Уровни Ландау

Состояния заряда в магнитном поле исследовал Ландау в 1930 г. Получил Нобелевскую премию 1962 г. за работы по сверхтекучести и сверхпроводимости жидкого гелия.

Лев Давидович Ландау (1908–1968)

Получим состояния заряда q массой μ в однородном стационарном магнитном поле В.

Заряд в полуклассической теории. В плоскости, перпендикулярной магнитному полю, радиус круговой траектории и импульс заряда квантуются

,

Учитываем циклотронную частоту вращения (1.24)

,

находим квантование кинетической энергии заряда

.

Спектр энергии совпадает со спектром гармонического осциллятора.

Рассмотрим эту задачу в рамках квантовой механики, где отсутствует понятие траектории.

Гамильтониан заряда q в магнитном поле (7.17)

, ,

запишем в декартовых координатах. Ось z направляем по полю . Векторный потенциал связан с индукцией, тогда

, ,.

Этим соотношениям удовлетворяет потенциал в калибровке Ландау

.

Находим гамильтониан заряда

, (5.46)

где .

Уравнение Шредингера получает вид

.

Выполняется

, .

Следовательно, состояние характеризуется значениями

, ,,

а решение содержит произведение собственных функций и

.

Если движение по оси z не ограниченное, то – любое вещественное число. Подстановка решения в уравнение и деление его слева на ψ дает уравнение для функции

.

Для упрощения уравнения вводим эффективную потенциальную энергию

,

где

, (5.47)

получаем

.

Сравниваем с уравнением гармонического осциллятора (3.23)

, ,

имеющего частоту ω и амплитуду нулевых колебаний относительно точки . Решаемая задача соответствует осциллятору, колеблющемуся относительно точкис циклотронной частотойи с амплитудой нулевых колебаний

,

равных магнитной длине. Из формулы (3.32) для гармонического осциллятора получаем функцию состояния n

,

Уровни Ландау. Спектр энергии движения в плоскости совпадает со спектром гармонического осциллятора. Из (3.39) находим

.(5.48)

Результат совпал с энергией полуклассической теории с точностью до слагаемого .

Число состояний на уровне Ландау. Функция состояния зависит от положения центра циклотронного движения , энергия (5.48) не зависит от, поэтому уровень Ландау вырожден – разным центрам соответствует одинаковая энергия. Найдем кратность вырождения.

Для движения в прямоугольной области со сторонами и возникает ограничение на положение центра по осиx

.

Получаем ограничение импульса

интервалом шириной

.

Ограничение положения частицы по оси y в пределах

вызывает квантование . Граничное условие Борна–Кармана (3.8)

на волновую функцию

требует

.

Учитывая

, N – целое число,

находим

.

Импульс квантуется

,

соседние значения отличаются на шаг

.

Кратность вырождения уровня n

, (5.52)

где –квант магнитного потока. Число состояний на любом уровне Ландау без учета спина равно числу квантов магнитного потока, приходящихся на область, доступную для движения заряда. В полуклассической квантовой механике число квантов магнитного потока равнялось номеру траектории заряда.