin 2x

y

11.

f (x) 2cos3x 4sin 3x

~

Acos3x B sin 3x

y

Примечание: В подборе частного

решения всегда должен присутствовать и синус и косинус

(даже если в правую часть f (x) входит только синус или только косинус).

Редко, но встречаются следующие похожие случаи:

12.

f (x) x sin 5x

~

(Ax B)cos5x (Cx D)sin 5x

y

13.

x

~

x

x

f (x) (x 1)cos

y

(Ax B)cos

(Cx D)sin

2

2

2

14.

f (x) x cos x 2sin x

~

(Ax B)cos x (Cx D)sin x

y

И заключительные примеры, здесь тоже всё прозрачно:

15.

f (x) 2e

x

sin 2x

~

e

x

(Acos2x

Вsin 2x)

y

16.

1

3x

~

3x

f (x) 3 e

sin x

y

e

(Acos x

Вsin x)

17.

f (x) e

2 x

(5sin 3x

cos3x)

~

e

2 x

(Acos3x Вsin 3x)

y

В каком виде нужно искать частное решение y

Правая часть

f (x)

~

неоднородного уравнения?

Правило: Если в правой части

f (x) находится ненулевая константа или многочлен, и один из

необходимо домножить на «икс»:

18.

f (x) 10

y x A , то есть частное решение ищем в виде

y Ax

~

~

19.

f (x) 2x

y

x (Ax B) , т.е. частное решение ищем в виде

y Ax

Bx

~

~

2

20.

f (x) x

2

3

~

x (Ax

2

Bx C) или

~

3

Bx

2

Cx)

y

y (Ax

21.

f (x) x

3

~

x (Ax

3

Bx

2

~

(Ax

4

Bx

3

Cx

2

Dx)

y

Cx D) или y

22.

f (x) (x2 2x)e3x

Коэффициент в показателе экспоненты:

не совпадает с

корнем характеристического уравнения 1

3

~

(Ax

2

Bx C)e

3x

y

Коэффициент в показателе экспоненты:

совпал с корнем

характеристического уравнения 1 3 . Поэтому «обычный»

23.

f (x) (1

x)e

3x

подбор

~

B)e

3x

нужно домножить на «икс»:

y (Ax

~

x(Ax B)e

3x

, то есть, искать частное решение в виде:

y

~

(Ax

2

Bx)e

3x

y

~

x

2

(Ax B) (Ax

3

Bx

2

)

y

Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y 4y 4y

f (x) .

Для соответствующего однородного уравнения y 4y 4y 0 составим характеристическое

уравнение 2 4 4 0 и найдем его корни:

2

1,2

Получены кратные (совпавшие) действительные корни.

В каком виде нужно искать частное решение y

Правая часть f (x)

~

неоднородного уравнения?

f (x) – ненулевая константа

Подбор частного решения следует осуществлять «штатным»

или многочлен

способом точно так же, как в примерах №№1-4

24.

f (x) 5ex

Коэффициент в показателе экспоненты:

не совпадает с

кратным корнем характеристического уравнения 1,2

2

~

Ae

x

y

Коэффициент в показателе экспоненты:

совпал с кратным

корнем характеристического уравнения 1,2

2 . Поэтому

25.

f (x) 2e

2 x

~

Ae

2 x

следует домножить на x

2

:

очевидный подбор y

~

x

2

Ae

2 x

и искать частное решение в виде:

y

~

Ax

2

e

2x

y

Коэффициент в показателе экспоненты:

совпал с кратным

26.

f (x) (5x 1)e

2 x

корнем характеристического уравнения 1,2

2 . Поэтому

«штатный» подбор y (Ax B)e

2 x

следует домножить на x

2

:

~

~

x

2

(Ax

B)e

2 x

, то есть искать частное решение в виде:

y

~

(Ax

3

Bx

2

)e

2 x

y

уравнение 2 6 10 0

и найдем его корни:

3 i

1,2

Получены сопряженные комплексные корни с ненулевой действительной частью .

В каком виде нужно искать частное решение y

Правая часть f (x)

~

неоднородного уравнения?

Подбор частного решения осуществляется очевидным образом (см. примеры №№1-6, №№9-14)

за исключением следующих видов правой части:

Проще всего объяснить так, берём правую часть и составляем

сопряженные комплексные числа:

виде:

~

e

3x

(Acos 2x Вsin 2x)

y

28. f (x) 2e 3x cos x

Составленные сопряженные комплексные числа 3 i совпали

с корнями характеристического уравнения 1,2 3 i , поэтому

«обычный» подбор частного решения следует домножить на

~

x e

3x

(Acos x B sin x) или:

«икс»: y

~

3x

(Ax cos x

Вxsin x)

y e

29. f (x) ex (5cos x 3sin x)

Составленные сопряженные комплексные числа 1 i не

совпадают с корнями характеристического уравнения

1,2

3 i , поэтому частное решение ищем в виде:

~

x

(Acos x Вsin x)

y e

30. f (x) e 3x ( cos x 2sin x)

Составленные сопряженные комплексные числа 3 i совпали

с корнями 1,2

3 i , поэтому:

~

3x

(Acos x B sin x) e

3x

(Ax cos x Вxsin x)

y x e

Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y 4y f (x) .

Для соответствующего однородного уравнения y 4y 0 составим характеристическое

уравнение 2 4 0 и найдем его корни:

2i

1,2

Получены чисто мнимые сопряженные комплексные корни:

В каком виде нужно искать частное решение y

Правая часть f (x)

~

неоднородного уравнения?

Подбор частного решения осуществляется очевидным «штатным» образом, за исключением

следующих видов правой части:

Коэффициент

не совпадает с коэффициентом при

31.

f (x) sin x

характеристических сопряженных комплексных корнях

,

поэтому частное решение ищем в обычном виде:

~

Acos x B sin x

y

Коэффициент

совпал с коэффициентом при

32.

f (x) 3sin 2x

характеристических сопряженных комплексных корнях

,

поэтому при подборе «штатное» частное решение необходимо

домножить на «икс»: y x (Acos 2x B sin 2x) , то есть искать

~

частное решение в виде:

~

Ax cos 2x Bx sin 2x

y

Коэффициенты

не совпадают с

33.

f (x) 2cos3x 2sin 3x

коэффициентом при характеристических сопряженных

комплексных корнях

, поэтому частное решение ищем в

обычном виде:

~

Acos3x B sin 3x

y

Коэффициенты

совпали с

коэффициентом при характеристических сопряженных

34.

f (x) 2x cos 2x sin 2x

комплексных корнях

, поэтому при подборе очевидное

частное решение опять же домножаем на «икс»:

y x ((Ax B)cos 2x (Cx D)sin 2x) , или:

~

~

(Ax

2

Bx)cos 2x (Cx

2

Dx)sin 2x

y

~

, поэтому частное решение ищем в «штатном» виде:

(Ax B)cos 4x (Cx D)sin 4x

y

Тип корней характеристического

Когда следует проявить ПОВЫШЕННОЕ ВНИМАНИЕ

уравнения

при подборе частного решения

I. Характеристическое уравнение

Если в правой части f (x) находится экспонента или

имеет два различных

действительных корня,

экспонента, умноженная на многочлен (примеры 5-8)

отличных от нуля

II. Характеристическое уравнение

Если в правой части f (x) находится константа, многочлен,

имеет два различных

экспонента или экспонента, умноженная на многочлен

действительных корня,

(примеры 18-23)

один из которых равен нулю

III. Характеристическое уравнение

Если в правой части f (x) находится экспонента или

имеет два кратных действительных

экспонента, умноженная на многочлен (примеры 24-26)

корня

IV. Характеристическое уравнение

Если в уравнении есть правые части, разобранные в

имеет сопряженные комплексные

примерах 27-30: f (x) 2e 3x sin 2x , f (x) 2e 3x cos x ,

корни: 1,2 i ,

f (x) ex (5cos x 3sin x) и т.п.

причём 0, 0

V. Характеристическое уравнение

Когда в правой части находится синус, косинус или синус и

имеет сопряженные,

косинус одновременно; либо данные функции, умноженные

чисто мнимые комплексные корни:

на многочлены (многочлен) (примеры 31-35)

1,2 i