§ 67. База и ядро

Пусть G — ориентированный граф, а В — такое под­множество его вершин, что любая вершина из VG\B до­стижима из какой-либо вершины, принадлежащей В. Если, к тому же, множество В минимально относительно включения среди всех подмножеств вершин с описанным свойством, то оно называется базой орграфа С.

Очевидно, что в любом орграфе существует база и что никакие две вершины базы не соединены маршрутом.

Поскольку вершины с нулевыми полуступенями за­хода не достижимы ни из каких вершин, то все они при­надлежат базе. В бесконтурном орграфе база состоит только из таких вершин.

Для поиска базы в орграфе G, содержащем контуры, рассмотрим его конденсацию G*, не имеющую контуров согласно утверждению 63.3. Сильные компоненты оргра­фа G, в которые не входят дуги из других сильных компо­нент, соответствуют в орграфе G* вершинам с нулевыми полустепенями захода. Назовем такие сильные компонен­ты базовыми. Все вершины каждой сильной компоненты взаимно достижимы и любая вершина небазовой компо­ненты достижима из любой вершины некоторой базовой компоненты. Таким образом, доказана

Теорема 67.1. Подмножество вершин В орграфа является базой тогда и только тогда, когда В состоит из вершин, принадлежащих базовым компонентам, причем в каждую базовую компоненту входит ровно одна вер­шина из В.

Понятие ядра для ориентированных графов вводится так же, как и для неориентированных.

Множество S вершин орграфа G называется домини­рующим, если для любой вершины wVG\S существует такая вершина vS, что (v, w) AG. Напомним, что множество S называется независимым, если никакие две

вершины из S не смежны. Множество вершин S, являю­щееся одновременно и независимым, и доминирующим, называется ядром орграфа.

Орграф, изображенный на рис. 67.1, имеет два ядра:

Не в каждом орграфе есть ядро, в чем нетрудно убе­диться, рассмотрев орграф, изображенный на рис. 67.2.

Рассмотрим одно достаточное условие существова­ния ядра.

Теорема 67.2. Каждый орграф, не имеющий кон­туров нечетной длины, обладает ядром.

> Пусть G — орграф, в котором нет контуров нечет­ной длины. Для любого подмножества вершин W<=VG положим

Определим рекуррентно

две системы подмножеств В₀, В₁ ,В₂, ... и V₀, V₁ , V₂, ... множества VG. В качестве В_о возьмем любую из баз орграфа G и положим

Пусть уже определены В_i-1 и V_i. В качестве В_i возьмем какую-либо базу подграфа Gi = G—V_i ,удовлетворяю­щую условию

и положим

Покажем, что нужная база действительно существует. Пусть В — база в G_i содержащая вершину v Г(Г(B_i-1)\V_i-1). Поскольку В_i-1 — база в G_i-1 ,то вер­шина v достижима из какой-либо вершины w B_i-1, и в графе G_i-1 существует (w, и)-путь L (рис. 67.3).

Этот путь содержит по меньшей мере по одной вершине из Г(B_i-1) и из Г(Г(B_i-1)\V_i-1). Пусть и — последняя вер­шина пути L, принадлежащая можеству Г(Г(B_i-1)\V_i-1). Тогда все вершины, достижимые из вершины v, достижи­мы и из и, т. е. В' =(B\v)U и — также база. Будем про­водить такие замены вершин до тех пор, пока не полу­чим нужную базу Bi. Поскольку

и множество VG конечно, то для некоторого индекса m верно равенство V_m = VG. Положим

и покажем, что S — ядро орграфа G. Из построения мно­жества S вытекает, что оно доминирующее, ибо если v S, то vГ(B_k)\V_k для некоторого индекса k.

Осталось показать, что множество S независимо. Пусть, напротив, в S есть две смежные вершины и и v, иВ_р, vB_р. Так как в базе смежных вершин нет, то р <> q. Будем считать, что р < q. Из правила построения множеств Bj следует, что (и, v) AG, (v, u) AG. По этой же причине существует путь

(рис. 67.4), где

из минимальности базы В_р следует равенство и — х_р. Но когда путь L оказывается контуром нечетной длины, что противоречит условию теоремы.

Тем самым доказана независимость множества S.

Итак, множество S является независимым и доминирующим одновременно, т. е. S — ядро. <

УПРАЖНЕНИЯ

1. Докажите теоремы 65.1 и 65.2.

2. Покажите, что в орграфе без контуров всегда есть вершина нулевой полустепенью захода и вершина с нулевой полустепенью исхода.

3. Докажите, что пара векторов (З², 2) и (3, 2², 1) является графической, и постройте ее реализацию.

4. Постройте ориентированный граф, для которого вектор (3³, 2²) является как списком полустепеней исхода вершин, так и списком полустепеней захода вершин.

5. Докажите, что следующие свойства орграфа G эквивалентны:

1) G — бесконтурный граф;

2) граф G и его конденсация G* изоморфны;

3) каждый маршрут орграфа G является путем;

4) вершины орграфа G можно упорядочить так, что его матрица смежности будет верхней треугольной матрицей.

6. Полустепень исхода вершины турнира называется количеством очков вершины. Докажите, что в любом турнире расстояние от вершины с максимальным количеством очков до любой другой вершины равно 1 или 2.

7. Докажите, что в транзитивном турнире существует ровно один гамильтонов путь.

8. Докажите, что ребра любого неориентированного графа можно так ориентировать, что в полученном орграфе |d⁺(v) — d^-(v)|<=1 для любой вершины v.

9. Покажите, что любой турнир либо является сильным, либо может быть превращен в сильный сменой ориентации только одной дуги.

10. Докажите, что неориентированный граф G является ос­нованием некоторого сильного орграфа тогда и только тогда, ког­да G связен и не имеет мостов.

11. Транзитивным замыканием орграфа G называется орграф G’, для которого VG’ = VG, а (и, v) G’ тогда и только тогда, ког­да в орграфе G вершина v достижима из и. Транзитивная редук­ция орграфа G определяется как орграф с наименьшим числом дуг, транзитивное замыкание которого совпадает с транзитивным замы­канием орграфа G. Покажите, что если орграф не имеет конту­ров, то его транзитивная редукция единственна.

12. Пусть G — орграф без петель с п вершинами и m дугами. Докажите, что если G является связным, но не сильным орграфом, то п — 1 <= m <= (п — 1)², а если G — сильный орграф, то п<=m<= п<=(п — 1).

13. Докажите, что в орграфе порядка п, для любых двух не­смежных вершин и и v которого верно неравенство d(u)+ d(v)>=2п — 3, существует гамильтонов путь.

14. Орграф L(G), вершины которого соответствуют дугам ор­графа G и (и, v) AL(G) тогда и только тогда, когда соответст­вующие дуги порождают в G маршрут, называется реберным ор­графом. Выразите число вершин и число дуг реберного орграфа L(G) через аналогичные параметры орграфа G.

15. Целочисленная функция g(v)>=0, vVG, называется функцией Гранди орграфа G, если для любой вершины v значение g(v) совпадает с минимальным из тех неотрицательных целых чи­сел, которые не принадлежат множеству {g(u): и Г(у)}. Покажи­те, что если каждый подграф орграфа G обладает ядром, то сущест­вует функция Гранди орграфа G.

17