
Заряд в магнитном поле
Магнитное поле наряду с электрическим полем широко используется для изменения и контроля состояния электрона. Магнитное поле влияет на фазу волновой функции заряда и на длину волны де Бройля. Это используется для измерения эффективной массы и магнитного момента носителя тока в кристалле, для определения поверхности Ферми и концентрации электронного газа.
Длина волны де Бройля
определяется
в магнитном поле не кинетическим
импульсом частицы
,
а полным импульсом.
Полный импульс P учитывает влияние магнитного поля на волновую функцию заряда. Пусть магнитное поле создано электрическим полем благодаря явлению электромагнитной индукции, описываемому уравнением Максвелла
,
где А – векторный потенциал, через который выражается индукция магнитного поля
.
Получаем
.
Учитываем
,
где – произвольная скалярная функция, тогда
.
Векторный потенциал в классической электродинамике не измерим, его выбор не однозначен. Используем калибровку
,
получаем
,
в результате
.
Векторный потенциал создает вихревое электрическое поле Фарадея, отличающееся от кулоновского, потенциального поля, создаваемого зарядом.
Электрическое
поле любой природы действует на заряд
q,
его кинетический
импульс
изменяется
согласно
второму закону
Ньютона
.
Интегрируем
в пределах от 0 доt
и получаем
.
Для поля Фарадея находим изменение импульса за время t
.
(1.19)
Определяем полный импульс заряда q
,
(1.20)
складывающийся из кинетического импульса частицы
и импульса магнитного поля, связанного с зарядом q:
.
Согласно (1.19), при изменении векторного потенциала сохраняется полный импульс
.
Ему сопоставляем оператор неизменной формы
.
(1.20а)
Оператор
имеет собственную функцию
с фазой
и с волновым числом
.
В результате
фаза волновой
функции и длина волны де Бройля в
магнитном поле определяются полным
импульсом.
Получим следствия в рамках полуклассической
квантовой механики.
Квазиклассическое квантование в магнитном поле. В формуле квантования Бора–Зоммерфельда при наличии магнитного поля импульс заменяется полным импульсом
,
,
(1.21)
Условие максимума интерференции заряда в магнитном поле получил Вальтер Франц в 1939 г. Применим (1.21) к заряду в однородном магнитном поле.
Заряд в магнитном поле В, направленном по оси z. На заряд q, движущийся со скоростью, перпендикулярной полю, действует сила Лоренца
,
направленная
по правилу левой руки, перпендикулярная
магнитному полю, скорости V
и кинетическому импульсу
.
Сила перпендикулярная скорости являетсяцентростремительной,
тогда
.
Получаем радиус траектории
.
(1.23)
Угловая скорость вращения, или циклотронная частота:
(1.24)
не зависит от скорости заряда.
Для однородного поля В находим векторный потенциал, используя
,
записанное в цилиндрических координатах
,
,
.
Для рассматриваемого поля
,
,
,
получаем
,
,
.
Следовательно, вектор А направлен по касательной к траектории заряда и связан с вектором В правилом правого винта.
Полный импульс
.
Для
круговой траектории с номером
,
радиусом
из рисунка находим
.
(1.24а)
Вычисляем циркуляции вдоль траектории n
,
.
Формула Бора–Зоммерфельда (1.21)
,
,
дает условие квантования в магнитном поле – соотношение между радиусом и импульсом заряда на траектории n
.
(1.25)
Квантование
импульса
и кинетической энергии.
В (1.25) подставляем
(1.23)
и получаем
,
(1.26а)
.
(1.26б)
Спектр энергии эквидистантный и совпадает со спектром гармонического осциллятора с циклотронной частотой.
Квантование проекции момента импульса. Известно квантование проекции момента кинетического импульса
,
Получим квантование проекции момента полного импульса. Используем (1.24а)
,
и (1.25)
получаем
.
(1.27)
Номер траектории определяется модулем момента полного импульса.
Квантование радиуса траектории. Из (1.23)
выражаем
,
подставляем в (1.26а)
,
получаем
,
(1.29)
где магнитная длина
(1.30)
Для электрона
нм.
Для магнитного поля у земли
Тл,
мкм.
Квантование
траекторий электрона в магнитном поле
наблюдалось экспериментально.
Исследовалась пространственная структура
состояний двухмерного газа электронов
в поверхностном слое полупроводника
InSb
в магнитном поле В = 6 Тл. Использовался
метод сканирующей туннельной спектроскопии
(PRL
109,
116805 (2012)). При температуре Т = 0,3 К наблюдались
концентрические кольца. Для такого газа
из (1.29) и (1.30) получаем
нм,
нм,
нм,
нм.
Квантование магнитного потока. Используя (1.29)
,
находим магнитный поток через площадь, ограниченную траекторией:
,
(1.31)
где квант магнитного потока
.
(1.32)
Согласно (1.31) квантовое число n равно числу квантов магнитного потока, приходящихся на площадь, ограниченную траекторией заряда.
В
сверхпроводнике заряд спаренных
электронов
,
тогдаквант
магнитного потока в сверхпроводнике
Тл м2
(Вб). (1.33)
Ф0 приблизительно равен потоку 1/100 магнитного поля земли через площадку диаметром 0,1 мм.
Квантование
магнитного потока обосновали В.А. Фок
и П. Иордан в 1930 г., Ф. Лондон в 1948 г.
Экспериментально явление обнаружили
в сверхпроводнике Б. Дивер и В. Фейрбэнк
в 1961 г. Слой олова толщиной 0,3
10
мкм гальванически осаждался на кварцевой
нити диаметром 13 мкм, получалось
кольцо. При температуре выше сверхпроводящего
перехода олова, равного 3,8 К, кольцо
помещали в магнитное поле, направленное
вдоль оси кольца. Температуру снижали,
олово переходило в сверхпроводящее
состояние и выталкивало поле из своего
объема, создавая поверхностный кольцевой
ток и магнитный поток через отверстие
кольца. Результат измерений этого потока
,
где
,
соответствовал максимуму интерференции
для фазы
,
(1.34)
образованной
волновой функцией куперовской пары с
зарядом
,
проходящей по кольцу.
Квантование
сопротивления.
Рассмотрим контур с ничтожно малым
активным сопротивлением. Плоскость
контура пересекает поток магнитного
поля Ф. К концам контура приложено
напряжение U,
по цепи идет ток I.
При переносе по замкнутой цепи заряда
q
источник напряжения совершает работу
.
При
увеличении магнитного потока на
,
возникает явление электромагнитной
индукции и для поддержания тока источник
совершает дополнительную работу
.
Из закона сохранения энергии получаем
.
В цепи возникает индуктивное сопротивление
.
(1.35)
Если
ток переносится в сверхпроводнике
куперовскими парами электронов с зарядом
,
то кванту магнитного потока
соответствует квант сопротивления
кОм.
(1.36)
Кванту потока
соответствует холловское сопротивление
кОм.
(1.36а)
Квантование сопротивления баллистического проводника, в котором электроны движутся без рассеяния:
,
где
– число активизированных поперечных
мод движения, которые дают вклады в
продольный ток, обосновал
Рольф Ландауэр в 1970 г.
Интерференционные
осцилляции сопротивления проводника
с двумерным электронным газом при
изменении магнитного поля экспериментально
исследовали Юрий Васильевич и Дмитрий
Юрьевич Шарвины в 1981 г. Использовалось
кольцо из магния диаметром (1,52)
мкм. При температуре ~1К длина свободного
пробега электронов превышает размер
кольца. Электрон движется баллистически
без рассеяния, фаза волновой функции
меняется регулярно. На платиновые
контакты А
и В
подается напряжение. Через кольцо
проходит магнитный поток Ф. На контакте
А
электронная волна разделяется и идет
по путям 1 и 2, набирая фазы θ1
и θ2,
и интерферирует на контакте В
с разностью фаз
.
Учитывая, что при обращении движения набираемая фаза меняет знак, можно считать, что электрон делает один оборот по кольцу. Из (1.34)
получаем
,
.
Изменение
магнитного потока на
меняет разность фаз
.
Максимум
интерференции
соответствует максимуму тока между
контактами. В результате при изменении
магнитного поля сопротивление между
контактами осциллирует с периодом
.
Если
через кольцо одновременно переносится
заряд
,
то период осцилляций равен
.
Эксперимент подтвердил этот вывод.
Квантование магнитного момента. Ток в контуре создает магнитный момент, равный произведению силы тока на площадь контура и направленный перпендикулярно плоскости контура по правилу правого винта.
Магнитный
момент
пропорционален моменту импульсаL
заряда, создающего ток:
,
где
–гиромагнитное
отношение,
известное из классической физики.
Используя (1.27)
,
получаем орбитальный магнитный момент электрона
,
,
(1.37)
где магнетон Бора
(1.38)
введен В. Паули в 1920 г. Проекция орбитального магнитного момента на направление поля квантуется и пропорциональна магнитному квантовому числу m.
Подстановка
импульса. В
магнитном поле длина волны де Бройля
определяется полным
импульсом
.
При изменении поля меняется векторный
потенциалA
и скорость заряда за счет явления
электромагнитной индукции, полный
импульс сохраняется и ему сопоставляется
оператор неизменной формы
.
(7.12)
Действие магнитного поля на квантовую систему учитывается подстановкой импульса
.
(7.13)
В
формулах, описывающих систему без
магнитного поля, оператор кинетического
импульса
заменяется выражением(7.13).
Электрическое поле со скалярным
потенциалом
учитывается дополнительным слагаемым
потенциальной энергии
.
(7.14)
Операторы физических величин. С учетом (7.13) и (7.14) получаем гамильтониан, уравнение Шредингера и плотность тока вероятности в электромагнитном поле
,
(7.17)
,
(7.18)
.
(7.19)
Соотношения неопределенностей для проекций скорости. Используя (7.13)
и
,
,
,
находим коммутационные соотношения
,
,
.
(7.21)
Операторы проекций кинетического импульса заряда в магнитном поле не коммутируют.
Для операторов скорости
,
,
из (7.21) получаем
,
,
.
Некоммутативность операторов приводит к соотношениям неопределенностей
,
,
.
(7.22)
Проекции скорости заряда в магнитном поле определяются одновременно с ограниченной точностью.