2. Логика предикатов. Исчисление предикатов

2.1. Задание №53

x(A(x)→x(B(x)))→ x(A(x)C(y)C(y)&B(x))

а) Привести выражение к виду ПНФ:

x(A(x)→x(B(x)))→y(A(x)C(y)C(y)&B(x))=x(A(x)x(B(x))→ →y(A(x)C(y)C(y)&B(x))=x(A(x)&x(B(x)))y(A(x)C(y)C(y)&

&B(x))=x(A(x)&x(B(x)))y(A(x)C(y)C(y)&B(x))=[z=x]=z(A(z)&

&x(B(x))y(A(x)C(y)C(y)&B(x)))=[v=x]=z(A(z)&v(B(v))

y(A(x)C(y)C(y)&B(x))=zvy(A(z)&B(v)A(x)C(y)C(y)&B(x))= =zvy((B(v)A(x)C(y)B(x))&(A(z)A(x)C(y)B(x)));

F=zvy((B(v)A(x)C(y)B(x))&(A(z)A(x)C(y)B(x)));

б) Привести выражение к виду ССФ:

F=zvy((B(v)A(x)C(y)B(x))&(A(z)A(x)C(y)B(x)))=

=v((B(f(v))A(x)C(y)B(x))&(A(a)A(x)C(y)B(x)));

в) Доказать истинность заключения методом дедуктивного вывода:

Представим формулу в следующем виде:

{x(A(x)→x(B(x)))}  y(A(x)C(y)C(y)&B(x))

Построим граф дедуктивного вывода (рисунок 7):

x(A(x)→x(B(x)))

У. , У. 

A(t)→B(a)

x=t=a

A(x)→B(x)

(A(x)&C(t))→(B(x)&C(t))

(A(x)&C(t))B(x)&C(t)

A(x)C(t)B(x)&C(t)

В. 

y(A(x)C(y)B(x)&C(y))

Рисунок 7 – Граф дедуктивного вывода

г) Доказать истинность заключения методом резолюции (рисунок 8):

Представим формулу в следующем виде:

{x(A(x)→x(B(x)))}  y(A(x)C(y)C(y)&B(x))

Приведем посылки и отрицание вывода к виду ССФ

x(A(x)→x(B(x)))=x(A(x)x(B(x)))=[x=z]=xz(A(x) B(z))=

=xz(A(x) B(z))= x(A(x) B(f(x)));

(y(A(x)C(y)C(y)&B(x)))=y(A(x)&C(y)&B(x));

Сделаем подстановку:

D={A(f(x)) B(f(z)); A(f(x)); C(y); B(f(x))};

Построим граф вывода пустой резольвенты:

A(f(x)) B(f(x)) A(f(x)) C(y) B(f(x))

B(f(x))

0

Рисунок 8 – граф вывода пустой резольвенты

2.2. Задание №89

x(B(x)→A(y))&(B(x)→y(A(y)→ C(z)))→z(B(x)→C(z))

а) Привести выражение к виду ПНФ:

x(B(x)→A(y))&(B(x)→y(A(y)→C(z)))→z(B(x)→C(z))=

= (x(B(x)A(y))&(B(x)y(A(y)C(z))))z(B(x)C(z)) = x(B(x)&

&A(y))(B(x)&y(A(y)&C(z)))z(B(x)C(z)) = [v=x] =v((B(v)&A(y))

(B(x)&y(A(y)&C(z)))z(B(x)C(z)))=[w=y]=vw(B(v)&A(y)B(x)&

&(A(w)&C(z)z(B(x)C(z)))= [u=z] =vwu(B(v)&A(y)B(x)&A(w)&

&C(z)B(x)C(u))=vwu((B(v)A(w)B(x)C(u))&(B(v)C(z)B(x)

C(u))&(A(y)A(w)B(x)C(u))&(A(y)C(z)B(x)C(u)));

F=vwu((B(v)A(w)B(x)C(u))&(B(v)C(z)B(x)C(u))&(A(y) A(w)B(x)C(u))&(A(y)C(z)B(x)C(u)));

б) Привести выражение к виду ССФ:

F=vwu((B(v)A(w)B(x)C(u))&(B(v)C(z)B(x)C(u))&(A(y) A(w)B(x)C(u))&(A(y)C(z)B(x)C(u))) = (B(a)A(b)B(x)C(c))&

&(B(a)C(z)B(x)C(c))&(A(y)A(b)B(x)C(c))&(A(y)C(z)B(x)

C©);

в) Доказать истинность заключения методом дедуктивного вывода:

Представим формулу в следующем виде:

{x(B(x)→A(y))&(B(x)→y(A(y)→C(z)))}z(B(x)→C(z));

Построим граф дедуктивного вывода (рисунок 9):

x(B(x)→A(y))&(B(x)→y(A(y)→C(z)))

x(B(x)→A(y)) B(x)→y(A(y)→C(z))

У. У.

B()→A(y) B(x) (A()C(z))

=x

B()→A(y) A(y)→(B(x)C(z))

B(x)→(B(x)C(z))

B(x)(B(x)C(z))

B(x)C(z)

B(x)→C(z)

В.

z(B(x)→C(z))

Рисунок 9 – Граф дедуктивного вывода

г) Доказать истинность заключения методом резолюции (рисунок 10):

Представим формулу в следующем виде:

{x(B(x)→A(y)); (B(x)→y(A(y)→C(z)))}z(B(x)→C(z));

Приведем посылки и отрицание вывода к виду ССФ

x(B(x)→A(y))=x(B(x)A(y));

B(x)→y(A(y)→C(z))=y(B(x)(A(y)C(z)));

(z(B(x)→C(z)))=z(B(x)&C(z));

D={B(x)A(y); B(x)A(y)C(z); B(x); C(z)};

Построим граф вывода пустой резольвенты:

B(x)A(y) B(x)A(y)C(z) B(x) C(z)

B(x)C(z)

C(z)

0

Рисунок 10 – граф вывода пустой резольвенты