Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

pdf математика / fX_FX_nepr_sv

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

269.44 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1) Случайная величина X задана плотностью распределения вероятности

	0		при	x 2
	1
	1	x 1	при	2 x 0
f x	2	x 1	при	2 x 0
	2		при	x 0
	0		при	x 0

Найти интегральную функцию F x и математическое ожидание M X .

f x - плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная функция распределения) случайной величины X ; f x F x .

F x - функция распределения (функция распределения вероятностей, интегральная функция

распределения) случайной величины X ;

F x

f x dx .

а)

Используем формулу F x

x dx .

Если x 2 , то F x

0 dx 0 .

Если 2 x 0 , то F x

x 2

0 dx

dx 0

x 1.

0 , то F x

Если x

0 dx

1 0

1 .

Итак,

при

x 2

F x

x 1

при

2 x 0

при

x 0

б)

Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу

	b
M X x f			x dx
	a
M X	0		1			1	x 3	x 2	0	2
	0		1			1	x 3	x 2	0	2
		x		x 1	dx
		x	2	x 1	dx	2	3	2		3
			2			2	3	2		3
	2								2
	2								2

Или, в общем виде решение находим так:


M X	x f x dx

M X	2		0	1						1	x 3	x 2	0
	2		0	1						1	x 3	x 2	0
		x 0 dx		x		x 1	dx		x 0 dx 0
		x 0 dx		x	2	x 1	dx		x 0 dx 0	2	3	2
					2					2	3	2
			2					0					2
			2					0					2

a;b , то

0 23

Литература:

1) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 2005, стр. 92 (задача 267),

стр. 95 (Mx);

2) Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. "Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями", 2005,

стр. 153 (пример 6.1).

2) Случайная величина X задана интегральной функцией

	0	при x 0
		2
ax		2
F x	4	при 0 x 2
	4	при x 2
	1	при x 2

Найти:

а) коэффициент a ;

б) дифференциальную функцию; в) математическое ожидание.

а)

1-й способ решения.

Для определения постоянной нормировки a воспользуемся свойством функции распределения:

0 F x 1 . Так как случайная величина X задана на отрезке 0; 2 , то то для непрерывности функции

F x должны выполняться условия:

F 0 0

F 2 1

откуда находим коэффициент a :

a 0		2
		0
	4
		2
a 2
	4	1

a 1

2-й способ решения.

Постоянную нормировки a можно найти из условия нормировки:

	x dx 1
f	x dx 1

2
f x dx F 2 F 0 1
0
a 2	2	a 0	2	1

4		4
4		4

a 1

Так что функция распределения (интегральная функция распределения) имеет вид:

	0	при x 0

x 2
F x		при 0 x 2
F x	4	при 0 x 2
	4	при x 2
	1	при x 2

б)

Плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная функция

распределения) случайной величины X :

f x F x

	0		при x 0

	x
	f x		при 0 x 2
	f x	2	при 0 x 2
		2	при x 2
		0	при x 2


в)	Математическое ожидание случайной величины X
	Математическое ожидание случайной величины X										2
			2	x		1	2	1		x 3		4		1
			2				2
	M X		x f x dx x		dx		x 2dx						1
	M X		x f x dx x		dx		x 2dx						1
			0	2		2	0	2	3		0	3		3
				2		2		2	3		0	3		3

Литература:

1)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 2004, стр. 72, 226 (упражнение 1);

2)Золотарёвская Д.И. "Теория вероятностей. Задачи с решениями", 2005, стр. 133 (задача 108).

3) Случайная величина X задана функцией распределения F x
	0	при	x	3
				4

			3 x
F x cos 2x		при
			4
	1	при	x

Требуется											f	x ,
	а) найти плотность распределения										f	x ,
	б) найти математическое ожидание и дисперсию X ,
	в) построить графики F x и f x ,
				X			5
	г) вычислить P		3	X			6	.
			3				6

а)		f x F x
Учитывая, что		f x F x
		0				при		x		3
		0				при		x		4
								3		4

	f x	2sin 2x				при			x
								4
		0				при		x
		0				при		x
б)						3
						3
		x f x dx				4											1
	MX	x f x dx				4	x 0 dx					x 2sin 2x dx x 0 dx					1
										3							2
										3
											4
	DX	x MX		2	f x dx								1	2	2sin 2x dx	3
	DX	x MX			f x dx						x		2		2sin 2x dx	4
									3				2			4
										4

в)

График плотности вероятности

f x 2sin 2x0

График функции распределения

F x cos 2x

г)

при	x 3
	4
при	3 x
	4
при	x

при	x 3
	4
при	3 x
	4
при	x

				5		3		5
		X	5	6	f x dx	4	0 dx	6	2sin 2x dx 0 cos 2x
P	3	X	6		f x dx		0 dx		2sin 2x dx 0 cos 2x
	3		6					3
				3		3		4

или, через функцию распределения:

		X	5		5			cos	5	0	1
P	3		6	F	6	F	3		3		2

cos 53 cos 32 21

Литература:

1)Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 116 (пример 3.14);

2)Золотарёвская Д.И. "Теория вероятностей. Задачи с решениями", 2005, стр. 131 (задача 107).

4)Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна

0		,		x	1


		1,	1 x 0
f x x
	x 1,		0 x 1

Найти F x , M X ,										X . Определить P X 0, 5 .

																																																	x
► Для вычисления интегральной функции распределения используем формулу F x																																																	f x dx .
Если x 1 , то
Если x 1 , то
				x
	F x 0 dx 0 .

Если 1 x 0					, то																									x
				1							x														2							x		2
				1							x														2									2
	F x				0 dx							x 1 dx 0											x				x									x		1 .
	F x				0 dx							x 1 dx 0															x									x		1 .
																								2									2					2
										1																				1
										1																				1
Если 0 x 1 , то																																															x
	F x			1							0	x 1 dx							x	x 1 dx 0													x		2				0					x	2				x	2		1 .
				1							0								x																2				0						2					2
					0 dx																															x										x					x
					0 dx																												2			x										x					x
																																	2										2					2				2
										1									0																				1								0
										1									0																				1								0
Если x 1, то
	F x			1							0	1									1	1																		1 1
					0 dx								2											2		x	1						0 dx 0							2		2	0			1.
					0 dx										x 1 dx											x	1	dx					0 dx 0										0			1.
										1											0										1
Итак, интегральная функция распределения:
				0												при		x 1
												1
				x 2				x				1				при		1 x 0
	F x				2			x				2				при		1 x 0

													1
						x 2			x				1			при		0 x 1
													2
							2						2
					1											при		x 1
					1											при		x 1
► Математическое ожидание
															1							0											1
M X				x f x dx												x 0 dx x x 1 dx x x 1 dx x 0 dx
																					1												0										1
	0								1										x 3							x 2			0					x 3			x	2			1
																													0												1

		x 2								x 2 x
			x		dx												dx
			x		dx												dx				3					2									3		2
																					3					2									3		2
	1		1		1				0		1			1															1												0
	1								0																				1												0
	0																	0
	0		3								3			2		0		0
			3		2						3			2

Дисперсия

						x M		X 2									0						1
D X						x M		X 2				f x dx						x 0 2 x 1 dx						x 0		2 x 1 dx
																	1						0
	0		3			2		1			3		2				x 4		x 3	0	x 4				x 3	1
																				0						1

		x		x			dx		x			x			dx

																		4	3			4			3

	1							0												1						0
	1							0												1						0
			1		1			1		1		0		2		1		1
	0		4		3			4		3		0		3		2		6
			4		3			4		3				3		2		6

Среднеквадратическое отклонение

D X	1	6	0, 408
	6	6

► Вероятность того, что случайная величина примет значение, большее 0,5:

									1					x	2				1		1		1	1	1
																			1


P X 0, 5					f x			dx		x		1 dx				x						1				0, 125
P X 0, 5					f x			dx		x		1 dx				x						1				0, 125
														2							2		8	2	8
				0,5					0,5					2					0,5		2		8	2	8
				0,5					0,5										0,5
или, через функцию распределения:
	1				F			F			1		1	1			1		1
P		X										1								0, 125
P	2	X										1	8	2					8	0, 125
	2										2		8	2			2		8

5) Дана функция плотности распределения непрерывной с.в.																		X
		A x 1 ,						1 x 0
						2
			A x		1	2	,	0 x 2
f x			A x		1		,	0 x 2
			A x		3 ,			2 x 3
			A x		3 ,			2 x 3

Найти постоянную нормировки A и интегральную функцию распределения. Вычислить м.о., дисперсию и

с.к.о. X . Изобразить функцию плотности распределения и интегральную функцию распределения графически. На графике функции плотности распределения отметить м.о. и с.к.о.

																		p x dx 1 :
► Постоянную нормировки найдём из условия нормировки																		p x dx 1 :

0	A x			1 dx			2				x 1 2 dx		3	A x 3 dx				0	x 1 dx	2	x 1 2 dx	3	x 3
	A x			1 dx					A		x 1 2 dx			A x 3 dx			A		x 1 dx		x 1 2 dx		x 3	dx

1							0						2					1		0		2
		1		2		1				5	A				A	3
	A	2		3		2				3	A				A	5
		2		3		2				3						5
Т.е.			0 ,									x 1
			0 ,									x 1
				3	x 1 ,
				3								1 x 0
				5								1 x 0
f x				3	x			1		2	,	0 x 2
f x				5	x			1			,	0 x 2
				5
				3	x 3 ,							2 x 3
				5	x 3 ,							2 x 3
				0 ,								x 3
				0 ,								x 3

																																												x
► Для нахождения интегральной функции распределения используем формулу F x																																													f x dx .

										x
Если x 1 , то F x												0dx 0 .

Если 1 x 0 , то F x													1						x	3		x	1 dx 0					3			x	2					x			3	x 2		3			3
													1						x													2					x
														0 dx																			x											x			.
														0 dx						5								5			2		x										5	x		10	.
																				5								5			2							10					5			10
Если 0 x 2 , то																			1	x																	1
																			1																		1

F x		1					0			3											3 x 1 2 dx
F x	0 dx									3			x 1 dx								3 x 1 2 dx
							1		5											0	5
							1													0
					2			0									3								x	1								3					3
					2			0									3								x
0	3		x				x					3			x				x 2			x					x 3		3 x 2							x
0	3						x					3							x 2			x				5	x 3		3 x 2					5		x		10
	5			2									5			3										5			5					5				10
									1															0
									1															0
Если 2 x 3 , то																												x
		1					0													2								x		x 3 dx
F x 0 dx											3	x 1 dx										3 x 1 2 dx							3	x 3 dx
							1				5									0		5						2	5
							1													0								2																		.
	3					2				0						x		3							2	3		x	2						x			3							17


0				x			x						3						x2 x											3x										x 2		9 x
0	5						x						3						x2 x							5		2		3x								10		x 2		9 x			10
	5				2								5				3									5		2										10				5			10
											1														0										2
											1														0										2

Если x 3 , то

		1									0	3						2	3			3	3								3	2		3
F x	0 dx											3		x 1 dx					3	x 1 2 dx			3	x 3		dx		0 dx 0			3	2		3	0 1 .
F x	0 dx											5		x 1 dx					5	x 1 2 dx			5	x 3		dx		0 dx 0			10	5		10	0 1 .
										1		5						0	5			2	5					3			10	5		10
										1								0				2						3
Итак,		0																		при	x 1
		0																		при	x 1
			3						2			3				3
			3				x		2			3	x			3				при	1 x 0
				10			x					5	x			10				при	1 x 0
F x			1			x		3			3	x 2				3	x	3		при	0 x 2
								3
			5								5					5		10
			5		3						5		9			5	17	10
					3			x 2					9				17
													5 x				10			при	2 x 3
						10							5 x				10			при	2 x 3
			1																	при	x 3
			1																	при	x 3

► Математическое ожидание
												3			1				0			2			2			3
M X	x p x dx											5				x 0 dx				x x 1 dx			x x 1				dx		x x 3	dx
M X	x p x dx															x 0 dx				x x 1 dx			x x 1				dx		x x 3	dx			x 0 dx
																			1			0						2				3

3 0 1 2 7 0 1 5 6 3 6

Дисперсия

DX x M X 2 p x dx

3		0	x 1		2			2	2	x 1	2	3	2
5			x 1			x 1 dx x 1				x 1		dx x 1		x 3 dx
5								0				2
	1							0				2
3		11		2	11		67	1, 34
5		12		5	12		50	1, 34
5		12		5	12		50

Среднеквадратическое отклонение

1, 34 1, 158

► График плотности распределения непрерывной с.в. X :

График интегральной функции распределения непрерывной с.в. X :

Литература:

1)Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 2004;

2)Гусак А.А., Бричикова Е.А. "Теория вероятностей", 2006, стр. 109 (примеры 5, 6).

6)Случайная величина X задана плотностью вероятности

	0 ,	при x
	0 ,	при x			6
					6

		при		x
f x a sin 3x,		при	6	x		3
			6			3
	0 ,	при x
	0 ,	при x			3
					3
Найти:
а) параметр a ;
б) выражение для функции распределения F x ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал							0;	.
Построить графики f x		и F x .						4
Построить графики f x		и F x .

F x - функция распределения (функция распределения вероятностей, интегральная функция

x
распределения) случайной величины X ; F x	f x dx .

а)

Параметр a (постоянную нормировки) найдём из условия нормировки:

		f x dx 1
		f x dx 1

3			a	3		a			a			a			a
3			a	3	sin 3x d 3x	a	cos 3x	3	a			a	1	0	a
	a sin 3x dx		3		sin 3x d 3x	3	cos 3x		3	cos cos		3	1	0	3	1
6			3	6		3			3		2	3			3
6				6				6
								6

-следовательно, a 3 .

Иплотность вероятности имеет вид:

	0 ,	при x
					6


	3sin 3x,	при		x
f x			6			3

	0 ,	при x
					3

б)

Используем формулу

Если x 6 , то

Если x

6 3

F x f x dx .

F x 0 dx 0 .

, то

	F x	6				x
	F x		0 dx				3sin 3x dx
					6
Если x 0 , то F x		6				3
Если x 0 , то F x			0 dx				3sin 3x dx
						6
Итак,
	0 ,	при x
	0 ,	при x				6
						6

	cos 3x,	при			x
F x	cos 3x,	при		6	x			3
				6				3
	1,	при x
	1,	при x				3
						3

0 cos 3x	x		cos		cos 3x .
	x

		cos 3x
				2

	6

0 dx 0 1 0 1.

в)
Вероятность попадания случайной величины								X в интервал					0	;		:
														4
														1			1
	P	0	x		F	F 0	cos	3		0								0,707
	P	0	x		F	F 0	cos	3		0				2			2	0,707
				4	4				4					2			2
График плотности вероятности
							0 ,			при x
							0 ,			при x			6
													6

						f x	3sin 3x,			при		x
						f x	3sin 3x,			при	6	x			3
											6				3
							0 ,			при x
							0 ,			при x			3
													3

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке pdf математика

#
29.03.2015269.44 Кб43fX_FX_nepr_sv.pdf
#
29.03.2015765.05 Кб51Kombinatorics_MatBuro.pdf
#
29.03.20151.15 Mб50tv-sibguti.pdf
#
29.03.2015269.44 Кб42Задание 11-5.pdf
#
29.03.201542.05 Кб63Замечательные пределы.pdf
#
29.03.2015323.22 Кб102Методичка по интегралам.pdf