- •Глава I
- •§ 1. Определение графа
- •§ 2. Подграфы
- •§ 3. Операции над графами
- •§ 4. Цепи, циклы, компоненты
- •§ 5. Степени вершин графа
- •§ 6. Матрицы, ассоциированные с графом
- •§ 7. Регулярные графы
- •§ 8. Метрические характеристики графа
- •§ 9. Критерий двудольности графа
- •§10. Реберный граф
- •§ 11. Группа автоморфизмов графа
- •§ 12. «Почти все» графы
- •Упражнения
§ 4. Цепи, циклы, компоненты
Чередующаяся последовательность
v1, e1, v2 , e2, ..., el, vl+1 (1)
вершин и ребер графа, такая что ei = vivi+1 (i = ), называется маршрутом, соединяющим вершины v1 и vl+1 (или (v1, vl+1)-маршрутом). Очевидно, что маршрут (1) можно задать последовательностью
v1, v2 , ..., vl+1 (2)
его вершин, а также последовательностью
e1, e2, ..., el ребер.
Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, крайних, различны. Маршрут (1) называется циклическим, если v1 = vl+1. Циклическая цепь называется циклом, а циклическая простая цепь — простым циклом. Число l ребер в маршруте (1) называется его длиной. Простой цикл длины l называется l-циклом, 3-цикл часто называют треугольником. Длина всякого цикла не менее трех, если речь идет о простом графе, поскольку в таком графе нет петель и кратных ребер. Минимальная из длин циклов графа называется его обхватом.
Очевидно, что любую цепь графа можно рассматривать как его подграф.
Пусть P — некоторая цепь вида (2) в графе G, vi и vj — входящие в нее вершины, i < j. Очевидно, что часть vi, vi+1, ..., vj цепи P, начинающаяся в вершине vi и заканчивающаяся в vj, сама является цепью графа G. Эта цепь называется (vi , vj)-подцепью цепи P.
Обратимся, например, к графу, изображенному нарис. 4.1. В нем (1, 2) и (1, 2, 4, 7) являются простыми цепями; (1, 2, 4, 7, 8, 4) — цепь, не являющаяся простой; (1, 2, 4, 7, 8, 4, 2)—маршрут, не являющийся цепью; (1, 2, 4, 1)—простой цикл. Обхват этого графа равен 3.
Для ориентированного графа вводится понятие ориентированного маршрута — это последовательность вида (1), в которой ei=(vi, vi+1). Аналогом цепи в этой ситуации служит путь (ориентированная цепь). Вершина v называется достижимой из вершины u, если существует (u, v)-путь. Поскольку при u v произвольный (u, v) – маршрут, не являющийся простой цепью, превращается в простую (u, v)-цепь после устранения «лишних кусков», то верно
Утверждение 4.1. При u v всякий (u, v)-маршрут содержит простую (u, v)-цепъ.
Аналогично получается
Утверждение 4.2. Всякий цикл содержит простой цикл.
Ниже окажутся полезными следующие утверждения 4.3 и 4.4.
Утверждение 4.3. Объединение двух несовпадающих простых (u, v)-цепей содержит простой цикл.
> Пусть P = (u1, . . ., uk) и q=(v1, . . ., vl)—несовпадающие простые цепи, u1 = v1 = u, uk = vl = v, u и v — первые, считая от u, из несовпадающих вершин этих цепей, u и v — первые из совпадающих вершин, следующих после u и v . Тогда >1 и объединение (u-1, u)-подцепи цепи P и (v-1, v)-подцепи цепи Q является простым циклом
u-1, u , ..., u , v-1 , ..., v , u-1
(рис. 4.2). <
Утверждение 4.4. Если C и D — два несовпадающих простых цикла, имеющих общее ребро e, то граф (CD) - e также содержит простой цикл.
> Если e = uv, то C - e и D - e — несовпадающие простые (u, v)-цепи. Поэтому нужное следует из предыдущего утверждения. <
Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Учитывая утверждение 4.1, можно в этом определении заменить маршрут цепью или простой цепью.
Очевидно следующее
Утверждение 4.5. Для связности графа необходимо и достаточно, чтобы в нем для какой-либо фиксированной вершины u и каждой другой вершины v существовал (u, v)-маршрут.
Всякий максимальный связный подграф графа G называется связной компонентой (или просто компонентой) графа G. Слово «максимальный» означает максимальный относительно включения, т. е. не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов. Множество вершин связной компоненты называется областью связности графа.
Теорема 4.6. Каждый граф представляется в виде дизъюнктного объединения своих связных компонент. Разложение графа на связные компоненты определено однозначно.
> Пусть G — произвольный граф. На множестве VG определим бинарное отношение ~, положив u ~ v для вершин u и v, если u = v или в графе G существует (u, v)-маршрут. Очевидно, что это отношение есть эквивалентность. Следовательно, мы получим разбиение множества VG на классы, отнеся в один класс все вершины, эквивалентные друг другу. Пусть VG = Vi - такое разбиение. Очевидно, что порожденные подграфы Gi = G(Vi) и только они являются компонентами графа G и G=Gi — дизъюнктное объединение. <
Полезно следующее
Утверждение 4.7. Для любого графа либо он сам, либо его дополнение является связным.
> Пусть G — несвязный граф, A — одна из его областей связности, B = VG\A. Тогда для любых a из A и b из B в дополнительном графе есть реброab. Следовательно, произвольная вершина из B соединена с a маршрутом длины 1, а произвольная вершина из A (отличная от a) соединена с a маршрутом длины не более чем 2. Теперь из утверждения 4.5 вытекает, что связен. <
С помощью предыдущего утверждения некоторые проблемы (например, проблема изоморфизма) сводятся к случаю связных графов.
Полезна также и следующая
Лемма 4.8. Пусть G — связный граф, eEG. Тогда:
1) если ребро e принадлежит какому-либо циклу графа G, то граф G — e связен;
2) если ребро e не входит ни в какой цикл, то граф G — e имеет ровно две компоненты.
> 1) Пусть ребро e = uv принадлежит циклу C графа G. Заменив в каждой (x, y)-цепи, содержащей e, подцепь (u, e, v) (и, v)-цепью C — e, получим (x, y)-маршрут, не содержащий ребра e. Следовательно, в графе G любые две несовпадающие вершины соединены маршрутом, не проходящим через e. Но тогда и граф G — e связен.
2) Пусть ребро e = uv не входит ни в какой цикл графа G. Тогда, очевидно, вершины u и v принадлежат разным компонентам, например, Gu и соответственно Gv, графа G — e. Для произвольной вершины xu в G существует (x, u)-маршрут. Если ребро e в этот маршрут не входит, xGu. В противном случае xGv. <
Ниже число ребер и число компонент графа G обозначаются через m(G) и k(G) соответственно.
Очевидно, что число ребер в произвольном графе порядка n не больше числа ребер в Kn, равного . Но сколько ребер может быть в графе порядка n с фиксированным числом k компонент? На этот вопрос отвечает следующая
Теорема 4.9. Если k(G) = k для n-вершинного графа G, то
n - k<=m(G)<=(n-k)(n-k + l)/2, (3)
причем обе эти оценки для m(G) достижимы.
> Вначале рассмотрим верхнюю оценку. Пусть G — граф порядка n с k компонентами и максимальным для таких графов числом ребер. Тогда каждая его компонента является полным графом. Пусть, далее, Kp и Kq — две компоненты, p >= q > 1, v — вершина из второй компоненты. Удалив из графа все ребра, инцидентные вершине v, и соединив v ребром с каждой вершиной из первой компоненты, получим новый граф порядка n с тем же числом компонент и большим числом ребер. Последнее невозможно, стало быть, только одна из компонент может иметь порядок, больший 1. Он равен n — k+1, и потому
Справедливость верхней оценки (3) и ее достижимость доказаны.
Перейдем к доказательству неравенства m(G) >= n — k. Оно очевидно при m(G)= 0, так как тогда k = п. Воспользуемся индукцией по m(G). Пусть m(G)>0 и пусть для графов с меньшим, чем m(G), числом ребер соответствующее неравенство верно. Рассмотрим граф G — e, где eEG. Согласно лемме 4.8 число компонент этого графа равно k или k + 1. Число ребер в нем равно m(G) — 1. По индуктивному предположению в обоих случаях m(G)-1 >= n — k — 1. Следовательно, m(G) >= n — k. Нужное неравенство доказано.
Дизъюнктное объединение G = Ok-1Kn-k+1 реализует равенство m (G)=n-k. <
Из первой части приведенного доказательства вытекает
Следствие 4.10. При фиксированных n и k<=n среди графов G порядка n с k(G)=k существует только один граф, а именно, G = Ok-1 Kn-k+1, с максимальным числом ребер.
Графы с минимальным числом ребер (при фиксированных n и k) изучаются в следующей главе.