pdf математика / Задание 11-5
.pdf1) Случайная величина X задана плотностью распределения вероятности
|
0 |
|
при |
x 2 |
|
1 |
|
|
|
|
x 1 |
при |
2 x 0 |
|
f x |
2 |
|||
|
|
при |
x 0 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
Найти интегральную функцию F x и математическое ожидание M X .
f x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная функция распределения) случайной величины X ; f x F x .
F x - функция распределения (функция распределения вероятностей, интегральная функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распределения) случайной величины X ; |
F x |
f x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем формулу F x |
|
f |
x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если x 2 , то F x |
0 dx 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если 2 x 0 , то F x |
2 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|
|
|
x |
x 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 dx |
|
|
x |
1 |
dx 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 1. |
|||||||||||||
|
|
2 |
2 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 , то F x |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Если x |
|
0 dx |
|
|
2 |
x |
1 |
|
|
|
|
0 dx |
0 |
1 0 |
1 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x |
|
|
x 1 |
при |
2 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
при |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X x f |
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
x 3 |
|
x 2 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
x 1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
3 |
2 |
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или, в общем виде решение находим так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X |
x f x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X |
2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
x 3 |
|
x 2 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 0 dx |
|
x |
|
x 1 |
dx |
|
x 0 dx 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a;b , то
0 23
1
Литература:
1) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 2005, стр. 92 (задача 267),
стр. 95 (Mx);
2) Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. "Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями", 2005,
стр. 153 (пример 6.1).
2) Случайная величина X задана интегральной функцией
|
0 |
при x 0 |
|
|
2 |
ax |
||
F x |
4 |
при 0 x 2 |
|
при x 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Найти:
а) коэффициент a ;
б) дифференциальную функцию; в) математическое ожидание.
а)
1-й способ решения.
Для определения постоянной нормировки a воспользуемся свойством функции распределения:
0 F x 1 . Так как случайная величина X задана на отрезке 0; 2 , то то для непрерывности функции
F x должны выполняться условия:
F 0 0
F 2 1
откуда находим коэффициент a :
a 0 |
2 |
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
2 |
|
a 2 |
||
|
4 |
1 |
|
|
a 1
2-й способ решения.
Постоянную нормировки a можно найти из условия нормировки:
|
x dx 1 |
|||
f |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
f x dx F 2 F 0 1 |
||||
0 |
|
|
|
|
a 2 |
2 |
a 0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||
|
|
|
a 1
Так что функция распределения (интегральная функция распределения) имеет вид:
|
0 |
при x 0 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
||
F x |
|
при 0 x 2 |
|
4 |
|||
|
при x 2 |
||
|
1 |
||
|
|
|
2
б)
Плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная функция
распределения) случайной величины X :
f x F x
|
0 |
при x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f x |
|
|
|
при 0 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
при x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
Математическое ожидание случайной величины X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
x |
|
1 |
2 |
1 |
|
x 3 |
|
|
4 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
M X |
|
|
x f x dx x |
dx |
x 2dx |
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
2 |
0 |
2 |
3 |
|
|
0 |
3 |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература:
1)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 2004, стр. 72, 226 (упражнение 1);
2)Золотарёвская Д.И. "Теория вероятностей. Задачи с решениями", 2005, стр. 133 (задача 108).
3) Случайная величина X задана функцией распределения F x |
|||||
|
0 |
при |
x |
3 |
|
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|||
F x cos 2x |
при |
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
при |
x |
|
|
|
|
|
Требуется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x , |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а) найти плотность распределения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
б) найти математическое ожидание и дисперсию X , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
в) построить графики F x и f x , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) вычислить P |
3 |
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
f x F x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
при |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f x |
2sin 2x |
|
|
при |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
при |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x f x dx |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
MX |
|
x 0 dx |
|
x 2sin 2x dx x 0 dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DX |
|
x MX |
2 |
f x dx |
|
|
|
|
1 |
2 |
2sin 2x dx |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3
в)
График плотности вероятности
0
f x 2sin 2x0
График функции распределения
0
F x cos 2x
1
г)
при |
x 3 |
|
|
4 |
|
при |
3 x |
|
|
4 |
|
при |
x |
|
при |
x 3 |
|
|
4 |
|
при |
3 x |
|
|
4 |
|
при |
x |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
X |
5 |
|
6 |
f x dx |
4 |
0 dx |
6 |
2sin 2x dx 0 cos 2x |
|
P |
3 |
6 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
4 |
|
или, через функцию распределения:
|
|
X |
5 |
|
5 |
|
|
cos |
5 |
0 |
1 |
|||
P |
3 |
6 |
|
F |
6 |
|
F |
3 |
|
3 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
6
cos 53 cos 32 21
3
4
4
Литература:
1)Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 116 (пример 3.14);
2)Золотарёвская Д.И. "Теория вероятностей. Задачи с решениями", 2005, стр. 131 (задача 107).
4)Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
0 |
, |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
1 x 0 |
||||
f x x |
||||||
|
x 1, |
0 x 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Найти F x , M X , |
X . Определить P X 0, 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
► Для вычисления интегральной функции распределения используем формулу F x |
|
f x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если x 1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x 0 dx 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если 1 x 0 |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
F x |
|
0 dx |
|
|
x 1 dx 0 |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Если 0 x 1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
F x |
1 |
|
|
|
|
0 |
x 1 dx |
x |
x 1 dx 0 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Если x 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F x |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 dx |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
0 dx 0 |
|
2 |
|
2 |
0 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, интегральная функция распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
x |
|
|
|
при |
1 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
F x |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x |
|
при |
0 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
► Математическое ожидание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M X |
x f x dx |
|
x 0 dx x x 1 dx x x 1 dx x 0 dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
x 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
x 3 |
x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Дисперсия
|
|
|
|
|
|
|
x M |
X 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
D X |
|
|
f x dx |
x 0 2 x 1 dx |
x 0 |
2 x 1 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
x 4 |
|
x 3 |
|
0 |
x 4 |
|
|
x 3 |
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
dx |
|
x |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
4 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
4 |
3 |
|
|
4 |
3 |
|
3 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднеквадратическое отклонение
|
D X |
1 |
|
6 |
0, 408 |
|
6 |
6 |
|||||
|
|
|
|
► Вероятность того, что случайная величина примет значение, большее 0,5:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
P X 0, 5 |
|
f x |
dx |
|
x |
1 dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 125 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
2 |
|
8 |
|
|||||||
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или, через функцию распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
F |
F |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P |
|
X |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
8 |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5) Дана функция плотности распределения непрерывной с.в. |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
A x 1 , |
|
1 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x |
1 |
, |
0 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
A x |
3 , |
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти постоянную нормировки A и интегральную функцию распределения. Вычислить м.о., дисперсию и
с.к.о. X . Изобразить функцию плотности распределения и интегральную функцию распределения графически. На графике функции плотности распределения отметить м.о. и с.к.о.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p x dx 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
► Постоянную нормировки найдём из условия нормировки |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
A x |
1 dx |
2 |
|
|
x 1 2 dx |
3 |
A x 3 dx |
|
|
0 |
x 1 dx |
2 |
x 1 2 dx |
3 |
x 3 |
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
5 |
A |
|
|
|
A |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
2 |
3 |
2 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т.е. |
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
x 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f x |
|
|
3 |
|
x |
1 |
2 |
, |
0 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x 3 , |
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
► Для нахождения интегральной функции распределения используем формулу F x |
f x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если x 1 , то F x |
0dx 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если 1 x 0 , то F x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
x |
1 dx 0 |
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
x 2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
5 |
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если 0 x 2 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F x |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 1 2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 dx |
|
x 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
3 |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
x 2 |
x |
|
|
|
|
x 3 |
3 x 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если 2 x 3 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
F x 0 dx |
3 |
x 1 dx |
3 x 1 2 dx |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x2 x |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
x 2 |
9 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
10 |
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если x 3 , то
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|||
F x |
0 dx |
|
|
x 1 dx |
x 1 2 dx |
x 3 |
dx |
0 dx 0 |
|
|
0 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
5 |
5 |
10 |
5 |
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Итак, |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
при |
1 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
F x |
|
|
1 |
|
x |
3 |
|
3 |
x 2 |
|
3 |
x |
3 |
|
при |
0 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
9 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
10 |
|
|
при |
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
► Математическое ожидание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M X |
|
x p x dx |
5 |
|
|
x 0 dx |
|
x x 1 dx |
|
x x 1 |
|
|
dx |
|
x x 3 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 0 1 2 7 0 1 5 6 3 6
Дисперсия
DX x M X 2 p x dx
7
|
3 |
|
0 |
x 1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
x 1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|||
5 |
|
|
|
x 1 dx x 1 |
|
|
dx x 1 |
|
x 3 dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
11 |
|
2 |
|
11 |
|
|
67 |
1, 34 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
12 |
5 |
12 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднеквадратическое отклонение
|
DX |
1, 34 1, 158 |
► График плотности распределения непрерывной с.в. X :
График интегральной функции распределения непрерывной с.в. X :
8
Литература:
1)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 2004;
2)Гусак А.А., Бричикова Е.А. "Теория вероятностей", 2006, стр. 109 (примеры 5, 6).
6)Случайная величина X задана плотностью вероятности
|
0 , |
при x |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x |
|
|
|||
f x a sin 3x, |
6 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 , |
при x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) параметр a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) выражение для функции распределения F x ; |
|
|
||||||
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал |
0; |
. |
||||||
Построить графики f x |
и F x . |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
f x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная функция распределения) случайной величины X ; f x F x .
F x - функция распределения (функция распределения вероятностей, интегральная функция
x |
|
распределения) случайной величины X ; F x |
f x dx . |
|
|
а)
Параметр a (постоянную нормировки) найдём из условия нормировки:
|
|
f x dx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
a |
|
3 |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
sin 3x d 3x |
cos 3x |
3 |
|
|
1 |
0 |
|
|||||||||
|
a sin 3x dx |
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
cos cos |
|
|
3 |
3 |
1 |
|||||
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-следовательно, a 3 .
Иплотность вероятности имеет вид:
|
0 , |
при x |
|
|
||
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin 3x, |
при |
x |
|||
f x |
6 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
0 , |
при x |
|
|
||
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
9
б)
Используем формулу
Если x 6 , то
Если x
6 3
x
F x f x dx .
x
F x 0 dx 0 .
, то
|
F x |
6 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 dx |
|
3sin 3x dx |
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Если x 0 , то F x |
6 |
|
|
|
3 |
|
||
|
0 dx |
|
3sin 3x dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
при x |
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3x, |
при |
x |
|
||||
F x |
6 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1, |
при x |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 cos 3x |
|
x |
|
cos |
|
cos 3x . |
|
||||||
|
|
|||||
|
|
cos 3x |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
x
0 dx 0 1 0 1.
3
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность попадания случайной величины |
X в интервал |
0 |
; |
|
|
: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
P |
0 |
x |
|
F |
F 0 |
|
cos |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0,707 |
|||
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
График плотности вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
при x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f x |
|
3sin 3x, |
|
|
при |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
при x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10