3.1.Метод итераций

Этот метод заключается в замене уравнения (1) эквивалентным ему уравнением вида (2)

После этого строится итерационный процесс

(3)

При некотором заданном значении . Для приведения выражения (1) к требуемому виду (2) можно воспользоваться простейшим приёмом

,

.

Если в выражении (2) положить , можно получить стандартный вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения:

Иначе можно получить уравнение (2) следующим способом: левую и правую часть уравнения (1) умножить на произвольную константу  и прибавить к левой и правой части х, т.е. получаем уравнение вида:

х = х + F(x), (4)

где f(x) = х + F(x).

На заданном отрезке [a; b] выберем точку х₀ – нулевое приближение – и найдем:

х₁ = f(x₀),

потом найдем:

х₂ = f(x₁),

и т.д.

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к последовательному вычислению чисел:

х_n = f(x_n-1) n = 1,2,3..... .

Этот процесс называется методом итераций.

Если на отрезке [a; b] выполнено условие:

,

то процесс итераций сходится, т.е.

lim x_n = x.

n  

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока

x_n - x_n-1 ,

где  – заданная абсолютная погрешность корня х. При этом будет выполняться:

x - x_n .

Блок-схема метода итераций.

true false

3.2.Метод Ньютона

Для поиска корней уравнения (1) в окрестности решения выберем точку и разложим функцию в ряд Тейлора возле этой точки:

Отсюда следует приближённое равенство

Которое с учётом

Позволяет получить выражение

Приводящее к итерационному процессу следующего вида:

Выберем на отрезке[a; b] произвольную точку х₀ – нулевое приближение. Затем найдем:

x₁ = x₀ - ,

потом x₂ = x₁ - .

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к вычислению чисел x_n по формуле:

x_n = x_n-1 - n = 1,2,3...... .

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие:

x_n - x_n-1 < .

Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, при условии .

Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рисунке, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:

Этот процесс называется методом Ньютона.

Блок-схема метода Ньютона.

true false

Геометрический смысл процедуры Ньютона

Пример. Требуется определить корни уравнения .

Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура

Поскольку

Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу

Для а=2 ‘точное’ решение .Результаты расчётов приведены в таблице 3.2.

Номер итерации	Приближения решения	Приближения решения
1	2,0	-10,0
2	1,5	-5,1
3	1,416666667	-2,746078431
4	1,414215686	-1,737194874
5	1,414213562	-1,444238095
6	1,4142135624	-1,414525655
7	1,4142135624	-1,414213597
8	1,4142135624	-1,4142135624

Последовательность получения приближённого решения уравнения методом Ньютона.