Электроника и схемотехника (Ерёменко В.Т

Графическое изображение двухвходового дизъюнктора и его таблица истинности показаны на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Таблица истинности и УГО двухвходового элемента ИЛИ

Логические функции конъюнкции и дизъюнкции обладают свойством двойственности, которое заключается в том, что одна и та же функция в зависимости от способа кодирования уровней сигналов значениями 0 и 1 может выполнять функции либо И, либо ИЛИ. Сравнивая таблицы истинности этих функций, можно заметить, что таблица истинности для элемента И соответствует операции И для положительной логики (когда высокий уровень – «истинно» соответствует 1, а низкий – «ложно» соответствует 0). С другой стороны, эта же таблица выражает операцию ИЛИ для негативной логики (когда в качестве высокого уровня – «истинно» принят 0, а в качестве низкого уровня «ложно» принята 1). Чаще всего используется положительная логика, поэтому в дальнейшем рассматриваются функции для неё.

Для лучшего усвоения понятий конъюнкции, дизъюнкции и свойства двойственности на рис. 11.5 показаны электромеханические эквиваленты операций И и ИЛИ. Если за 1 принять наличие напряжения на резисторе, а за 0 – отсутствие напряжения (положительное кодирование), то схема на рис. 11.5, а реализует операцию ИЛИ, а схема на рис. 11.5, б – операцию И. Если за единицу принять отсутствие напряжения на резисторе, а за 0 – наличие напряжения (отрицательное кодирование), то схема на рис. 11.5, а реализует операцию И, а схема на рис. 11.5, б – операцию ИЛИ. Соответственно можно условиться, что при положительном кодировании разомкнутое положение ключа соответствует логическому

функций, т.е. функций, аргументы которых являются функциями других двоичных аргументов. Например, если Y = y(z1, z2),

ся в соответствие обратная или дополнительная к ней (инверсная) переменная, такая, что:

если Х = 0, то Х 1; если Х = 1, то Х 0.

Правила (законы), характеризующие операции дизъюнкцию (логическое сложение), конъюнкцию (логическое умножение), инверсию (логическое отрицание) приведены в табл. 11.1.

Для алгебры логики, как и для обыкновенной алгебры, действительны следующие законы:

–закон коммутативности (переместительный закон) для логического сложения и умножения: х + у = у + х; х ∙ у = у ∙ х;

–закон ассоциативности (сочетательный закон) для логического сложения и умножения: х + у + z = (х + у) + z = х + (у + z);

–закон дистрибутивности логического умножения по отношению к сложению (распределительный закон):

х(у + z) = ху + хz.

Следует предостеречь, что в булевой алгебре не действуют правила вычитания и деления обычной алгебры. Величины в алгебре логики не могут делиться, а потому в ней нельзя сокращать общий множитель. В булевой алгебре имеются специфические операции, отсутствующие в обычной алгебре, например, «склеивание», «поглощение».

1. Операция склеивания (правило склеивания):

(х у) (х у) х.

Второе выражение является двойственным первому. В алгебре Буля двойственные выражения получаются путем одновременной замены операций ИЛИ операциями И и наоборот – операций И на операции ИЛИ, а также заменой всех логических нулей единицами

ивсех единиц нулями.

2.Операция поглощения: х + ху = х; х(х + у) = х.

3.Операция (функция) неравнозначности (ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, обозначается знаками « », « » или « »): ху ху х у.

Логическая функция, называемая ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, в отличие от операции ИЛИ («х или у, или х и у оба вместе») означает: «только х или только у». Таблица истинности для двух функций показана на рис. 11.6.

При этом инверсия любой функции, записанной в ДНФ, дает запись в КНФ и наоборот. Например:

F x1 x2 x3 x1 x2 x3 ;

F x1 (x2 x3 ) (x1 x2 x3 ).

Это доказывается с помощью теоремы Шеннона, обобщившего законы де Моргана. Теорема утверждает, что инверсия любой функции получается заменой каждой переменной ее инверсией

иодновременно взаимной заменой символов сложения (дизъюнкции)

иумножения (конъюнкции).

При применении правила следует строго придерживаться группи-

ровки членов. Например: F x1 x2 x1 x2 x1 x2 – функция неравнозначности.

Определение инверсии по теореме Шеннона даёт функцию равно-

значности: F (x1 x2 ) (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 .

Логическую функцию, заданную любым аналитическим выражением, можно преобразовать к ДНФ и КНФ, пользуясь правилами алгебры логики, при этом может существовать несколько равносильных ДНФ и КНФ. Оказалось, что имеется только один вид ДНФ и КНФ, в которых функция может быть записана единственным образом: это так называемые совершенные нормальные формы – СДНФ и СКНФ.

В СДНФ каждое входящее слагаемое включает все переменные (они могут быть с инверсиями или без них) и нет одинаковых слагаемых. В СКНФ каждый сомножитель включает все переменные (они могут быть с инверсиями или без них) и нет одинаковых сомножителей.

Логическая функция наиболее наглядно и полно представляется так называемой таблицей соответствия или истинности, в которой для каждой комбинации значений переменных указывается значение функции. По сути это алгоритм работы синтезируемой цифровой системы. От табличной формы представления функции можно перейти к её аналитической записи в виде СДНФ или СКНФ. Например, функ-

Комбинации, при которых функция истинна (F = 1), называют конституентами единицы или минтермами (конституировать – устанавливать, определять состав, содержание). Представление логической функции в виде логической суммы минтермов определяет ее

СДНФ: F x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 .

Таблица 11.2

Таблица истинности функции F

Функцию можно представить не только ее единичными, но и нулевыми значениями, как инверсиями единицы. Из таблицы вид-

но, что F = 0 или F 1, если х1 х2 х3 1; х1 х2 х3 1; х1 х2 х3 1;

х1 х2 х3 1; х1 х3 х2 1.

Тогда функцию F можно представить в виде логической суммы:

F х1 х2 х3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x3 x2 .

Используя теорему Шеннона, получим произведение сумм переменных, для чего ещё раз инвертируем инверсию функции F:

F F (x1 x2 x3) (x1 x2 x3) (x1 x2 x3) (x1 x2 x3) (x1 x3 x2 ).

Каждый сомножитель в полученном выражении состоит из суммы тех переменных, для которых функция обращается в нуль в соответствии с таблицей истинности. Такие суммы называют конституентами нуля или макстермами. Произведение макстермов определяет СКНФ функции F.

11.4. Понятие о минимизации логических функций

Минимизация функции – это упрощение формы её записи с целью реализации с наименьшим числом элементов. Алгебра логи-

ки располагает приёмами, разработанными на основе её законов, позволяющими производить минимизацию достаточно просто. Если число переменных не превышает четырёх, удобен метод карт Карно. Карта Карно представляет собой графическое изображение значений всех возможных комбинаций переменных – это по сути наглядное представление всех минтермов заданного числа переменных, размещенных в клетках карты определенным образом. Для представления способов размещения минтермов изобразим карты Карно для двух, трёх и четырёх переменных и запишем в клетки соответствующие минтермы.

В карте минтермы расположены так, что минтермы соседних клеток отличаются значением только одной переменной. При этом соседними считаются также крайние клетки столбца или строки. Прямое значение переменной обозначается символом 1, инверсное – символом 0. Порядок чередования значений переменных в строках и столбцах: 00, 01, 11, 10 (как показано на рис. 11.7).

Рис. 11.7. Карты Карно для двух (х, у), трёх (z, x, y) и четырёх (z, v, x, y) переменных

в функцию, отмечают в клетках нулями или пустыми клетками. На основании дистрибутивного (распределительного) закона: (х + у) ×

×∙(х + z) = х +уz, а также логических соотношений х + 0 = х, х + 1 = 1, х х 1, х х 0 можно доказать, что группа из двух минтермов, находящихся в соседних клетках, может быть заменена одним логическим произведением, содержащим на одну переменную меньше. Если соседними являются две пары минтермов, то такая группа из четырех минтермов может быть заменена произведением, содержащим уже на две переменные меньше и т.д. В общем случае наличие 2n соседних минтермов позволяет заменить их произведениями, содержащими на n (n = 1, 2, 3) переменных меньше. В этом и состоит суть метода минимизации с применением карт Карно (карты Карно часто называют диаграммами Вейча) [46].

Рассмотрим процесс минимизации на примере функции четырёх переменных х, у, z, v, заданной следующим логическим выражением:

F yvz xyv yvz xyz .

Для представления функции F в виде логической суммы минтермов преобразуем её следующим образом: каждое слагаемое умножим на единичное значение, образованное логической суммой прямого и инверсного значения той переменной, которой недостаёт для полного набора в каждом слагаемом.

Fyvz(х х) xyv(z z) yvz(x x) xyz(v v)

xyvz xyvz xyvz xyvz xyvz xyvz xyvz xyvz.

Заменяя группы повторяющихся выражений одним соответствующим выражением, получим функцию в виде СДНФ:

F xyvz xyvz xyv z xyv z xy v z x yvz .

Анализ показывает, что функция четырёх переменных получена в виде суммы шести минтермов (в каждом слагаемом содержатся все переменные и нет одинаковых слагаемых). Для осуществления минимизации следует использовать карту Карно для четырёх переменных. Таким образом, в карте Карно из шестнадцати клеток функцию будут представлять минтермы, размещённые в шести клетках. Обозначая места размещения минтермов в клетках единицами, заполняем карту, как показано на рис. 11.8.

Выделяем группы соседних минтермов, учитывая, что крайние клетки столбцов и строк являются тоже соседними. На карте выделенные группы отмечены пунктирными контурами и цифрами мелкого шрифта. Первая группа: xyvz xyvz xyz . Вторая группа: xyvz xyvz yvz. Третья группа: xyvz xyvz yvz .