2003_denisov / сборник / ГЛ. 9

ГЛАВА 9

КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 9.1. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦ

Известно, что матрица оператора простой структуры приводится к диагональному виду. В общем случае комплексная квадратная матрица приводится к квазидиагональной, так называемой жордановой форме.

Пусть линейный оператор А, действующий в n-мерном комплексном пространстве X, в некотором базисе этого пространства имеет матрицу А, характеристический многочлен которой представлен в виде канонического разложения

, (9.1.1)

где – попарно различные собственные значения, – соответствующие им алгебраические кратности и .

Корневым подпространством оператора А, отвечающим собственному значению с алгебраической кратностью , называется ядро оператора , т.е.

. (9.1.2)

Векторы корневых подпространств называются корневыми векторами.

Размерность корневого подпространства равна . Каждое корневое подпространство инвариантно относительно оператора А, и пространство X разлагается в прямую сумму корневых подпространств

. (9.1.3)

Базис пространства X, составленный как последовательное объединение базисов всех корневых подпространств , называется корневым базисом.

Пусть – одно из корневых подпространств. Тогда в нем существуют собственный вектор и векторы , удовлетворяющие условиям

,

,

, (9.1.4)

. . . . . . . . .

.

Векторы называются присоединенными к векторами первого, второго и более высоких порядков. Вместе с вектором они образуют в жорданову цепочку длиной h с началом в . Линейная оболочка корневых векторов образует h-мерное циклическое подпространство, порожденное собственным вектором .

Корневое подпространство распадается в прямую сумму инвариантных относительно оператора А циклических подпространств.

Корневой базис, составленный как последовательное объединение базисов циклических подпространств, называется корневым базисом Жордана (жордановым базисом).

Клеткой Жордана называется верхняя треугольная матрица размером kk, имеющая вид

. (9.1.5)

По определению .

В жордановом базисе матрица оператора А имеет жорданову нормальную форму, т.е. является квазидиагональной матрицей J, состоящей из жордановых клеток, расположенных по главной диагонали. Первыми располагаются жордановы клетки, соответствующие собственному значению , затем жордановы клетки, соответствующие собственному значению и т.д. При этом жордановы клетки располагаются в матрице J по главной диагонали в том же порядке, в каком расположены в жордановом базисе соответствующие им жордановы цепочки.

Таким образом, матрица J имеет вид

J = . (9.1.6)

В жордановой матрице J по каждому жордановы клетки располагаются по убыванию их порядков. Некоторые из жордановых клеток могут повторяться, а некоторые из жордановых клеток низших порядков могут отсутствовать. Частным случаем жордановой матрицы является диагональная матрица.

Заметим, что если в построенном жордановом базисе изменить нумерацию жордановых цепочек, то в жордановой матрице на главной диагонали соответственно изменятся положения жордановых клеток.

Всякая комплексная матрица А подобна жордановой матрице J, которая определена с точностью до порядка расположения клеток Жордана на главной диагонали:

АР, (9.1.7)

где Р – матрица перехода от исходного базиса пространства X к его жорданову базису.

Матрица Р состоит из столбцов координат векторов жорданова базиса в исходном базисе. Причем эти столбцы располагаются в матрице Р в том же порядке, в каком располагаются соответствующие им векторы в жордановом базисе пространства X. Матрица Р называется трансформирующей, или приводящей, матрицу А к ее жордановой форме J.

Пример. Постройте жорданов базис оператора с матрицей , жорданову форму J этой матрицы и трансформирующую матрицу Р.

Решение. В настоящее время в учебной литературе по линейной алгебре описано достаточно много способов решения задач данного типа (см., например, [3, 10, 14, 15, 18]). Воспользуемся одним из двух подходов, указанных в книге [3].

Начнем с нахождения собственных значений матрицы А. Поскольку

,

матрица А имеет только одно собственное значение . Его алгебраическая кратность .

Выясним, какова геометрическая кратность .

. (9.1.8)

Геометрическая кратность собственного значения равна

.

Поскольку геометрическая кратность меньше алгебраической, матрица А не является матрицей простой структуры (А – дефектная матрица).

В силу того, что А имеет только одно собственное значение, трехмерное пространство X, в котором действует линейный оператор, совпадает с корневым подпространством . Это подпространство разложимо в прямую сумму двух циклических подпространств размерности 2 и 1. Таким образом, искомый жорданов базис состоит из двух собственных векторов и одного присоединенного вектора первого порядка.

Определим общий вид собственных векторов , для чего решим однородную систему уравнений . Из (9.1.8) видно, что в качестве свободных переменных можно выбрать и . Тогда

и . (9.1.9)

Для построения жорданова базиса осталось найти присоединенный вектор первого порядка . Решим неоднородную систему уравнений :

. (9.1.10)

В соответствии с теоремой Кронекера – Капели система (9.1.10) совместна тогда и только тогда, когда . Подставляя это условие в выражение (9.1.9), получаем общий вид собственных векторов, имеющих присоединенные векторы первого порядка: . Найдем общий вид присоединенных векторов в зависимости от значения , для чего продолжим решение системы (9.1.10)

.

Выбирая в качестве свободных переменных и , получаем, что

и .

Полагая значения свободных переменных , , , найдем собственный вектор и присоединенный к нему вектор первого порядка . Оставшийся вектор жорданова базиса определим, выбирая в выражении (9.1.9) и . Получим вектор . Векторы образуют искомый жорданов базис, в котором матрица линейного оператора имеет вид .

Запишем трансформирующую матрицу:

и проверим правильность полученных результатов:

9.1.1. Постройте жорданов базис оператора с матрицей А, жорданову форму J матрицы А и трансформирующую матрицу Р для следующих матриц А:

а) ; в) ;

б) ; г) ;

д) ; л) ;

е) ; м) ;

ж) ; н);

з) ; о) ;

и) ; п) .

к) ;

9.1.2. Найдите квадрат жордановой клетки .

9.1.3. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки при .

9.1.4. Найдите жорданову форму квадрата жордановой клетки , если

а) k = 4;

б) k = 5.

9.1.5. Постройте корневое подпространство для следующих матриц:

а) ;

б) .

9.1.6. Найдите канонический базис и жорданову форму оператора дифференцирования в пространстве .

9.1.7. В пространстве многочленов найдите жорданову форму оператора

.

§ 9.2. λ – МАТРИЦЫ

Квадратная матрица, элементами которой являются многочлены от λ, называется λ-матрицей (полиномиальной матрицей). Степенью λ-матрицы называется максимальная из степеней многочленов, образующих элементы матрицы.

Элементарными преобразованиями λ-матриц называются преобразования следующих типов:

1) перестановка между собой двух каких-либо строк или столбцов матрицы;

2) прибавление к строке какой-либо другой строки, умноженной на некоторый многочлен φ(λ), и аналогично прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторый многочлен;

3) умножение строки или столбца на некоторое число, отличное от нуля.

Две λ-матрицы А(λ) и В(λ) называются эквивалентными, если одна может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность λ-матриц записывается следующим образом: А(λ) – В(λ).

Всякая λ-матрица может быть элементарными преобразованиями приведена к виду

, (9.2.1)

где многочлены , стоящие по диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице, многочлен делится на , делится на и т.д. Этот вид называется нормальной диагональной формой λ-матрицы, а многочлены – инвариантными множителями.

Нормальная диагональная форма λ-матрицы А(λ) определяется по ней однозначно. Если – наибольший общий делитель миноров k-порядка матрицы А(λ), а , то элементы нормальной диагональной формы (9.2.1) определяются по формулам

,

,

.......... (9.2.2)

,

.

Таким образом, система инвариантных множителей λ-мат-рицы может быть получена с помощью либо элементарных преобразований, либо наибольших общих делителей ее миноров.

Для того чтобы две λ-матрицы А(λ) и В(λ) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одни и те же инвариантные множители.

Числовые матрицы А и В одного порядка подобны тогда и только тогда, когда инвариантные множители λ-матриц и совпадают между собой (критерий подобия матриц).

Пусть матрица А имеет жорданову нормальную форму J, в которой имеется p клеток порядков , отвечающих собственному значению , q клеток порядков , отвечающих собственному значению , и т. д.; тогда инвариантные множители матрицы имеют вид

,

,

,

..................

Таким образом, задание последовательности инвариантных множителей полностью определяет жорданову нормальную форму матрицы А; собственные значения получаются как корни уравнения . Размеры же клеток, отвечающих данному собственному значению , равны степеням, с которыми содержится соответственно в

Матрица А имеет простую структуру тогда и только тогда, когда все инвариантные множители λ-матрицы имеют только простые корни.

Скалярный многочлен φ(λ) называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы А, если φ. В частности, одним из аннулирующих многочленов матрицы является ее характеристический многочлен. Многочлен наименьшей степени среди ненулевых аннулирующих многочленов матрицы А со старшим коэффициентом 1 называется минимальным многочленом матрицы А. Любой аннулирующий многочлен матрицы делится на ее минимальный многочлен.

Минимальный многочлен ψ(λ) матрицы А равен последнему инвариантному множителю λ-матрицы .

Пример 1. При помощи инвариантных множителей найдите жорданову нормальную форму матрицы

.

Укажите минимальный многочлен этой матрицы.

Решение. Запишем λ-матрицу и, воспользовавшись методикой, подробно изложенной в книге [6, § 22], приведем ее к нормальной диагональной форме:

.

Поменяем местами первую и вторую строки:

.

Теперь, прибавляя ко второму и третьему столбцам первый, предварительно умноженный соответственно на λ, 5, получаем

.

Прибавляя ко второй и третьей строкам первую, предварительно умноженную соответственно на , –1, получаем

.

Поменяем местами вторую и третью строки:

.

Прибавляя к третьему столбцу второй, находим:

.

Прибавляя к третьей строке вторую, умноженную на , получаем:

.

Умножая третий столбец на (–1), приходим к нормальной диагональной форме λ-матрицы :

,

инвариантные множители которой , , позволяют составить жорданову нормальную форму

и минимальный многочлен .

Пример 2. Выясните, подобны ли между собой матрица А из примера 1 и матрица

.

Решение. Найдем инвариантные множители λ-матрицы , для чего приведем ее к нормальной диагональной форме.

.

Умножим второй столбец на и поменяем местами его с первым столбцом:

Прибавляя ко второму и третьему столбцам первый, предварительно умноженный на , 15, получаем:

.

Теперь, прибавляя ко второй и третьей строкам первую, предварительно умноженную на , , находим:

.

Третий столбец умножим на (–1) и поменяем местами со вторым столбцом. Будем иметь:

.

Поменяем местами вторую и третью строки:

.

Прибавляя к третьему столбцу второй, предварительно умноженный на , получаем:

.

Прибавляя к третьей строке вторую, предварительно умноженную на , находим:

.

Умножая третий столбец на (–6), приходим к нормальной диагональной форме λ-матрицы :

.

Выпишем инвариантные множители этой матрицы: , , . Поскольку инвариантные множители λ-матриц и между собой совпадают, согласно критерию подобия матриц матрицы А и В подобны.

9.2.1. Путем элементарных преобразований приведите следующие λ-матрицы к нормальной диагональной форме:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;