§ 7. Регулярные графы

Граф называется регулярным (или однородным), если степени всех его вершин равны; степенью регулярного графа называется степень его вершин. Степень регулярного графа G обозначается через deg G.

Все полные графы регулярны. Графы платоновых тел также регулярны. Регулярным графом степени n является n-мерный куб Q_n.

Из леммы о рукопожатиях вытекает, что не существует регулярного графа, порядок и степень которого нечетны.

Утверждение 7.1. Пусть натуральные числа n и d, среди которых есть четное, удовлетворяют неравенствам 0<=d<=n-1. Тогда существует регулярный граф порядка n и степени d.

> Для d = 0 утверждение очевидно. Кроме того, если G — регулярный граф порядка n степени d, то дополнительный граф также регулярен и deg=n-1-d. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда 0 < d <= (n-1)/2.

ПустьZ_n — аддитивная группа классов целых чисел по модулю n, AZ_n, 0A и для xA класс –x также принадлежит множеству A. Определим граф G порядка n c множеством вершин Z_n следующим условием: вершины x и y смежны, если x — yA. Очевидно, что граф G регулярен и степень его равна |A|. Остается доказать, что для любого числа d, удовлетворяющего указанным выше условиям, существует подходящее d-элементное множество A. При d = 2k можно взять A = {±1, ±2, ..., ±k}, а при d= 2k+1 оказывается четным n, и можно взять A ={±1, ±2, ..., ±k, n/2} (см. рис. 7.1, где n = 8, d = 3). <

Утверждение 7.2. Если G = (X, Y, E)—непустой регулярный двудольный граф, то |X| = |Y|.

> Так как доле X принадлежит только один из концов каждого ребра графа G, то число m его ребер равно |Х| deg G. Аналогично m = |Y| deg G. Следовательно, |X| deg G = |Y| deg G. Поскольку deg G0, то |X|= |Y|.<

Иногда, хотя и редко, граф определяется степенями своих вершин. Например, только O_n является регулярным графом порядка n нулевой степени. Регулярный граф первой степени имеет четный порядок 2т и является дизъюнктным объединением m ребер. Этот граф обозначается символом тK₂. Все связные компоненты регулярного графа второй степени являются простыми циклами. Однако уже кубические графы, т. е. регулярные графы степени 3, устроены сложно и не определяются степенями своих вершин. Примером кубического графа является граф Петерсена (рис. 1.6). Отметим любопытное свойство спектра регулярного графа.

Теорема 7.3. Пусть G — регулярный граф степени d. Тогда:

1. число d является корнем характеристического полинома графа G;

2. если G — связный граф, то кратность корня d равна 1;

3. d>= || для любого корня  характеристического полинома графа G.

> 1) Пусть VG = {1, 2, ..., n}, A(G) = A — матрица смежности графа G, u—столбец высоты n, все элементы которого равны 1. Поскольку в каждой строке матрицы A ровно d единиц, то Au = du и, следовательно, u — собственный вектор, а d — собственное значение линейного оператора A. Но каждое собственное значение является корнем характеристического полинома. Тем самым доказано, что d — корень характеристического полинома графа G.

2) Для произвольного собственного вектора x = (x₁, x₂, . . ., x_n) с собственным значением d имеем

Ax = dx x0. (1)

Пусть x_j — координата вектора x с максимальным модулем, N_j = N(j) –окружение вершины j в графе G. Из равенства (1) для j-й координаты вектора Ax вытекает

и, далее,

(3)

Поскольку |N_j| = d, то из соотношений (2) и (3) следует, что x_i = x_j для всех i из N_j.. Для связного графа G теперь получаем, что все координаты вектора x равны между собой, т. е. размерность подпространства собственных векторов линейного оператора A, относящихся к собственному значению d, равна 1. Следовательно, и кратность корня d характеристического полинома матрицы A равна 1.

3) Пусть  — произвольный корень характеристического полинома матрицы A, x — соответствующий собственный вектор. Тогда Ах = х, и в тех же обозначениях, что и выше, имеем

откуда || <= d. <