1.3 Метод кумулянтов

1.3.1 Если использовать оба закона Кирхгофа, анализ цепных схем можно существенно упростить. Рассмотрим схему, аналогичную схеме изображенной на рис. 1.2, при других обозначениях элементов (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Как следует из рис. 1.4 элементы схемы просто нумеруются по порядку слева направо: G₁,R₂,G₃…G_n; соответственно нумеруются напряжения узлов и токи между узлами:U₁,I₂,U₃…U_n. Используя последовательно первый и второй законы Кирхгофа составляем систему уравнений:

1.  I₁ = G₁U₁ + I₂ + 0 + 0…..

2.  0 = –U₁ + R₂I₂ + U₃ + 0

3.  0 = 0 –I₂+G₃U₃+I₄+ 0 ……

.

.

.

n  0 = …………………………………–I_(n-1) + G_nU_n.

1.3.2 Эта система в матричной форме выглядит следующим образом:

Это тоже ленточная система, в матрице кумулянтов которой главная диагональ заполнена последовательностью элементов G₁,R₂,G₃…G_n, обрамленная снизу и сверху отрицательными и положительными единичными элементами.

1.3.3 Для того чтобы найти любое неизвестное из ряда U₁,I₂,U₃…U_nможно воспользоваться методом Гаусса, выражая из первого уравнения неизвестное с первым номером (в данном случаеU₁) и подставляя его выражение во второе уравнение, исключив его (U₁) из системы уравнений. Затем такую же процедуру проделаем с неизвестнымI₂и т.д., пока не получим одно уравнение относительно, например,U_n.

В общем случае в матричной форме эта процедура записывается как:

, (1.1)

где — определитель матрицы кумулянтов, а— определитель матрицы, полученный путем заменыi– того столбца исходной матрицы столбцом возмущений.

1.3.4 Найдем качестве примера напряжение на выходе схемы:

, (1.2)

где

(1.3)

Вычисляя определитель по элементам последнего столбца, получим:

Здесь второй определитель (минор ) получен из первого путем вычеркивания первой строки и последнего столбца, множитель (–1) возводится в степень число которой равно сумме номера строки (1) и номера столбца (n). Второй определитель является треугольным определителем и его значение равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Следовательно, или(1.4)

Аналогично раскрывая определитель получим рекуррентную формулу:

, (1.5)

где С_n– кумулянт, который достаточно записать как последовательный перечень элементов по порядку (иначе, стоящих на главной диагонали):

C_n= {a₁,a₂,a₃,…a_n};

a_n– последний элемент главной диагонали,

С_n-1– определитель полученный из исходного (С_n) путем вычеркивания последней строки и последнего столбца,

С_n-2– определитель полученный из исходного (С_n) путем вычеркивания двух последних строк и столбцов.

Далее, раскрывая аналогичным образом определители С_n-1иС_n-2, записываем определительС_nчерез произведения элементова_iи определителиС₂иС₁:

, (1.6)

, (1.7)

(1.8)

1.4 Расчет цепей состоящих изL,c,Rэлементов

1.4.1 Для расчета токов и напряжений цепей состоящих из L,C,Rэлементов в установившемся режиме достаточно принять, что сопротивление индуктивности и проводимость емкости определяются следующими соотношениями:

Z(p) =pL — операторное сопротивление индуктивности,

G(p) =pC — операторная проводимость емкости,

где p = — комплексная частота.

Для схемы, изображенной на рис. 1.5, рассчитаем с помощью соотношений (1.4) — (1.8) функцию передачи.

Рис. 1.5

T(p) =, (1.9)

,

,

тогда . (1.10)

Аналогичным образом можно записать функцию входного сопротивления:

. (1.11)

Где:

- — «ноль» функции входного сопротивления (значение комплекс-ной частотыр, на которой входное сопротивление обращается в ноль),

- — полюсы функции передачи (значения комплексной частоты, в которых функция обращается в бесконечность).

Рис. 1.6