Как понимать квантовую механику

M

Аналогично (либо из ортогональности) получаем

√√

M

15.5.4. Сложение моментов 1 + 1

Суммарный момент пробегает значения 2, 1, 0. Состояния для моментов 2 и 0 четные,¨ а для момента 1 нечетные¨.

Процедура получения новых базисных состояний полностью стандарт-

ГЛАВА 16

Задача двух тел

Как и в классической теоретической механике, в квантовой механике ставится и решается задача двух тел. В этой задаче изучается движение двух точечных частиц, взаимодействие которых задается¨ потенциалом U (|r1 −r2|), зависящим только от расстояний между частицами |r1 −r2|. Соответствующий квантовый гамильтониан совпадает с классическим с точностью до шляпок:

или водородоподобном ионе (в нерелятивистском пределе, без учета¨ спинов частиц и их размеров).

Как мы увидим, задача двух тел в квантовой механике и в классической решается во многом аналогичными методами, поскольку обе задачи имеют практически одинаковые симметрии, а симметриям соответствуют законы сохранения, которые позволяют проводить разделение переменных как в классическом, так и в квантовом случае.

16.1. Законы сохранения

Перечислим законы сохранения, которые могут возникать в задаче двух

тел.

•Закон сохранения энергии выполняется, поскольку гамильтониан не зависит от времени.

•Закон сохранения суммарного импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при сдвиге системы как целого.

•Закон сохранения суммарного орбитального момента импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при повороте системы как целого.

Легко видеть, что для новых переменных выполняются канонические коммутационные соотношения:

[Rα, pˆβ ] = [ˆrα, Pβ ] = [Rα, rˆβ ] = [pˆα, Pβ ] = 0.

Также легко проверить, что замена (r1, r2, p1, p2) → (r, R, p, P) сохраняет объем¨ в координатном и импульсном пространстве. Покажем это для x-компонент:

Это позволяет записывать волновые функции в новых переменных, не думая об элементах объема,¨ просто подставляя в старые волновые функции выражения старых переменных через новые.

В новых переменных гамильтониан (16.1) переписывается так (проверку, полностью аналогичную классическому случаю, предоставляем читателю):

ˆ

Гамильтониан распался на два члена, один из которых H0 действует

ˆ

только на движение центра масс, а другой H1 — только на относительное движение частиц. Таким образом, мы представили систему из двух взаимодействующих частиц как объединение двух невзаимодействующих подсистем: движение центра масс и относительное движение частиц.

Это позволяет провести разделение переменных. Если в начальный момент времени волновая функция может быть записана в виде

ψ(r1, r2) = ψ(r, R) = ψ1(r) · ψ0(R),

то поскольку каждый член гамильтониана действует только на свой множитель

ˆ

H

Далее нам удобно перейти к сферическим координатам, потому что в них повороты влияют только на углы θ и ϕ, оставляя радиальную коор-

ˆ

динату r неизменной и позволяя разделить переменные. Гамильтониан H1 в координатном представлении имеет вид

Лапласиан в произвольных криволинейных координатах имеет вид

где gab — обратный метрический тензор (метрический тензор удобно выражается через элемент длины dl):

а |g|d3x — инвариантный элемент объема,¨ который выражается через определитель метрического тензора:

g = det(gab).

Метрический тензор для сферических координат мы уже вводили ранее (15.5). Лапласиан в сферических координатах удобно записывается че-

ˆ2

рез оператор l :

В гамильтониане из кинетической энергии выделяется центробежный член,

центробеж. энерг.

ˆ

Будет ли Yl также собственной функцией оператора lz нам пока (пока не нарушается сферическая симметрия) совершенно не важно, но желающие могут заменить Yl на Ylm, потребовав

Тут важно только число линейно независимых функций Yl при фиксированном l. В качестве таких линейно независимых функций могут быть выбраны, например Ylm, которых имеется (поскольку m = l, l − 1, . . . , 0, . . . , −l) 2l + 1 штука.

Из стационарного уравнения Шредингера¨ сокращаем Yl, получаем

ˆ

Выражение в квадратных скобках отличается от гамильтониана H1 только

ˆ2

тем, что оператор l заменился на собственное число l(l + 1).

(ф) Мы видим, что происходящий от угловой части кинетической энер-

То же самое мы имели и в классике, при рассмотрении задачи движения частицы в центральном потенциале.

чается от обычной кинетической энергии при одномерном движении. Это связано с тем, что волна, распространяющаяся по r, — это не плоская волна, а сферическая. Решение обычного одномерного уравнения Шредингера¨

при нулевом потенциале дает¨ плоскую волну, амплитуда которой постоянна, а решение радиального уравнения Шредингера¨ должно давать сферическую волну, квадрат амплитуды которой (плотность вероятности) спадает как r12 , а амплитуда как 1r .

Попробуем ввести другую параметризацию волновой функции:

Вероятность dP попадания в заданные интервалы dr, dθ, dϕ:

При переписывании dP через φ(r) исчезает вес r2, и интегрирование по r идет¨ точно так же как по обычной декартовой координате, если движение ограничено положительной полуосью.

Теперь действие радиальной части лапласиана упрощается:

ное стационарное одномерное уравнение Шредингера¨ для волновой функции φ:

;

литель как среднее значение оператора квадрата размерного момента импульса, чтобы продемонстрировать, что центробежная энергия с точностью до шляпок совпадает с классическим случаем.

Получившаяся одномерная задача отличается от стандартной тем, что координата r определена на положительной полуоси 0 r < ∞, причем¨ из непрерывности R = φr следует граничное условие на φ, которое можно трактовать как наличие в нуле бесконечновысокой стенки

φ(0) = 0. (16.6)

16.3.1. Асимптотика r → 0

Исследуем асимптотику радиального уравнения Шредингера¨ (16.5)

Главный член при r → 0 в квадратных скобках зависит от того, как ведет¨ себя при в этом пределе потенциальная энергия U (r).

Предположим, что при r → 0 потенциал U (r) ограничен, либо растет¨ не слишком быстро:

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения, которые легко подбираются в виде степенных функций от r:

rl+1, 1 . rl

Граничному условию φ(0) = 0 удовлетворяет только первое решение, так что для не слишком быстро растущего в нуле потенциала получаем асимптотику

φ(r) rl+1, r → 0 ψ1(r, θ, ϕ) rl Yl(θ, ϕ), r → 0. (16.8)

Если потенциал содержит член, пропорциональный r12 , то его надо будет учитывать наравне с центробежным потенциалом и в результате асимптотика (16.8) собьется:¨ изменится степень и вместо rl получится rl , где l — некоторый «эффективный момент» (как правило, дробный).