1.5 Свободные колебания в электрических цепях

1.5.1 Запишем для цепи, изображенной на рис. 1.7,б, функцию передачи:

Рис. 1.7

, гдеp₁= (1.12)

Рассмотрим, как протекают свободные колебания в схеме, изображенной на рис. 1.7,а. В индуктивности схемы рис. 1.7,а, когда индуктивность была подключена к источнику токаI₀, запаслась энергия:

После коммутации ключа к резистору R эта энергия должна в нем рассеяться.

Для отыскания закона изменения тока в контуре запишем в соответствии со вторым законом Кирхгофа:

(1.13)

;(1.14)

Подставив (1.14) в (1.13) получим:

(1.15)

Это линейное однородное уравнение первого порядка, решение которого сводится к подбору такой функции , производная которой отличалось бы от самой функции лишь постоянным множителем. Таким свойством обладает показательная функция:

(1.16)

Подставив (1.16) в (1.15) получим:

(1.17)

Уравнение (1.17) имеет два решения:

1. А= 0 Оно описывает состояние покоя.

2. , которое имеет решение(1.18)

Интересно отметить совпадение значений полюса функции передачи схемы рис. 1.7,б(1.12) и решения дифференциального уравнения (1.18).

Приравняв значение тока в момент времени равный нулю к I₀найдем значение постояннойА=I₀. Тогда частное решение дифференциального уравнения запишем в виде:

, (1.19)

где — называется постоянной времени.

Графически решение (1.19) представлено на рис. 1.8.

Совпадение соотношений (1.12) и (1.18) имеет ясный физический смысл: свободные колебания в линейных L, C, R цепях могут только уменьшаться (затухать) во времени.

Для функций входных, выходных сопротивлений и проводимостей родственные ограничения называются условиями физической реализуемости (УФР):

Вещественные части нулей и полюсов этих функций могут располагаться только в левой части р – плоскости (рис. 1.6). То же самое можно сказать о полюсах передаточных функций.

Рис. 1.8

1.6 Нормирование функций электрических цепей

1.6.1 Поделим обе части выражения (1.10) на R₃:

, (1.20)

, где— частота, нормированная к значению частоты,— нормированное значение емкости (отношение сопротивления нагрузки к значению сопротивления емкости на частоте). Аналогично— нормированное значение индуктивности.

При этом соотношение (1.20) будет записано в виде:

или(1.21)

где .

Соотношению (1.21) соответствует фильтр, сопротивление нагрузки которого равно одному Ому, величины элементов в Фарадах и Генри определяются значениями и, частота среза равняется 1 рад./с.

Рассмотрим (1.21) при и:

и(1.22)

Соотношение (1.22) является записью квадрата модуля нормированной функции передачи простейшего фильтра нижних частот с максимально-гладкой АЧХ (рис. 1.9).

Денормирование (пересчет) элементов фильтра для любой частоты среза и любого значения сопротивления нагрузки выполняется по формулам:

и(1.23)

Рис. 1.9

1.7 Синтез фильтров нижних частот

1.7.1 Предположим необходимо создать фильтр, который пропускает сигналы в полосе частот от нуля до частоты среза () (рис. 1.9). Идеальную прямоугольную характеристику квадрата модуля функции передачи создать невозможно. Необходимо заменить (аппроксимировать) идеальную характеристику какой-то характеристикой отвечающей УФР. Попробуем решить задачу для фильтра, квадрат модуля функции передачи которого описывается выражением:

(1.24)

Чтобы найти функцию передачи и проверить отвечает ли она УФР заменим частотную переменную в соотношении (1.24) илии получим аналитическое продолжение функции квадрата модуля:

(1.25)

Для того чтобы найти полюсы функции приравняем нулю знаменатель выражения (1.25):

- для n– нечетныхили; (1.26)

- для n– четныхили; (1.27)

Например, для n= 3 из соотношения (1.26) получаем приk = 1, 2, 3, 4, 5, 6 шесть корней (полюсов) функции, которые располагаются в комплексной плоскости на окружности с радиусом равным единице (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Условиям физической реализуемости отвечают только три полюса:

Запишем функцию передачи третьего порядка, используя эти три полюса:

. (1.28)

Используя соотношения (1.26), (1.27) легко определить полюсы и записать функции передачи фильтра любого порядка. Например, опуская промежуточные выкладки, запишем функцию передачи фильтра шестого порядка (n= 6):

(1,29)

Таким образом, знаменатель функции передачи может быть записан как полином порядка n или как произведение полиномов второго и первого порядка.

Чтобы найти структуру фильтра и рассчитать его элементы необходимо определить по найденной функции передачи (1.28) функцию его входного сопротивления. Для этого воспользуемся соотношением [1]:

(1.30)

где ,Г(j) — коэффициент отражения на входных зажимах фильтра,Z_ВХ(j) — входное сопротивление фильтра.

Физическое содержание соотношения (1.30) заключается в том, что сумма проходящей в нагрузку (первое слагаемое) и отраженной (второе слагаемое) нормированных мощностей всегда равна единице. Следовательно, зная одну величину всегда можно определить другую. Используя (1.24) и (1.30) запишем:

(1.31)

Или ее аналитическое продолжение

(1.32)

Сопоставляя соотношения (1.24) и (1.31) убеждаемся, что полюсы функций передачи и коэффициента отражения совпадают. Все нули функции коэффициента отражения расположены в нуле. Следовательно, функцию коэффициента отражения, соответствующую соотношению (1.28) можно записать в виде:

(1.33)

Используя определение коэффициента отражения, запишем функцию входного сопротивления фильтра:

(1.34)

Учитывая, что для нормированных фильтров сопротивления нагрузки и генератора равны единице запишем функцию входного сопротивления для двух знаков числителя (1.33):

(1.35)

и (1.36)

Соотношения (1.35), (1.36) описывают дуальные цепи, поэтому достаточно показать реализацию одного из них, например (1.35).

Проанализируем поведение (1.35) при частоте sстремящейся к бесконечности. Для этого поделим числитель и знаменатель (1.35) наs³и найдем предел этого отношения:

(1.37)

Следовательно, входное сопротивление фильтра, описываемого соотношением (1.35) ведет себя как емкость. Чтобы найти значение этой емкости, инвертируем соотношение (1.35) и приравняем проводимости первого элемента фильтра (емкости ) и фильтра:

или (1.38)

Эти преобразования показаны на рис. 1.11.

Рис. 1.11

Найдем остаточную проводимость Y_ОСТ:

(1.39)

Инвертируем соотношение (1.38) и, выполняя действия аналогичные действиям (1.36, 1.37), найдем значение следующего элемента («продольной» индуктивности):

(1.40)

Соответствующие преобразования показаны на рис. 1.12.

Рис. 1.12

Найдем остаточное сопротивление (рис. 1.11):

(1.41)

Соотношение (1.41) описывает сопротивление параллельной цепочки, состоящей из резистора величиной 1 Ом и емкости _1 (Рис. 1.13).

Рис. 1.13

Фильтр, соответствующий соотношению (1.35), является, как упоминалось дуальным по отношению к фильтру рис. 1.13. Оба фильтра с найденными величинами элементов изображены на рис. 1.14.

Рис. 1.14