§ 64. Полустепени исхода и полустепени захода

Пусть G — ориентированный граф и v VG. Множе­ство концов всех дуг, исходящих из вершины v, обозна­чается через Г (у), а множество начал всех дуг, заходя­щих в v — через Г^-1(v).

Полустепенъю исхода d⁺(v) вершины v называется число дуг, исходящих из v, т. е. d⁺(v)= /Г(v)/ I. Анало­гично определяется полустепень захода d^-(v) вершины v: d^-(v)=/Г^-1(v)/.

Степень deg v вершины v орграфа — это число инци­дентных ей дуг:

Для произвольной бинарной m X n-матрицы А вектор с_А = { с₁, с₂, ..., с_m), i-я координата с_i которого равна чис­лу единиц в i-й строке этой матрицы, называется векто­ром строчных сумм. Аналогично определяется вектор столбцевых сумм d_A = (d₁, d₂, ..., d_n): координата d_t равна числу единиц в i-м столбце. Очевидно, что

(1)

поскольку каждая из этих сумм равна числу всех единиц матрицы А.

Если А = A (G) — матрица смежности орграфа G, то

г. е. число единиц в i-й строке матрицы A(G) равно по­лустепени исхода i-й вершины, а число единиц в j-м cтолбце равно полустепени захода j-й вершины. Таким oбразом, для A — A (G) имеем

Поэтому верно следующее утверждение, являющееся аналогом леммы о рукопожатиях.

Утверждение 64.1. Сумма полустепеней исхода icex вершин орграфа равна сумме полустепеней захода и швна числу его дуг:

Нетрудно убедиться в том, что равенство (1) не является достаточным условием для существования бинарной n X m-матрицы А с векторами строчных сумм с_А и столб­овых сумм d_A. Например, нет матрицы А, для которой с_А = (3,0), d_A=(2, 1).

Пара векторов с = (с₁, с₂, ..., с_m), d = (d₁, d₂, ..., d_n) целыми неотрицательными координатами называется графической, если существует бинарная m X w-матрица А, для которой с_А = с, d_A = d. Если истолковывать эту мат­рицу как приведенную матрицу смежности двудольного графа, то вектор с_А окажется списком степеней вершин того графа, принадлежащих одной доле, а вектор d_A — списком степеней вершин другой доли, так что условия графичности пары векторов являются условиями существования соответствующего двудольного графа — реализации этой пары. Этим и объясняется термин «графическая пара векторов».

При m = п ту же матрицу А можно истолковывать как матрицу смежности орграфа, и тогда условия графичности пары векторов станут условиями существования ориентированного графа с заданными списками полустепеней схода и полустепеней захода вершин.

Критерий графичности пары векторов устанавливается следующей теоремой.

Теорема 64.2. Пара векторов с = (с₁, с₂, ..., с_m), d = (d₁, d₂, ..., d_n) (2)

является графической тогда и только тогда, когда выпол­няются следующие два условия:

1) последовательность

(с₁ + m - 1, с₂ + m - 1, ..., с_m + m - 1, d₁ , d₂, ..., d_n) (3)

графическая;

2)

> Очевидно, что пара векторов (2) реализуется дву­дольным графом тогда и только тогда, когда последова­тельность (3) реализуется расщепляемым графом, для которого (с₁ + m - 1, с₂ + m - 1, ..., с_m + m - 1) и (d₁ , d₂, ..., d_n) — списки степеней вершин верхней и ниж­ней долей соответственно. Поэтому доказываемое непо­средственно вытекает из критерия расщепляемости гра­фической последовательности (утверждение 49.3). <

Коснемся вопроса о реконструируемости орграфов. Ги­потезу Келли — Улама для ориентированных графов мож­но попытаться сформулировать так же, как и для неори­ентированных. Но для орграфов эта гипотеза не верна.

П. Стокмейер (1977, 1981 гг.) нашел несколько семейств нереконструируемых орграфов. Одно из них состоит из сильных турниров специального вида. Два нереконструи­руемых турнира изображены на рис. 64.1. Ф. Харари и Е. Палмер доказали (1967 г.), что любой турнир, не яв­ляющийся сильным, реконструируем.

А. Рамачандран предложил новый вариант гипотезы реконструируемости для орграфов. Пусть G — ориентиро­ванный граф. Вместе с каждым подграфом G_V = G — v, будем рассматривать упорядоченную пару (d⁺(v), d^-(v)) полустепеней исхода и захода вершины v. Орграф G назовем N-реконструируемым, если он определяется с точностью до изоморфизма набором {(G_v, d⁺(v), d^-(v)}.

Гипотеза Рамачандрана (1981 г.). Любой орграф N-реконструируем.

Эта гипотеза пока не доказана и не опровергнута.