Как понимать квантовую механику
.pdf12.5. СИММЕТРИИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА |
343 |
числом, таким образом, удалось существенно сократить выкладки: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
− 1 |
− |
( |
|
n aˆ†aˆ†)(ˆaaˆ n |
) |
− |
n2 + n(n + 1) +(n + 1)n |
(n + 1)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
aˆaψˆ |
n |
aˆaψˆ |
|
|
|
|
|
|
+n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
− |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n aˆaˆ)(ˆa†aˆ† |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
( |
|
n |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aˆ†aˆ†ψn|aˆ†aˆ†ψn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Осталось вычислить |
скалярные квадраты двух волновых функций: |
aˆaˆ n |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
√ √ √ √
= n − 1 n|n − 2 , aˆ†aˆ†|n = n + 2 n + 1|n + 2 . Таким образом, получаем ответ
=14 (+(n − 1)n + 1 + (n + 2)(n + 1)) = 41 (2n2 + 2n + 3).
12.5.Симметрии гармонического осциллятора
12.5.1. Зеркальная симметрия
На первый взгляд мы видим у гармонического осциллятора одну сим-
ˆ
метрию — зеркальную, описываемую оператором инверсии координаты I. Как мы уже обсуждали выше, это означает, что мы можем выбрать собственные функции оператора Гамильтона так, чтобы они одновременно бы-
ˆ |
или нечетными.¨ |
По- |
ли собственными функциями оператора I, т. е. четными¨ |
скольку у гармонического осциллятора нет вырождения четных¨ и нечетных¨ состояний (да и вообще спектр невырожденный), все собственные состояния оказываются либо четными,¨ либо нечетными¨. Основное состоя-
1 |
|
∂ |
||||
ние ψ0 (12.31), очевидно, четно¨. Повышающий оператор aˆ† = |
√ |
|
(Q − |
|
) |
|
∂Q |
||||||
2 |
меняет четность¨ состояния, т. е. превращает четную¨ функцию в нечетную¨ и наоборот. Таким образом, четность¨ собственных состояний осциллятора чередуется, т. е. соответствует четности¨ номера уровня:
ˆ |
n |
ψn. |
Iψn = (−1) |
|
12.5.2.Фурье-симметрия и переход от координатного представления к импульсному и обратно**
Гамильтониан для гармонического осциллятора в обезразмеренных пе-
ˆ 1 ˆ2 ˆ2
ременных H = 2 ¯hω(Q +P ) выглядит симметрично относительно замены координаты на импульс, а импульса на ±координату.
12.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАЙЗЕНБЕРГА ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА |
347 |
12.5.3. Вращение фазовой плоскости
Описанная выше Фурье-симметрия гармонического осциллятора соответствует повороту фазовой плоскости по часовой стрелке на угол π2 . Рис. 12.1 наводит на мысль, что гармонический осциллятор должен допускать более широкую симметрию, относительно поворотов фазовой плоскости на произвольный угол α. И этой симметрии также должен соответствовать какой-то закон сохранения, позволяющий еще¨ более детально, чем Фурье-симметрия, различать между собой уровни энергии осциллятора.
Однако в данном случае нас ждет¨ разочарование: эта симметрия опи-
ˆ
сывается оператором эволюции U α , а соответствующий закон сохране-
ω
ния — закон сохранения энергии. Это легко увидеть, рассмотрев гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга, чему и посвящен¨ следующий раздел.
12.6. Представление Гайзенберга для осциллятора
12.6.1. Интегрирование уравнения Гайзенберга
Рассмотрим теперь, как выглядит временная эволюция гармонического осциллятора в представлении Гайзенберга. Для оператора aˆ, согласно (5.20), мы можем написать полную производную по времени
daˆ |
|
i |
ˆ |
|
dt |
= |
¯h |
[H, aˆ] = −iωaˆ. |
(12.37) |
Для представления Гайзенберга полная производная по времени описывает просто, как оператор изменяется со временем и мы получаем дифференциальное уравнение, и начальные условия (шредингеровские¨ операторы совпадают с гайзенберговскими в нулевой момент времени)
&
daˆг |
= −iωaˆг, |
|
aˆг(t) = e−iωt aˆш. |
(12.38) |
dt |
|
|||
|
|
|
|
aˆг(0) = aˆш
Полученный результат выглядит точно так же, как классическая эволюция гармонического осциллятора, изображенная¨ на рис. 12.1, с заменой координаты и импульса на операторы.
Через aˆг(t) мы можем выразить гайзенберговские операторы координаты и импульса и получить для них «с точностью до шляпок» классические
348 ГЛАВА 12
формулы эволюции гармонического осциллятора: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Qˆ |
|
aˆг(t) + aˆ†(t) |
= √2 e− |
|
aˆш+e aˆш† |
= |
|
|
|||||||||||||
г(t) = |
√2 |
г |
|
|
|
iωt |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
iωt |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √2 |
e− |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
+ e |
|
ˆ |
√−2 |
ˆ |
= |
||||||||
|
iωt |
|
|
|
√2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
Qш + iPш |
|
iωt Qш |
iPш |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos(ωt) Qш |
+ sin(ωt) Pш. |
|
|
|
|
|
|
Формулу для импульса мы можем получить аналогично через aˆг и aˆ†г , а можем просто продифференцировать координату по обезразмеренному времени ωt:
|
1 |
|
ˆ |
|
i |
|
|
|
ˆ |
|
dQг |
|
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
||
Pг(t) = |
ω |
|
dt |
= |
¯hω |
[H, Qг] = − sin(ωt) Qш + cos(ωt) Pш. |
Таким образом, точно так же как в классике
ˆ |
ˆ |
ˆ |
Qг(t) = cos(ωt) Qг(0) + sin(ωt) Pг(0), |
||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
Pг(t) = − sin(ωt) Qг(0) + cos(ωt) Pг(0).
Если теперь усреднить эти уравнения по произвольной волновой функции (напомним, гайзенберговские волновые функции не зависят от времени), то средние значения (т. е. уже не операторы, а числа) будут колебаться совершенно классическим образом:
Qг(t) = cos(ωt) Qг(0) + sin(ωt) Pг(0) , |
|
Pг(t) = − sin(ωt) Qг(0) + cos(ωt) Pг(0) . |
(12.39) |
12.6.2. Роль эквидистантности уровней*
Посмотрим на представление Гайзенберга с несколько иной точки зрения и попытаемся понять с чем связано, что гайзенберговская эволюция описывается одной частотой ω.
Как мы знаем, матричный элемент не зависит от представления, в частности
| ˆ | | ˆ |
φш Aш ψш t = φг Aг ψг t.
Для понижающего оператора все отличные от нуля матричные элементы имеют вид n − 1|aˆ|n . Стационарные шредингеровские¨ состояния эволю-
352 |
ГЛАВА 12 |
Функция f задается¨ с помощью формального степенного ряда:
f (x) = ∞ √cn xn.
n=0 n!
Мы можем считать, что функция f (x) является иным представлением волновой функции |ψ . Вопрос о сходимости ряда, который задает¨ функцию f (x) при тех или иных значениях аргумента, не имеет физического смысла и нас не интересует. Единственная сходимость, которую следует требовать для f (x), — сходимость квадрата нормы волновой функции:
ψ 2 = ∞ |cn|2 = ∞ 1 dnf (0) 2 . n! dxn
n=0 n=0
Производная здесь понимается как формальная производная ряда. Оператор aˆ† действует на волновую функцию, представленную как f (x)
путем¨ умножения на x, а оператор aˆ действует как ∂x∂ .8
Таким образом, уравнение для когерентного состояния гармонического осциллятора (12.40) переписывается следующим образом:9
aˆ|ψz = z|ψz |
|
|
df |
= zf. |
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
||||||
Решая это уравнение, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = c · ezx |
|ψz = c · ezaˆ† |0 . |
|
|
|||||||
zaˆ† |
|
|
zn |
n |
|
|
zn |
|||
|
∞ |
|
∞ |
|||||||
|ψz = c · e |
|0 = c |
|
n! (ˆa†) |
|0 = c |
√ |
|
|n . |
|||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
n=0 |
|
n! |
|
|
|
∞ |
(z z)n |
|
|
|
2 |
|
|
|
ψz = |c|2 |
|
|
= |c|2 e|z| . |
|
|
|
||||
n=0 |
n! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь мы можем написать нормированное на единицу когерентное состояние:
|
|
− |
|z|2 |
zaˆ† |
|0 . |
|
(12.41) |
||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|ψz = e |
· e |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
8 |
Проверьте это. Предварительно выведите, |
используя (12.8), следующую формулу: |
|||||||
[ˆa, (ˆa†)n] = n(ˆa†)n−1. Мы можем также символически написать aˆ = |
∂ |
. Для сравнения |
|||||||
∂aˆ† |
|||||||||
см. также раздел 13.2.4 «Производная по операторному аргументу». |
|
||||||||
|
|
||||||||
9 |
Мы также получаем еще¨ одно доказательство отсутствия ненулевых состояний, удовлет- |
воряющих уравнению aˆ†|ψ = z|ψ , которое переписывается в виде x f (x) = z f (x).