Упражнения

1. Пусть G и H — два графа. Докажите, что если GH, то и HG.

2. Найдите все попарно неизоморфные графы пятого порядка.

3. Докажите, что три графа, изображенные па рис. 1.10, изоморфны, а графы на рис. 1.11 не изоморфны.

4. Найдите число помеченных (n, m)-графов.

5. Докажите, что если порядок самодополнительного графа равен n, то n = 0 (mod 4) или n = 1 (mod 4).

6. Докажите, что не все графы с тремя ребрами реберно реконструируемы.

7. Найдите самодополнительный граф с минимальным отличным от 1 числом вершин.

8. Докажите, что для любых натуральных чиселn, m и k, удовлетворяющих условиям

существует (n, m)-граф, имеющий ровно k компонент.

9. Докажите, что если число ребер графа порядка n > 2 больше, чем ,то он связен.

10. Докажите, что в связном графе любые две простые цепи максимальной длины имеют общую вершину.

11. Докажите, что не существует графа, степени всех вершин которого попарно различны.

12. Докажите, что если (G) >= (n — 1)/2, то граф G связен.

13. Нарисуйте все попарно неизоморфные кубические графы восьмого порядка.

14. Пусть G_n — граф, множество вершин которого совпадает с отрезком натурального ряда {1, 2, ..., n}, а множество ребер оп­ределяется следующим условием: несовпадающие вершины u и v смежны тогда, когда числа u и v взаимно просты.

а) Запишите матрицу смежности графа G₅.

б) Является ли граф G_n связным?

в) Докажите, что при т < n граф G_m является порожденным подграфом графа G_n.

15. Докажите, что элемент матрицы (A(G))^k, занимающий позицию (i, j), равен числу (i, j)-маршрутов длины k в графе G.

16. Постройте граф, центр которого:

а) состоит ровно из одной вершины;

б) состоит ровно из трех вершин и не совпадает с множеством всех вершин;

в) совпадает с множеством всех вершин.

15. Докажите, что два графа, изображенные на рис. 6.2, коспектральны.

16. Матрица называется вполне унимодулярной, если каждый ее минор равен 1, —1 или 0. Докажите, что матрицы инцидентности двудольного графа и ориентированного графа вполне унимодулярны.

19. Докажите, что диаметр графа не превосходит его удвоенного радиуса.

20. Приведите пример графа, диаметр и радиус которого равны.

21. Докажите, что (n, m)-граф связен, если в нем отсутст­вуют циклы нечетной длины и т > (n — 1)²/4.

22. Является ли граф, изображенный на рис.I.1, двудольным?

23. Найдите расстояниеd(u, v) в графе, изображенном на рис. I.2.

24. Докажите, что при n > 2 звезда К_1,n не является реберным графом.

25. Найдите группы автоморфизмов графа, изображенного на рис. 11.5, простой цепи P_n, простого цикла C_n и графа Петерсена. Докажите, что группа автоморфизмов графа Петерсена изоморфна симметрической группе S₅.

26. Найдите граф минимального порядка, отличного от 1, с тождественной группой автоморфизмов.

27. Докажите, что число помеченных графов, изоморфных некоторому графу G порядка n, равно n!/|AutG|.

28. Сколько помеченных графов порождают простая цепь P_n и простой цикл C_n?