Расчетно-графическая работа №3

Применение принципа возможных перемещений к определению реакций опор составной конструкции

Составная конструкция из двух элементов, соединенных внутренним шарниром С, имеет три варианта закрепления на опорах:

1. С помощью двух неподвижных шарниров (рисунок 1,3,4,5).

2. С помощью жесткой заделки и одного подвижного шарнира (рис. 0,2,7).

3. С помощью одного неподвижного и двух подвижных шарниров (рис. 6,8,9).

На каждую конструкцию действуют:

- две силы Р₁иР₂;

- пара сил с моментом М;

- равномерно распределенная нагрузка интенсивности q.

Точки приложения сил, направления действия сил и момента, участки конструкции с заданным направлением действия распределенной нагрузки указаны на рисунках конструкции.

Значения сил Р₁,Р₂, интенсивности нагрузкиqи моментаМуказаны в таблице 1. Угол наклона одной силы и величина размераауказаны в таблице 2.

Требуется определить реакции связей в опорах А, В, Д,вызванные заданными нагрузками, применяя принцип возможных перемещений.

Выбор варианта задания студент осуществляет по своему шифру, образованному тремя последними цифрами номера зачетной книжки:

- по третьей (последней) цифре шифра определяется номер рисунка;

- по второй цифре шифра – номер условия в таблице 2 (номер строки в таблице);

- по первой цифре шифра – номер условия в таблице 1.

Номер условия	Нагрузка
	P1, кН	P2, кН		q, кН/м	M, кН·м
0	5		8	3	8
1	9		8	3	14
2	8		5	1	4
3	13		12	2	6
4	6		6	1	7
5	15		14	3	10
6	4		10	2	6
7	7		6	2	12
8	11		10	1	5
9	7		4	2	10

Таблица 1

Таблица 2

Номер условия	Размер а, м	Угол , град.
0	0.5	60
1	0.6	45
2	0.7	30
3	0.8	60
4	0.9	45
5	1.0	30
6	0.9	60
7	0.8	45
8	0.7	50
9	0.6	30

Рисунок 0

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9

Методические указания.

Перед началом вычислений рекомендуется распределенную нагрузку q заменить сосредоточенной силойQ, приложив ее в середине нагруженного участка конструкции, а силы, действующие под углом к осям координат, разложить на их проекции.

В исходном варианте составная конструкция не обладает ни одной степенью свободы, поэтому под действием заданных сил остается неизменяемой, неподвижно прикрепленной к опорам.

Для использования принципа возможных перемещений конструкция должна быть освобождена от одной связи в любой опоре. Действие отброшенной связи заменяется ее реакцией, которая вводится в состав заданных сил. Системе сообщается возможное допустимое внутренним устройством перемещение, соответствующее полученной степени свободы. Затем следует составить общее уравнение работ заданных сил, включая реакцию отброшенной связи. Из этого уравнения определяется затем искомая реакция связи.

Работу по определению реакций рекомендуется выполнять в следующей последовательности.

1. Одна из опор конструкции мысленно заменяется на опору с меньшим на единицу числом связей. Подвижная опора отбрасывается совсем. Реакция отброшенной связи вводится в состав действующих сил (см. таблицу 3).

2. Определяется характер движений элементов конструкции (вращательное, поступательное, плоско-параллельное), исходя из полученной степени свободы и с учетом того, что перемещение внутреннего шарнира Сявляется общим для обоих элементов.

3. Для выбранного направления возможных движений элементов конструкций согласовываются величины перемещений, определяются перемещения в точках приложения сил и углы поворота элементов, совершающих вращательные движения.

4. Составляется общее для обоих элементов конструкции уравнение работ заданных сил и введенной реакции с учетом направлений перемещений и поворотов. Все перемещения в общем уравнении работ должны быть выражены через одно, которое затем исключается. Из полученного уравнения определяется реакция отброшенной связи.

5. После определения одной реакции конструкция возвращается в исходное крепление на опорах, а изложенный порядок действий повторяется для следующего варианта замены одной из опор.

Таблица 3

Исходная конструкция опоры	Вариант замены опоры
Цилиндрический шарнир на подвижной опоре. Количество замен - 1	Опора отбрасывается и ее связь заменяется реакциейRyперпендикулярно опорной поверхности
Цилиндрический шарнир на неподвижной опоре. Количество замен -2	а) Вводится цилиндрический шарнир на горизонтально подвижной опоре и горизонтальная составляющая реакции опорыRx
	б) Вводится цилиндрический шарнир на вертикально подвижной опоре и вертикальная составляющая реакции опорыRy
Жесткая заделка. Количество замен - 3	а) Вводится цилиндрический шарнир на неподвижной опоре и момент пары сил опорной реакцииM0
	б) Вводится подвижная в горизонтальном направлении опора с жестким креплением к ней элемента конструкции и горизонтальная составляющая реакции опорыRx
	в) Вводится подвижная в вертикальном направлении опора с жестким креплением к ней элемента конструкции и вертикальная составляющая реакции опорыRy

Возможные перемещения элементов конструкции

В конструкциях, изображенных на рисунках 1, 3, 4, 5, - при любом варианте замены одного неподвижного шарнира (например А) на подвижный разрешенным перемещением элемента конструкции, прикрепленного к неподвижному шарниру (напримерВ), будет вращение относительно неподвижного шарнира. Поэтому внутренний шарнирСможет перемещаться по перпендикуляру к линии, соединяющей точкуСс неподвижным шарниром.

Движение элемента конструкции, закрепленного на подвижной опоре, при этом будет плоским, так как направление горизонтального или вертикального перемещения подвижного шарнира (точки А) не будет совпадать с направлением возможного перемещения точки С. Плоское движение элемента конструкцииАСможно представить как вращение относительно своего мгновенного центра скоростей (МЦС). Аналогичная закономерность перемещений элементов будет при замене шарнираВна подвижный.

В конструкциях, изображенных на рисунках 0, 2, 7, при отбрасывании подвижной опоры ВэлементВСможет совершать вращательное движение.

При замене заделки подвижным (горизонтальным или вертикальным ползуном) элемент конструкции АСможет совершать поступательное движение, а элементСВбудет - поступательное или плоское движение.

При замене заделки на неподвижный шарнир элементы конструкции будут совершать движения, описанные для рисунков 1 и 3.

В конструкциях, изображенных на рисунках 6, 8,9, при отбрасывании подвижного шарнира АэлементАСможет совершать вращательное движение.

При отбрасывании подвижного шарнира Дэлемент конструкции СВД может совершать вращательное движение, а элементАС– плоское движение.

При замене неподвижного шарнира Вна подвижный вся конструкция будет совершать либо поступательное движение, либо оба элемента будут совершать плоские движения.

Согласование направлений и величин возможных перемещений элементов конструкции

При поступательном перемещении обоих элементов конструкции все точки будут перемещаться на одну и ту же величину в выбранном направлении.

Если оба элемента конструкции совершают вращательные движения, то для согласования их перемещений выбирается (произвольно) направление перемещения точки Свнутреннего шарнира. Это перемещение затем выражается как произведение поворота () на расстояние до оси вращенияlдля обоих элементов:и, откуда получается соотношение. Это соотношение позволяет угловое перемещение первого элемента () выразить через угловое перемещение второго элемента конструкции () и наоборот:

или.

Следует обратить внимание на то, что элементы конструкции могут вращаться относительно своих центров как в одном направлении, так и в противоположных.

Если один элемент конструкции совершает поступательное перемещение, а другой – вращательное, то согласование их перемещений производится также по перемещению совместной точки С. Выбирается (произвольно) направление перемещения точкиСв поступательном движении одного элемента -, и затем это перемещение выражается через произведение угла поворота другого элемента () на расстояние от точкиСдо оси его вращения (l). Тогда:или.

Направление вращательного движения определяется выбранным перемещением точки Сотносительно оси вращения.

Общее уравнение работ

Общее уравнение работ составляется как сумма работ сил и моментов, действующих на оба элемента конструкции, с учетом принятого направления перемещения каждого элемента.

Работы силы и момента включаются в общее уравнение работ со знаком «плюс», если сила или момент действуют в направлении принятого перемещения элемента, т.е. «способствуют» принятому перемещению. В противном случае работа силы или момента включается в уравнение работ со знаком «минус» (если они «противодействуют» принятому направлению перемещения).

При поступательном перемещении элемента конструкции работа сил, приложенных к этому элементу, вычисляется как произведение величины перемещения на проекцию силы на направление поступательного перемещения.

Момент пары сил, действующий на поступательно движущийся элемент конструкции, в уравнение работ не включается.

При вращательном движении элемента конструкции работа силы определяется как произведение силы на плечо и на элементарный угол поворота элемента конструкции относительно оси вращения.

Работа момента пары сил определяется как произведение величины момента на элементарный угол поворота элемента.

Пример.Пользуясь принципом возможных перемещений, определить реак­ции составной рамы, изображённой вместе с заданной нагрузкой на рисунке 10, еслиP₁=10 кН, q=5 кН/м, P₂=80кН и |M|=200кН·м.

Решение.Заменим равномерно распределённую нагрузку сосредоточенной силойQ=q·4=5·4=20 кН,приложенной к середине нагруженного участка, а силу разложим на горизонтальную и вертикальную составляющие;

Сначала определим реакции заделки: реактивный момент , горизонтальную составляющуюи вертикальную составляющую.Для определения реак­тивного моментаотбросим связь, препятствующую повороту рамы, заменив заделку шарнирно-неподвижной опорой, и приложим к элементуАСреактивный момент(рисунок 11 а).

Сообщим системе возможное перемещение, повернув элемент АСвокруг шар­нираАна уголпротив направления вращения часовой стрелки. Тогда элементСВбудет совершать плоское движение: при этом точкаВбудет перемещаться горизонтально, а точкаС– по направлению_.

Найдём мгновенный центр вращения элемента СВ и, выражая элементарное перемещениешарнираСчерез элементарные углы пово­ротаэлементаАСиэлементаСВ,найдём соотношение между ними:

Заметим, что поворот элемента СВвокруг мгновенного центра вращенияна уголпри принятом направлении перемещениябудет происходить по направлению вра­щения часовой стрелки.

Составим уравнение работ для опреде­ления реактивного момента , учитывая, что работа силы при повороте тела равна моменту силы относительно центра вращения, умноженному на угол поворота тела, и положительна в случае, если направления момента и угла поворота совпадают, т.е. момент «способствует» повороту тела в принятом направлении:

Подставим в уравнение работ значение = 0,5:

Сократим полученное выражение на (так как) и окончательно получим:

Для определения горизонтальной составляющей реакции заделки представим опору в виде ползунаАв горизонтальных направляющих, жёстко скреплённого с элементомАС,и приложим к нему реакцию(рисунок 11 б). Сообщим всей системе возможное перемещение — поступательное перемещениевправо, так как поворот ползуна в направляющих невозможен, а опораВможет перемещаться только горизонтально.

Составим уравнение работ для определения величины горизонтальной состав­ляющей реакции заделки.

Знак минус показывает, что горизонтальная составляющая реакции заделки направ­лена в сторону, противоположную направлению, указанному на рисунке 11 б.

Для определения вертикальной составляющей реакции заделки отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точкиА,заменив заделку ползу­номАв вертикальных направляющих, жёстко скреплённым с элементомАС,и при­ложим к нему реакцию.

Сообщим элементу АСвозможное перемещение — поступательное перемещениевверх. Тогда элементСВбудет совершать плоское движение, так как точкаСможет перемещаться вертикально, а точкаВ– горизонтально. Точкабудет мгновенным центром вращения элементаСВ. Составим уравнение работ для опреде­ления величины вертикальной составляющей реакции заделки, выразив перемещение всех точек приложения сил через элементарный уголповорота элементаСВ вокруг мгновенного центра вращения, учитывая, что возможное перемещение шарнираСравно поступательному перемещению элементаАСи (рисунок 11 в).

_отсюда

Для определения реакции подвижной опоры Вотбросим эту связь, заменив ее действие реакцией (рисунок 11г).Сообщим элементуСВвозможное перемеще­ние – поворот на уголвокруг шарнираСпротив направления вра­щения часовой стрелки. Тогда . ЭлементАСпри этом остается непо­движным.

Составим уравнение работ для определения реакции подвижной опорыB:

_отсюда

Для проверки правильности решения задачи убедимся в том, что для всей рассматриваемой системы удовлетворяются уравнения равновесия:

Библиографический список

1. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики.Т.1, Т.2 / Н.В. Бутенин, Я.Л.Лун, Д.Р.Меркин. – М.,1985. – 650 с.

2. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики. Часть I,II/А.А. Яблонский. – М., 1984. – 350 с.

3. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. – М., 1986. – 300 с.

4. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике / И.В.Мещерский. – М.,1986. – 450 с.

5. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /А.А. Яблонский. – М., 2002. – 384 с.

Оглавление.

Общая часть……………………………………………………………..…………3

Оформление работы…………………………………….…………………….......4

Расчётно-графическая работа №1. Интегрирование

дифференциальных уравнений движения материальной

точки, находящейся под действием переменных сил………………………….5

Расчётно-графическая работа №2. Применение

теоремы об изменении кинетической энергии

к изучению движения механической системы..……………………………….13

Расчётно-графическая работа №3. Применение

принципа возможных перемещений к определению

реакций опор составной конструкции ………………………………………….23

Библиографический список…………………..….…………………………….....40