Ответы и указания
8.1.1.
а)
;
б)
;
в)
.
8.1.2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
8.1.3. а) параллельны;
б) пересекаются в точке (–3, 5, –5).
8.1.4. а) a = 3;
б) а 1, а 3;
в) a = –1;
г) a = 1.
8.1.5.
а)
;
б)
;
в)
.
8.1.6.
.
8.1.7.
а)
;
б)
.
8.1.8.
.
8.1.9. (3, 11).
8.1.10.
.
8.1.11.
.
8.1.12. а) 90;
б) 0.
8.1.13.
а)
;
б)
.
8.1.14.
.
8.1.15.
.
8.1.16.
а)
;
б)
.
8.1.17.
а)
б)
8.1.18.
.
8.1.19.
.
8.2.1.
.
8.2.2.
.
8.2.3.
.
8.2.4.
.
8.2.5.
а)
;
б)
;
в)
.
8.2.6. А) параллельны;
б) совпадают;
в) пересекаются по прямой.
8.2.7. (5, 0, 0), (0, –5, 0), (0, 0, –5).
8.2.8.
.
8.2.9.
.
8.2.10. (0, 2, 0).
8.2.11.
.
8.2.12.
.
8.2.13.
.
8.2.14. Указанная плоскость содержит вектор z, но не содержит вектор v.
8.2.15. а) а 3;
б) a = 3;
в) a = –3.
8.2.16.
а)
;
б) 1;
в)
;
г) 1.
8.2.17. а) 2;
б) 5;
в)
.
8.2.18.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
8.2.19.
а)
arccos
;
б)
arccos
;
в) 90.
8.3.1. а) прямая лежит в плоскости;
б)
пересечение в точке
;
в) прямая параллельна плоскости.
8.3.2.
а)
б)
;
в)
.
8.3.3.
.
8.3.4.
.
8.3.5.
.
8.3.6.
.
8.3.7.
а)
;
б)
.
8.3.8. (3, 4, 0).
8.3.9.
.
8.3.10.
.
8.3.11.
а)
;
б)
.
8.3.12.
.
8.3.13.
.
8.3.14.
.
8.3.15. (1, 0, –1) или (–1, –3, –2).
8.3.16.
.
8.3.17.
а)
;
б)
;
в) единственная точка (0, 5, 0).
8.3.18. а) 90;
б) 0.
8.3.19.
.
8.3.20. (3, 0, 0) или (2, –1, 2).
8.4.1. а) 3 и 5, 5 и 3;
б)
;
в)
;
г)
.
8.4.2.
.
8.4.3.
.
8.4.4. а) a = 5, b = 12;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
8.4.5. а) a = 15, b = 8;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
8.4.6.
.
8.4.7.
.
8.4.8.
.
8.4.9.
.
8.4.10.
.
8.4.11.
а) эллипс
;
б)
гипербола
;
в)
парабола
;
г)
эллипс
;
д)
парабола
;
е)
эллипс
;
ж)
гипербола
;
з)
парабола
;
и)
пара параллельных прямых
;
;
к) мнимый эллипс;
л)
пара пересекающихся прямых
;
;
8.4.12.
Длины полуосей равны
и 1, эксцентриситет равен
,
центром является точка
,
уравнение большой оси
,
уравнение малой оси
.
Фокусу
соответствует директриса
,
фокусу
соответствует директриса
.
8.4.13.
Длины обеих полуосей равны
,
эксцентриситет равен
,
центром является точка
,
уравнение действительной оси
,
уравнение мнимой оси
.
Фокусу
соответствует директриса
,
фокусу
соответствует директриса
.
Уравнения асимптот
и
.
8.4.14.
Параметр параболы равен
,
вершиной является точка
,
фокусом – точка
.
Осью параболы является прямая
,
директрисой – прямая
.
8.4.15.
а) уравнение
эллипса, которое приводится к виду
преобразованием координат
;
б)
уравнение пары пересекающихся прямых,
приводится к виду
преобразованием координат
;
в) уравнение
эллипса, которое приводится к виду
путем последовательных преобразований
координат
,
и
,
;
г) уравнение
параболы, которое приводится к виду
последовательным преобразованием
координат
,
и
,
;
д) уравнение
гиперболы, которое приводится к виду
последовательным преобразованием
координат
,
и
,
;
е) уравнение
параболы, которое приводится к виду
последовательным преобразованием
координат
,
и
,
;
ж) уравнение
пары параллельных прямых, которое
приводится к виду
преобразованием координат
,
;
з) уравнение
эллипса, которое приводится к виду
последовательным преобразованием
координат
,
и
,
;
и) уравнение
гиперболы, которое приводится к виду
последовательным преобразованием
координат
,
и
,
;
8.4.16.
а) гипербола
;
б)
эллипс
;
в)
парабола
;
г)
эллипс
;
д)
гипербола
;
е)
парабола
.
8.5.1.
а) при
эллипсоид, при
точка, при
пустое множество;
б) при
эллипсоид, при
эллиптический цилиндр, при
однополостный гиперболоид;
в) при
эллипсоид, при
прямая, при
двуполостный гиперболоид;
г) при
однополостный гиперболоид, при
конус, при
двуполостный гиперболоид;
д) при
двуполостный гиперболоид, при
конус, при
однополостный гиперболоид;
е) при
эллипсоид, при
пара параллельных плоскостей, при
двуполостный гиперболоид;
ж) при
эллипсоид, при
плоскость, при
однополостный гиперболоид;
з) при
эллиптический параболоид, при
прямая;
и) при
эллиптический параболоид, при
параболический цилиндр, при
гиперболический параболоид;
к) при
эллиптический параболоид, при
плоскость;
л) при
эллиптический параболоид, при
плоскость, при
гиперболический параболоид;
м) при
эллиптический параболоид, при
пара параллельных плоскостей, при
гиперболический параболоид;
н) при
эллиптический цилиндр, при
прямая, при
пустое множество;
о) при
гиперболический цилиндр, при
пара пересекающихся плоскостей.
8.5.4. а) парабола;
б) эллипс;
в) гипербола;
г) гипербола;
д) гипербола.
8.5.5.
8.5.6.
8.5.7.
.
8.5.8.
а) мнимый эллиптический цилиндр
,
новое начало координат
,
направляющие
векторы канонической
системы координат:
,
,
;
б)
однополостный гиперболоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
в) параболический
цилиндр
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
г) эллипсоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
д) эллипсоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
е) двуполостный
гиперболоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
ж) гиперболический
параболоид
,
новое
начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
з) конус
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
и) эллиптический
параболоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
к) эллиптический
параболоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
л) эллипсоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
м) однополостный
гиперболоид
,
новое начало координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
н)
параболический цилиндр
,
новое начало координат 
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
о)
однополостный гиперболоид
,
новое начало
координат
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
п) пара пересекающихся плоскостей
,
;
р) параболический
цилиндр
,
новое начало координат 
,
направляющие векторы канонической
системы координат:
,
,
;
9.1.1.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
.
9.1.2.
.
9.1.3.
.
9.1.4.
а)
;
б)
.
9.1.5.
а)
,
где
,
,
где
,
;
б)
.
9.1.6. 
.
Каноническим является, например, базис
1,
,
,
.
9.1.7.
.
9.2.1.
а)
;
г)
;
б)
;
д)
;
в)
; е)
.
9.2.2.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
9.2.3.
а)
;
б)
;
в) задача
поставлена неверно (таких инвариантных
множителей у матрицы
четвертого порядка не может быть).
9.2.4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
9.2.5. а) да;
б) да;
в) нет;
г) нет.
9.2.6.
Например,
и
.
9.2.7.
а)
;
б)
;
в)
.
10.1.1.
,
где
,
,
,
,
.
10.1.2.
,
,
,
,
.
10.1.3.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
и
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.