Как понимать квантовую механику
.pdf334 |
ГЛАВА 12 |
• |
ˆ |
Все ли собственные состояния оператора N будут получены из |ψ0i |
|
|
с помощью повышающего оператора aˆ†? Все (см. объяснения ниже). |
|
ˆ |
|
– Могут ли быть у оператора N нецелые собственные числа? Нет. |
Пусть |ψn — собственное состояние, отвечающее произвольному числу n, начнем¨ действовать на него раз за разом понижающим
оператором. Рано или поздно (как мы уже упоминали) мы получим (12.16), что aˆk|ψn = ,0но aˆk+1|ψn = 0, это означает, что
состояние aˆ |
k |
ˆ |
|
|ψn — собственное для оператора N , с собственным |
числом 0 = n − k, т. е. n = k — целое неотрицательное число.
ˆ
– Могут ли быть у оператора N собственные состояния, которые не получаются из |ψ0i с помощью повышающего оператора?
Нет. Начнем¨ |
ˆ |
строить собственные состояния оператора N в виде |
|ψni = cn (ˆa†)n|ψ0i . Предположим, что |φn — собственное состояние, линейно независимое от |ψni и отвечающее собственному числу n . При этом n > 0, т. к. иначе |φn — просто еще¨ одно состояние из набора {|ψ0i }i. Выберем минимальное значение n .
|
|
| |
|
1 |
|
оператором aˆ, получаем собственное сос- |
||||||||||||||
Подействовав на |
φn |
|
||||||||||||||||||
тояние |φn −1 = |
|
|
· aˆ|φn (где aˆ|φn = ,0т. к. n > 0). Мы |
|||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||
видим, что aˆ† |
φ |
|
|
|
|
= |
1 |
|
aˆ†aˆ φ |
= |
1 |
|
Nˆ |
φ |
|
= φ |
|
. То |
||
n −1 |
n · |
n · |
n |
n |
||||||||||||||||
| |
|
|
|
| n |
|
| |
|
| |
|
есть состояние |φn получается из состояния |φn −1 с помощью
оператора aˆ†. Если |φn −1 линейно независимо от |ψ(n −1)i , то выбранное нами n не минимально, а если зависимо, то |φn
представимо через |ψn i .
• Сколько может быть линейно независимых состояний |ψni , отвечаю-
ˆ
щих произвольному собственному числу n оператора N ? (То есть как зависит от n кратность вырождения?) Ровно столько же, сколько для n = 0 (см. первый вопрос), т. е. для всех n непременно поровну. Пусть n > 0. Состояния aˆ|ψni ненулевые (т. к. n > 0) и линейно
независимые (т. к. если они линейно зависимы, т. е. |
|
i ciaˆ|ψni = 0, |
||||||
то |
0 = aˆ†0 = aˆ† |
i |
c aˆ ψ |
= |
i ciaˆ†aˆ|ψni = i |
c n ψ |
, т. е. ли- |
|
|
i | ni |
|
i |
| ni |
|
нейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вы- |
||
|
|
|
рождения не может увеличиваться с ростом n. Аналогично для любого целого неотрицательного n состояния aˆ†|ψni ненулевые и линейно независимые (т. к. если они линейно зависимы, т. е. i ciaˆ†|ψni = 0,
то |
0 = aˆ0 = aˆ i ciaˆ†|ψni = |
i |
c |
aˆaˆ |
†| |
ψ |
= |
(n |
+ 1)|ψni |
, т. е. |
|
i |
|
ni |
|
i ci |
|
линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вы- |
||
|
|
|
рождения не может уменьшаться с ростом n.
12.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ |
335 |
12.2.2. Базис собственных функций
Пусть кратность вырождения равна единице, тогда собственные функ-
ˆ
ции оператора N нумеруются одним числом n. Эти собственные функции, будучи собственными функциями эрмитова оператора, образуют базис, для элементов которого удобно ввести следующие обозначения:
|ψn = |n . |
(12.19) |
Базис является ортогональным, т. к. собственные векторы, отвечающие разным собственным числам, ортогональны. Базисные векторы отнормируем на единицу (поскольку спектр дискретный, это возможно), таким образом
k|n = δkn. |
(12.20) |
Под действием понижающего оператора базисные векторы ведут себя следующим образом:
aˆ|0 = 0, |
(12.21) |
aˆ|n = cn|n − 1 , cn C, |
n > 0. |
Что мы можем сказать о константах cn? Сопрягая последнее уравнение и умножая исходное уравнение слева на сопряженное,¨ получаем:
n|aˆ† = n − 1|cn, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n|aˆ†aˆ|n = n − 1|cncn|n − 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n|aˆ†aˆ|n = n|Nˆ |n = n|n|n = n n|n = n, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
− |
1 c c |
n |
1 |
|
= c c |
n |
n |
− |
1 n |
1 |
|
= c c |
n |
= c |
2. |
||
|
| n |
n| − |
|
n |
|
| − |
|
|
|
n |
| |
n| |
|||||||
|
|
|
|cn|2 = n |
|
|
|
|
cn = eiϕn √ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n. |
|
|
|
Таким образом, используя ортонормированность базиса, мы вычислили cn с точностью до фазовых множителей. Вычислить эти фазовые множители невозможно. Это связано с тем, что условие ортонормируемости зафиксировало наш базис только с точностью до умножения базисных векторов на произвольные различные фазовые множители:
|n = eiφn |n ,
cn = ei(φn−φn−1)cn.
Не имея возможности вычислить фазовые множители для cn, мы имеем возможность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все cn вещественными неотрицательными числами. Это зафиксирует большую часть
12.3. ПЕРЕХОД К КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ |
337 |
Целое число n можно трактовать как число фиксированных квантов энергии ¯hω, сообщенных¨ осциллятору сверх энергии нулевых колебаний 12 ¯hω. По этой причине n называют числом заполнения, а разложение волновой функции по базису {|n }∞n=0 — представлением чисел заполнения.
12.3. Переход к координатному представлению
До сих пор мы не установили кратность вырождения уровней для гармонического осциллятора. Кроме того, выбрав стационарные состояния в качестве базисных, мы ничего не сказали про их вид в координатном представлении. Впрочем, можно просто постулировать нужную кратность вырождения, а все вычисления проводить в представлении чисел заполнения.
В координатном представлении
xˆ = x, |
|
pˆ = −i¯h |
∂ |
ψ(x) = x|ψ . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
∂x |
|
|
|
|
||||||||||||
Переходя к обезразмеренным операторам получаем: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Qˆ = Q, Pˆ = i¯h |
∂ |
|
1 |
= i |
∂ |
, ψ(Q) = |
Q ψ |
= √ |
|
|
ψ(x) |
|x=Q·x0 |
. |
|||
|
x |
|
||||||||||||||
∂(Qx0) p0 |
|
|
||||||||||||||
− |
− |
∂Q |
|
| |
|
|
0 |
|
|
√ (12.28)
Корень x0 возникает как нормировочный множитель, чтобы обеспечить нормировку на единицу для волновой функции, как функции Q:
|ψ(Q)|2dQ = |ψ(x = Q · x0)|2 d(x0Q) = |ψ(x)|2dx = 1.
В координатном представлении лестничные операторы принимают вид дифференциальных операторов:
Q + |
∂ |
|
|
|
Q − |
∂ |
|
|
|
|||||
∂Q |
∂Q |
|
||||||||||||
aˆ = |
|
|
|
, |
aˆ† = |
|
|
|
. |
(12.29) |
||||
√ |
|
|
√ |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Если теперь записать уравнение (12.21), то оно превратится в дифференциальное уравнение
|
Q + |
|
∂ |
|
|
|
|
aˆ|0 = 0 |
|
∂Q |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ψ0(Q) = 0. |
(12.30) |
|
√ |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
338 |
ГЛАВА 12 |
Мы получили обыкновенное (поскольку у нас одна независимая переменная Q, «круглые» дифференциалы можно заменить на «прямые»), линейное, однородное дифференциальное уравнение первого порядка, а значит, решение этого уравнения единственно с точностью до постоянного множителя (нормировочной константы). Это уравнение с разделяющимися переменными, так что оно без труда решается явно:
Qψ0 + |
dψ0 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dψ0 |
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
e− |
Q2 |
|
||
|
= Q dQ |
|
ln ψ = |
|
+ const |
|
ψ |
|
= const |
|
2 . |
|||||||||
|
ψ0 |
|
− |
2 |
|
|
· |
|||||||||||||
|
− |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–4 |
–2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12.2. Основное состояние гармонического осциллятора и его квадрат: ψ0(Q) и |ψ0(Q)|2. Две вертикальные черты обозначают границы классически разрешенной¨ области.
С точностью до фазы множитель определяется из условия нормировки. Если выбрать фазу так, чтобы функция ψ0(Q) была вещественной и положительной, то
|
1 |
|
− |
Q2 |
|
|
|
ψ0(Q) = |
· e |
2 |
. |
(12.31) |
|||
√4 |
|
|
|
||||
π |
|
|
Основное состояние единственно, с точностью до множителя, т. е. кратность вырождения — единица.
Мы можем получить и другие кратности вырождения, если добавим волновой функции дополнительные аргументы, например, рассмотрим
340 ГЛАВА 12
вышающий оператор оказывается дифференциальным оператором, в соответствии с формулой (12.29):
(ˆa†)n
|
|
|
|
|
|
|
ψn(Q) = |
|
|
|
|
|
ψ0(Q) = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Q − |
∂ |
n |
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
∂Q |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
= |
√n! |
√2 |
|
|
|
√4 π |
· e− 2 = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
n Q2 |
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e− 2 . |
|||||||||||||
= (√π2 |
n!)− |
|
Q |
− |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|||||||||||||||||||
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
∂ |
e− |
|
= −Q e− |
|
, из предыдущей формулы легко ви- |
||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
∂Q |
||||||||||||||
деть, что волновая функция n-го возбужденного¨ состояния имеет вид |
||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
− |
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n!)− |
1/2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ψn(Q) = ( π2 |
|
|
Hn(Q) e |
|
где Hn(Q) — полином степени n, который называется полиномом Чебыш¨ева – Эрмита.
Обратите внимание, что как дифференцирование по Q, так и умножение на Q меняют четность¨ волновой функции, таким образом, под действием операторов aˆ и aˆ† четные¨ волновые функции превращаются в нечетные¨ и наоборот. Поскольку ψ0(Q) — четная¨ функция, четности¨ ψn(Q) и полинома Эрмита Hn(Q) соответствуют четности¨ n.
Приведем¨ первые 6 полиномов Эрмита: |
|
|
||||
H0 = 1, H1 = 2Q, H2 = 4Q2 − 2, |
H3 = 8Q3 − 12Q, |
|||||
H4 = 16Q4 − 48Q2 + 12, |
H5 = 32Q5 − 160Q3 + 120Q. |
|||||
Мы можем записать формулу для n-го полинома в виде |
||||||
|
Q2 |
|
|
n |
Q2 |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Hn(Q) = e 2 |
Q − |
|
e− 2 . |
|||
∂Q |
Данную формулу легко упростить, вставив перед скобками выражение
Q2 |
e− |
Q2 |
и «пронеся» e− |
Q2 |
e 2 |
2 |
2 направо через все производные с помощью |
12.3. ПЕРЕХОД К КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ |
341 |
0.6
0.4
0.2
|
|
0 |
|
|
–4 |
–2 |
0 |
2 |
4 |
–0.2 Q
–0.4
–0.6
Рис. 12.5. Третье возбужденное¨ состояние: ψ3(Q) и |ψ3(Q)|2.
очевидной формулы:
|
Q2 |
|
∂ |
|
|
∂ |
|
Q2 |
|
|
e− 2 |
Q − |
F (Q) = |
− |
e− 2 F (Q). |
||||||
∂Q |
∂Q |
В результате получаем стандартную «формулу из учебника»:
|
|
Q2 |
|
∂ |
|
n |
Q2 |
|
|
|
− |
e− |
|
||||
|
Hn(Q) = e |
∂Q |
. |
|
||||
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
–10 |
–5 |
0 0 |
|
|
|
5 |
10 |
|
|
|
–0.2 |
Q |
|
|
|
|
|
Рис. 12.6. 50-е возбужденное¨ состояние |
гармонического |
осциллятора: ψ50(Q) |
||||||
и |ψ50(Q)|2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
342 |
ГЛАВА 12 |
12.4.Пример расчетов¨ в представлении чисел заполнения*
Пусть, например, нам надо посчитать среднее от какого-либо операто-
ˆ ˆ2 |
ˆ |
|
|
|
|
|
ра, скажем, QP |
Q в состоянии |n . Можно, конечно, найти волновую функ- |
|||||
|
ˆ ˆ2 |
ˆ |
|
2 |
Qψn dQ, од- |
|
цию ψn(Q) и взять интеграл n|QP |
|
Q|n = |
|
ψnQ(−i∂/∂Q) |
||
нако проще провести вычисления в |
представлении чисел заполнения. |
|||||
|
|
5 |
|
|
Мы знаем, как на собственные функции осциллятора действуют лестничные операторы, поэтому выразим через них операторы координаты
и импульса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Qˆ = |
aˆ + aˆ† |
, |
|
Pˆ = |
aˆ − aˆ† |
. |
|
|
(12.32) |
||||||||||
√ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Теперь мы можем написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n|QPˆ ˆ2Qˆ|n = n|aˆ √2 |
† |
i−√2 † |
2 |
|
√2 |
† |
|n = |
||||||||||||
|
|
|
+ aˆ |
aˆ aˆ |
|
|
aˆ + aˆ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее остается¨ раскрыть скобки (не забывая, что aˆ и aˆ† не коммутируют!), применить формулы для действия лестничных операторов на базисные состояния (12.22), (12.25) и ортонормированность базисных состояний (12.20).
Впрочем, мы можем облегчить работу, выписывая при открытии скобок только те члены, которые содержат равное число операторов aˆ и aˆ†, поскольку каждый такой оператор опускает (поднимает) состояние на одну ступеньку, а состояния ортонормированы, а значит нам интересны только члены, не меняющие номер состояния. Таким образом, продолжаем предыдущее равенство
= |
|
1 |
|
|
n |
|
|
aˆ†aˆ†aˆaˆ |
− |
aˆ†aˆ aˆ†aˆ + aˆ†aˆ aˆaˆ† + |
|||||||
|
− |
4 |
| − |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
||||||
|
+ aˆaˆ† |
|
† |
|
aˆaˆ† |
|
† |
† † |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
N |
|
N |
N |
(N +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
aˆ aˆ |
|
|
aˆaˆ |
|
− |
|
| |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
||
|
|
(N+1) |
N |
|
(N +1) (N +1) |
|
|
|
Мы просто выписали все 6 возможных способов поставить два креста на 4 оператора. При этом каждый крест над вторым или третьим оператором
ˆ
(которые происходят от оператора P ) давали знак минус.
Мы сразу выделили действующие на состояние |n комбинации опера-
ˆ
торов, которые дают оператор номера уровня N . Поскольку оператор действует на свое¨ собственное состояние, его можно заменить собственным