Расчетно-графическая работа №2.

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃=0.3 м,r₃=0.1 ми радиусом инерции относительно оси вращения₃=0.2 м, блока 4 радиусаR₄=0.2 ми каткаR₅=0.2 м(или подвижного блока) 5 (рисунок 0 – 9, таблица 1); тело 5 будем считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскостьf=0.1, коэффициент трения качения тела 5 о поверхность=0.05 cм. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткостиc.

Под действием силы F=f(s), зависящей от перемещенияsточки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный моментMсил сопротивления (от трения в подшипниках).

По трем последним цифрам номера зачетной книжки выбирается номер варианта: номер рисунка (третья цифра), номер условия из таблицы 1 (первая цифра) и номер условия из таблицы 2 (вторая цифра).

Определим значение искомой величины в тот момент, когда перемещение sстанет равнымs₁=0.2 м. Искомая величина указана в столбце “Найти” таблицы 2, где обозначено:v₁, v₂, v_c5– скорости грузов 1, 2 и центра масс тела 5 соответственно,₃и₄– угловые скорости тел 3 и 4.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями (как, например, каток 5 на рисунок 2), катятся по плоскостям без скольжения.

На всех рисунках можно не изображать груз 2 и груз 1, если их массы равны 0; остальные тела должны изображаться и тогда, когда их масса равна нулю.

Таблица 1

Номер условия	m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	m5, кг
0	0	6	4	0	5
1	8	0	0	4	6
2	0	4	6	0	5
3	0	6	0	5	4
4	5	0	4	0	6
5	0	5	0	6	4
6	8	0	5	0	6
7	0	4	0	6	5
8	4	0	0	5	6
9	0	5	6	0	4

Таблица 2

Номер условия	c,	M, Нм	F=f(s), Н	Найти
0	200	1.2	80(4+5s)	3
1	320	0.8	50(8+3s)	v1
2	240	1.4	60(6+5s)	v2
3	300	1.8	80(5+6s)	4
4	240	1.2	40(9+4s)	v1
5	200	1.6	50(7+8s)	vC5
6	280	0.8	40(8+9s)	3
7	300	1.5	60(8+5s)	v2
8	320	1.4	50(9+2s)	4
9	280	1.6	80(6+7s)	vC5

Рис. 0

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9

Методические указания. Данная задача на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи следует учесть, что кинетическая энергияTсистемы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче необходимо определить. При вычисленииTдля установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс или обода следует воспользоваться мгновенным центром скоростей (кинематика). При вычислении работы надо все перемещения выразить через заданное перемещениеs₁, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

Пример. Механическая система (рисунок 1 а) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступенейR₃иr₃и радиусом инерции относительно оси вращения₃; блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равенf). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центруEблока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткостис; ее начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F=f(s), зависящей от перемещенийsточки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный моментМсил сопротивления.

Дано:m₁=8кг, m₂=2кг, m₃=4кг, m₄=0,m₅=10кг, R₃=0.3м , r₃=0.1м, ₃=0.2м, f=0.1, c=240, М=0.6Нм, F=20(3+2s)H, s₁=0.2м.Определить:₃в тот момент времени, когдаs=s₁.

а

б

Рисунок 10

Решение. 1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из весомых тел 1, 2, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные, реакции, натяжение нити, силы трения,и моментыMи.

Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

. (1)

2. Определяем и. Так как в начальный момент система находилась в покое, то. Величинаравна сумме энергий всех тел системы:

. (2)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 –поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим:

,

,. (3)

Здесь - скорости центра масс тела 1 и 5;- соответственно моменты инерции тела 1 и 3 относительно их центров масс.

Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что, поскольку центры масс тел 1 и 5 связаны с точкой А обода колеса радиусашкива 3 нерастяжимой нитью, а точка- мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим. Тогда

,. (4)

Кроме того, так как тело 1 – однородный диск, то его момент инерции будет, тело 3 является неоднородным, в этом случае его момент инерции относительно центра масс определяется как.

Подставим все величины (4) и моменты инерции в равенства (3), а затем, используя равенство (2), получим окончательно

. (5)

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь . Введя обозначения: - перемещение груза 5 (),- угол поворота шкива 3,и- начальное и конечное удлинение пружины, получим

.

Сила тяжести тела 1 направлена под углом к вектору перемещения, тогда. Так как сила трения 5-го тела направлена против его перемещения и равна, где- реакция опоры этого тела, которая определяется из условия равновесия тела 5 по вертикальной оси, то работа силы трения будет

.

Работа момента Mопределяется как произведение его величины на угол поворота тела 3 (работа отрицательна, если направления вращения момента и тела различны):

.

Работа момента качения определяется как произведение его величины на угол поворота тела 1(работа момента качения всегда отрицательна, так как его действие направлено против поворота тела). Величина момента качения пропорциональна реакции опоры тела:

.

Работа силы упругости определяется по формуле

.

Работы остальных сил равны нулю, так как точки K₁иK₂, где приложены силы,и, - мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы,и, - неподвижные; а все реакции опор не совершают работы, так как являются реакциями идеальных связей.

По условиям задачи, . Тогда- перемещение точкиE(конца пружины). Величины,инадо выразить через заданное перемещение; для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Так как(равенствоуже отмечалось), то согласно определению вращательного движения углы поворота тела 1 и 3 определяются как отношения перемещений точек этих тел к расстояниям от них до центров вращения тел:и. (6)

Далее, из рисунка 1 б видно, что , а так как точкаK₂является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы “катится” по участку нитиK₂L), то; следовательно, и. При найденных значенияхидля суммы вычисленных работ получим

(7)

Подставляя выражения (5) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что , придем к равенству

(8)

Из равенства (8), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .

Ответ: .