Как понимать квантовую механику
.pdf10.6. ЛОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ |
303 |
которое также имеет 2l состояний и может быть записано как множество состояний l битов.
Обратимая логическая операция может быть изображена графически (рис. 10.1) в виде обратимого логического вентиля: блока, имеющего равное число входов (однобитных аргументов) и выходов (битов для записи значения функции). Такая картинка полностью аналогична графическому представлению квантового оператора, действующего на сложную систему (см. 4.4.4 «Сравнение разных обозначений*»), и, действительно, действие такого вентиля на квантовую систему соответствует действию соответствующего унитарного оператора.
Доказано, что любое классическое вычисление может быть сделано обратимым. При этом достаточно применить конечное число разновидностей обратимых логических вентилей, например, достаточно одного универсального вентиля «управляемое не»:
00 → 00
01 → 01
«управляемое не»: 10 → 11 .
11 → 10
В операции «управляемое не» первый бит определяет применять ли операцию «не» ко второму биту, сам первый бит передается¨ со входа на выход без изменений.
Обратимые вентили типа «управляемое не» могут быть реализованы в виде классических, или квантовых устройств. Однако такой вентиль переводит базисное состояние (в котором состояние всех битов задается¨ как 0 или 1 и биты не зависят друг от друга) снова в базисные состояния.
То есть в процессе таких вычислений (вычислений в базисных состояниях) нигде не появляются квантовые суперпозиции и квантовая запутанность. Единственное преимущество квантовой реализации таких вычислений — теоретическая возможность вычисления без генерации энтропии, т. е. без диссипации энергии. Генерация энтропии и нагрев будут обязательно происходить только при необратимой очистке памяти и приготовлении исходного состояния компьютера.
10.6.5. Вентили сугубо квантовые
Чтобы построить универсальный квантовый в смысле приведенного¨ выше определения необходимо дополнить описанный выше вентиль «управляемое не» несколькими сугубо квантовыми вентилями. Обычно берут
10.6. ЛОГИКА И ВЫЧИСЛЕНИЯ |
305 |
Если квантовые вентили реализуются не идеально точно, реальное состояние может чуть-чуть отличаться от желаемого, и мы можем вместо 0 обнаружить 1. Это будет означать ошибку квантового компьютера. Если мы в самом деле обнаружим 0, то «неправильная» часть волновой функции системы обнулится и мы, убедившись что ошибки пока нет, увеличим вероятность успешного завершения вычисления. По существу, это разновидность квантового эффекта Зенона.
ГЛАВА 11
Симметрии-1 (теорема Нетер)¨
Наиболее естественно строить квантовую механику, основываясь, понятии симметрии. Выше (5.1 «Квантовая механика замкнутой системы») временная эволюция была описана как преобразование симметрии, порожденное¨ оператором энергии (гамильтонианом). Следуя за классической теоретической механикой, в которой теорема Эммы Нетер¨ устанавливает связь между симметриями и законами сохранения, мы должны ожидать, что и другим преобразованиям симметрии будут соответствовать свои сохраняющиеся величины, причем¨ сдвигу по координате должен соответствовать импульс.
Рис. 11.1. Эмма Нетер¨ Как мы увидим далее, квантовая теорема Нетер¨ (1882–1935). W даже проще классической. Мы воспользуемся ей, чтобы ввести в квантовую механику ряд наблюдаемых, как имеющих классические аналоги (импульс, момент импульса), так
и не имеющих (четность,¨ квазиимпульс).
11.1. Что такое симметрия в квантовой механике
Симметрия физической системы — это некоторое преобразование, которое переводит одни решения уравнений эволюции в другие решения того же уравнения1. В частности стационарные состояния должны переходить в стационарные с той же энергией2. Стационарные состояния образуют ба-
1Рассматривавшийся выше сдвиг нулевого уровня энергии (5.13) не подпадает под данное
|
ˆ |
→ |
ψ(t)e− |
iE0t |
переводит решения уравнения |
|
определение, поскольку преобразование ψ(t) |
|
h¯ |
||||
Шредингера¨ |
с гамильтонианом H в решения другого уравнения Шредингера,¨ |
с гамильтониа- |
||||
ном Hˆ = Hˆ + E01ˆ. |
|
|
|
|
|
2Если симметрия не зависит от времени. В данном разделе мы ограничимся этим случаем, хотя возможны и иные случаи, например, переход от одной инерциальной системы отсчета¨
308 |
ГЛАВА 11 |
ˆ
Из условия (11.1) следует, что эрмитов оператор H и унитарный опе-
ˆ
ратор U могут быть диагонализованы одновременно, т. е. может быть построен базис, все элементы которого являются собственными функциями для обоих операторов. Следует иметь в виду, что не всякая функция, собственная для одного оператора, также является собственной для другого (такое возможно для собственных чисел, которым соответствуют несколько линейно независимых собственных функций).
11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо»
Мы можем применять преобразования симметрии не только к состояниям, но и к операторам. Мы можем выполнять преобразования двумя способами:
•Преобразование «вместе»: операторы преобразуются вместе с состояниями, так, чтобы изменение операторов компенсировало изменение состояний и все матричные элементы оставались теми же, что и до преобразования:
ψ → Uˆ ψ, Aˆ → Uˆ AUˆ ˆ |
†, φ|Aˆ|ψ → φ| Uˆ |
†Uˆ |
Aˆ U †Uˆ |
|ψ = φ|Aˆ|ψ . |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
1 |
1 |
|
•Преобразование «вместо»: операторы преобразуются вместо состояний, так, чтобы изменение операторов и изменение состояний давало одинаковое преобразование матричных элементов:
ψ → Uˆ ψ, |
Aˆ → A,ˆ |
φ|Aˆ|ψ → φ|Uˆ †AUˆ ˆ |ψ , |
|
или |
|
ψ → ψ, |
Aˆ → Uˆ †AUˆ ˆ , φ|Aˆ|ψ → φ|Uˆ †AUˆ ˆ |ψ . |
Таким образом, преобразования операторов «вместе» и «вместо» осуществляются с помощью обратных операторов.
Преобразования «вместе» естественно применять для описания пассивных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются как замена базиса. В этом случае преобразование операторов вместе с состояниями соответствует их переписыванию в новом базисе.
Преобразования «вместо» естественно применять для описания активных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются
11.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
309 |
как изменение физического состояния системы. В этом случае преобразование операторов вместо состояний дает¨ альтернативное описание того же самого преобразования. Например, преобразование операторов от представления Шредингера¨ к представлению Гайзенберга — это преобразование операторов «вместо» преобразования состояний, задававшего унитарную эволюцию в представлении Шредингера¨.
11.2.1. Непрерывные преобразования операторов и коммутаторы
ˆ
Пусть оператор A подвергается однопараметрическому преобразова-
ˆ
нию «вместе» Uα:
Aˆ → Aˆα = UˆαAUˆ ˆα† |
ˆ |
, Uˆα = eiαB . |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя Aα по параметру α, получаем коммутатор операто- |
|||||||||||
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||
ра Aα и генератора преобразования B: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dAα |
= (iBˆ)Uˆ |
AUˆ ˆ † |
+ Uˆ |
|
AUˆ ˆ † |
( |
iBˆ) = i[B,ˆ |
Aˆ |
]. |
(11.2) |
|
dα |
|
|||||||||
|
α |
α |
|
α |
α |
|
− |
α |
|
|
Положив α = 0, получаем необходимое и достаточное условие инвариантности оператора при однопараметрическом преобразовании («вместе» или «вместо» — не важно):
ˆ ˆ
[A, B] = 0.
11.3.Непрерывные симметрии и законы сохранения
Вклассической механике каждой симметрии, параметризуемой непрерывным параметром, в соответствии с теоремой Эммы Нетер¨ соответствует закон сохранения. Если выбором координат свести такую симметрию к сдвигу по какой-то обобщенной¨ координате (однородность по обобщенной¨ координате), то такой сохраняющейся величиной можно выбрать обобщенный¨ импульс вдоль этой координаты. Если функция Гамиль-
тона H(Q, P ) не зависит от координаты Qi, то есть если |
∂H(Q,P ) |
= 0, то |
||||
|
||||||
|
|
|
˙ |
|
∂Qi |
|
|
∂H(Q,P ) |
|
|
|
||
в силу уравнения Гамильтона |
|
|
= −Pi |
импульс Pi не зависит от |
||
∂Qi |
||||||
времени. |
|
|
|
|
|
|
Получим квантовый аналог теоремы Нетер¨. Пусть имеется однопара-
ˆ
метрическая группа симметрий гамильтониана H с непрерывным парамет-
310 |
ГЛАВА 11 |
|
|
|
|
ром α R: |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
+α2 |
, |
(11.3) |
Uα1 Uα2 |
= Uα1 |
||||
|
Uˆα−1 = Uˆ−α, |
|
(11.4) |
||
|
ˆ |
ˆ |
|
|
(11.5) |
|
U0 |
= 1, |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
(11.6) |
[H, Uα] = 0. |
|
|
Частный случай однопараметрической группы симметрии сдвига по времени (5.4)–(5.6) уже рассматривался при выводе уравнения Шредингера¨.
ˆ
И подобно тому, как из сдвига по времени Ut получается оператор Гамильтона (оператор Гамильтона отвечает энергии, той самой величине, сохранение которой следует из однородности времени по теореме Нетер),¨ из
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметрии Uα получится эрмитов оператор некоторой сохраняющейся ве- |
|||||||||||||||||||
личины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя (11.6) по параметру α, получаем: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∂ |
|
α=0 = $H,ˆ |
ˆ |
|
|
|
% = 0. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂Uα |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
[H,ˆ Uˆα] |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂α |
∂α |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
ˆ |
|
|
|
Aˆ = −i¯h |
∂Uα |
|
|
|
Uˆα = e ¯h |
αA |
|
(11.7) |
||||||||||
|
∂α |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
другой знак). Полностью аналогич- |
||||||||||
(по сравнению с (5.9) здесь выбран |
|||||||||||||||||||
но (5.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aˆ |
|
|
|
† |
|
|
|
|
Aˆ† |
|
|
|
|
|
|
Uˆdα† |
= 1ˆ − dα i¯h + o(dα) |
|
= 1ˆ + dα |
|
+ o(dα), |
(11.8) |
|||||||||||||
|
i¯h |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
||
Uˆdα† |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
= 1ˆ |
|
|
A |
|
|
||||
= Uˆdα− |
= 1ˆ − dα i¯h + o(dα) |
|
|
+ dα i¯h |
+ o(dα), |
|
|
Aˆ = Aˆ†. |
|
ˆ
Таким образом, мы получаем эрмитов оператор A, для которого коммутатор с гамильтонианом обнуляется
ˆ ˆ |
(11.9) |
[H, A] = 0. |
|
ˆ ˆ |
|
Эрмитовы операторы H и A могут быть одновременно диагонализованы.
То есть математически (11.9) не имеет преимуществ перед (11.1), но имеется преимущество с точки зрения физического смысла, поскольку эрмитовой
312 ГЛАВА 11
Здесь мы ввели обозначение для оператора обобщенного¨ импульса вдоль
координаты Qi |
|
|
|
. |
|
|
∂ |
|
ˆ |
|
|
Pˆi = −i¯h |
= −i¯h |
∂Ta |
(11.12) |
||
∂Qi |
∂a |
||||
|
|
|
|
a=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для обычной декартовой координаты в роли обобщенного¨ импульса выступает проекция обыкновенного механического импульса на выбранную ось. Для угла поворота вокруг некоторой оси в роли обобщенного¨ импульса выступит проекция момента импульса на данную ось.
Собственные функции для оператора (11.12) зависят от координаты Qi как волны де Бройля
i |
|
ψp(Qi, q) = c(q) · e ¯h p·Qi . |
(11.13) |
Если обобщенная¨ координата Qi R, то спектр непрерывен, и собственное число p пробегает всю действительную ось p R. Если координата Qi пробегает конечный интервал [0, Qmax] с периодическими граничными условиями (например, если Qi — угол вокруг какой-либо оси, Qmax = = 2π, а Pi — проекция момента импульса на эту ось), то спектр оператора
ˆ |
дискретен, и |
p·Qmax |
|
Z. Устремляя |
Qmax |
к бесконечности, мы можем |
Pi |
|
2π¯h |
|
|
||
совершить предельный переход к непрерывному спектру. |
||||||
|
Для определенного¨ таким образом обощенного¨ импульса и соответ- |
ствующей координаты мы можем получить коммутационное соотноше-
ˆ ˆ 4 |
|
|
|
|
|
ние [Q, P ]: |
|
ψ − |
|
|
(Qψ) = i¯hψ, |
[Q,ˆ Pˆ]ψ = (QPˆ ˆ − PˆQˆ)ψ = Q −i¯h |
∂ |
−i¯h |
∂ |
||
∂Q |
∂Q |
||||
ˆ ˆ |
|
|
|
|
(11.14) |
[Q, P ] = i¯h. |
|
|
|
|
Мы получили коммутационное соотношение (11.14) для случая, когда волновая функция является функцией обобщенной¨ координаты Q, и, соответ-
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ственно, оператор Q сводится к умножению на Q, а оператор P записыва- |
||||||
|
ˆ |
|
∂ |
|
|
|
ется как P = |
−i¯h |
∂Q |
|
, однако полученный ответ может быть использован |
||
4 |
На самом деле не все¨ |
|
ˆ ˆ |
|||
|
так просто. Область определения коммутатора [Q, P ] включает |
|||||
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
только векторы, на которые определено действие операторов Q, P , в то время как область |
определения оператора умножения на число i¯h — все¨ пространство H. Таким образом, ком-
ˆ ˆ ¨
мутатор [Q, P ] должен быть доопределен на всех тех состояниях, которые первоначально не попали в его область определения. Такое доопределение особенно осложняется в случае периодических граничных условий по координате. Как ни странно, игра на этих «чисто математических» тонкостях позволяет получить нетривиальные физические результаты, которые мы обсудим далее.