§10. Реберный граф

Пусть S — непустое множество, a F = {S₁, S₂, ... ..., S_n} — его покрытие непустыми несовпадающими подмножествами. Определим граф (F) следующими условиями: V(F) = F, вершины S_i и S_j смежны, если ij и S_iS_j . Произвольный граф G называется графом пересечений, если и только если существуют такое множество S и такое покрытие этого множества F, что G(F).

Утверждение 10.1. Любой граф является графом пересечений.

> Пусть G — граф, VG = (1, 2, ..., n), S — множество элементов графа G. Для i = обозначим через S_i множество, составленное из вершины i и всех инцидентных ей ребер. Положив F = {S₁, S₂, ..., S_n}, получим G(F). <

Важный класс графов пересечений составляют реберные графы. Для произвольного графа G реберный граф L(G) определяется следующими двумя условиями:

1. VG(G)=EG,

2. вершины e₁ и e₂ смежны в L(G) тогда и только тогда, когда ребра e₁ и e₂ смежны в G.

Если для некоторого графа H существует такой граф G, что HL(G), то H также называется реберным графом.

На рис. 10.1 совмещены два графа —G и L(G). Вершины графа G — темные кружочки, вершины графа L(G)— светлые кружки. Ребра графа G — тонкие линии, ребра графа L(G) — жирные линии.

Утверждение 10.2. Если d₁, d₂, .. ., d_n — степенная последовательность (n, m)-графа G, то L(G) является (m, l)-графом, где

>Очевидно, чтоi-я вершина графа G порождает

ребер графаL(G), поэтому

Очевидно, что если графы G и H изоморфны, то L(G) и L(H) также изоморфны. В то же время справедливы соотношения L(K₃)L(K_1,3) = K₃. X. Уитни доказал, что K₃ и K_1,3 — единственная пара несовпадающих связных графов, имеющих один и тот же реберный граф. Если порядок хотя бы одного из рассматриваемых графов меньше пяти, то это проверяется непосредственно, а для графов больших порядков вытекает из следующей теоремы.

Теорема 10.3 (X. Уитни, 1932 г.). Пусть G и H — связные графы, |G|>4, |H|>4 и L(G)L(H). Тогда GH и, более того, для всякого изоморфизма : L(G)->L(H) существует единственный изоморфизм : G ->H, индуцирующий , т. е. такой, что (e) = (u) (v) для любого ребра e = uv графа G.

> Изоморфизм  реберных графов L(G) и L(H) будем рассматривать как биекцию EG->EH между множествами ребер графов G и H, при которой смежным ребрам соответствуют смежные, а несмежным — несмежные.

Лемма 10.4. Если ребра e_i (i = ) составляют звезду K_1,r в графе G, то их образы (e_i) составляют такую же звезду K_1,r в графе H.

> Доказательство леммы. При r = 2 утверждение леммы верно по определению изоморфизма графов. Пусть r=3 и ребра e₁, e₂, e₃ составляют в графе G звезду K_1,3. Поскольку граф G связен и порядок его более четырех, то в нем есть четвертое ребро e, смежное с каждым из ребер e_i или точно с одним из них. Таким же свойством обладает (e) по отношению к (e_i). Ребра (e_i) составляют в графе H либо звезду K_1,3, либо треугольник. Но ребро, смежное с каким-либо ребром треугольника, смежно ровно с двумя из ребер. Тем самым доказано, что ребра (e_i) составляют звезду в графе H. Нужное утверждение доказано для r = 3. Очевидно, что для r>3 оно просто получается по индукции. <

Поскольку отображение ^-1: L(H)->L(G) также является изоморфизмом реберных графов, то из предыдущей леммы вытекает следующее утверждение: ребра e_i (i = ) составляют максимальную (относительно включения) звезду K_1,r в графе G тогда и только тогда, когда их образы (e_i) составляют максимальную звезду K_1,r в графе H.

Итак, изоморфизм  определяет биекцию между множествами максимальных звезд графов G и H. Очевидно, что в каждой из этих звезд более одного ребра, и потому в ней есть лишь одна центральная вершина. Максимальную звезду графа G с центром x обозначим через S_G(x). Очевидно, что если (S_G (x)) = S_H (x'), то соответствие : x->x' является инъекцией множества всех вершин графа G, не являющихся концевыми, в аналогичное подмножество вершин графа H. Из соображений симметрии следует, что  — биекция.

Теперь распространим действие отображения  на концевые вершины графа G. Пусть v — одна из таких вершин. В графе G есть смежная с ней вершина x степени большей, чем 1. Положим xv = e и выберем в звезде S_H(x') такое ребро e' = x'v', что (e) = e'. Покажем, что

Пусть это не так. Тогда в звездеS_H(v') есть ребро e₁' = e'. Следовательно, в звезде ^-1(S_H(v')) есть ребро e₁ = ^-1(e₁'), смежное с ребром e, но не входящее в S_G(x). Но тогда вершина v — конец этого ребра и deg v1. Равенство (1) доказано.

Положив (v)= v', получим инъекцию множества концевых вершин графа G в множество концевых вершин графа H. Из соображений симметрии теперь следует, что  — биекция.

Итак, построена биекция: VG ->VH. Докажем, что эта биекция является графовым изоморфизмом. Сохраним обозначение S_G(x) и в том случае, когда deg x = 1. В этой ситуации S_G(x) содержит одно ребро, инцидентное вершине x, и не является максимальной звездой. Смежность вершин x и y в графе G означает, что звезды S_G(x) и S_G(y) имеют общее ребро. Поэтому

Доказано, что : G -> H — изоморфизм графов. Из определения отображения  видно, что оно индуцирует , т. е. (e) = x'y'= (x)(y) для любого ребра e = xyEG. Существование нужного изоморфизма  доказано.

Остается доказать единственность. Пусть, напротив, есть два изоморфизма ₁₂, удовлетворяющих условию теоремы. Тогда ₁(a)(a) для некоторой вершины aVG. Рассмотрим произвольное реброe = ax в графе G. Тогда

и, следовательно, ₂(x)=₁(a). Если deg a > 1 и ay — другое ребро G, то аналогично получаем ₂(y)=₁(a)=₂(x), что противоречит инъективности ₂. Если же deg a =1, то из ₂(x)=₁(a) получаем deg x = 1, что противоречит связности G. <

Известно, что не всякий граф является реберным, например, звезда K_1,3 не есть реберный граф. (Характеризация реберных графов имеется в книге [7].) Однако класс реберных графов достаточно содержателен. Об этом свидетельствует, в частности, тот факт, что гипотеза реберной реконструируемости произвольных графов эквивалентна гипотезе вершинной реконструируемости реберных графов. Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 10.5 (Р. Хемминджер, 1969 г.). Связный граф G с более чем тремя ребрами реберно реконструируем тогда и только тогда, когда реберный граф L(G) вершинно реконструируем.

Отметим еще любопытную связь, существующую между матрицей инцидентности графа G и матрицей смежности реберного графа L(G).

Утверждение 10.6. Если I = I(G)— матрица инцидентности графа G и A = A(L(G))— матрица смежности графа L(G), записанная при той же, что и I, нумерации ребер, то

гдеE — единичная матрица порядка |EG|.

>Рассмотрим элемент произведенияI^TI, занимающий позицию (k, l):

Последняя сумма равна числу вершин графа G, инцидентных обоим ребрам с номерами k и l. При k = l это число равно 2. Если kl, то это число по определению есть элемент Au матрицы A. Равенство (2) доказано. <

Следствие 10.7. Любой корень характеристического полинома всякого реберного графа не меньше, чем –2.

>ПустьG — реберный граф. Тогда для него верно равенство (2). С другой стороны, пусть Ax = x для ненулевого вектора x. Тогда I^TIx=( + 2)x (в силу равенства (2)). Теперь рассмотрим квадрат длины вектора lx:

Следовательно,