Водородоподобный атом

В электронной оболочке водородоподобного атома находится один электрон, например . Заряд ядра, гдеZ – порядковый номер элемента в таблице Менделеева. Массивное ядро с Z протонами с учетом его массы считаем неподвижным при движении электрона. Потенциальная энергия электрона в СИ

.

Потенциальная энергия и уровни атома водорода

Система центрально-симметричная, используем сферические координаты с центром в ядре. Состояние электрона с энергией E и квантовыми числами l и m описывает волновая функция (5.9)

.

Найдем радиальную функцию и возможные значения энергии электронаЕ для водородоподобного атома.

Уравнение Шредингера. Для связанного состояния с полной энергией из радиального уравнения (5.10)

получаем

.

Упрощаем уравнение. Выражаем энергию через безразмерный параметр

, (5.21)

где введен боровский радиус атома водорода

. (5.22)

Переходим от радиуса r к безразмерной переменной

, . (5.23)

Для получаем уравнение

, (5.24)

рассмотренное ранее в курсе “Методы мат. физики”. Нормировка радиальной функции содержит интеграл , поэтому требуется его конечность. Еслирадиальное число

не целое, то решение является бесконечным рядом, и приведет себя как, нормировочный интеграл расходится, такое решение является нефизическим.Сходимость на верхнем пределе интеграла приводит к квантованию В курсе “Методы мат. физики” получено решение

, (5.25)

где –обобщенный полином Лагерра; .

Квантовые числа. Пространственная и угловая ограниченность движения приводит к дискретности спектра квантовых чисел, характеризующих состояние электрона.

Радиальное число определяет степень полинома, входящего сомножителем в радиальную функцию, и равно числу нулей радиальной функции.

Главное число

определяет полную энергию электрона. Множество состояний с одинаковым называетсяслоем и обозначается, соответственно: K, L, M, N,…

Орбитальное число l определяет модуль момента импульса электрона. С учетом , находим возможные значения

.

Величина l определяет кинетическую энергию вращения, которая не может быть больше полной энергии, поэтому l ограничена сверху. Множество состояний с одинаковым называетсяоболочкой и обозначается, соответственно: s, p, d, f,…

Магнитное число

определяет проекцию момента импульса электрона. Проекция не может быть больше модуля, поэтому . Число состояний с одинаковымl и разными m, т. е. кратность вырождения по l, равна

.

Основное состояние имеет минимальные значения квантовых чисел: ,,.

Полная энергия. Из (5.21)

с учетом получаем квантование энергии

, (5.26)

где

– энергия основного состояния атома водорода. Энергия не зависит отl и m.

Кратность вырождения состояния n равна числу состояний со всеми возможными l и m при одинаковом n. Без учета спина электрона получаем

.

Радиальная функция. В (5.25)

учитываем

, .

Если выбрать

,

то

,

. (5.27)

Обеспечивается нормировка

,

. (5.28)

Выполняется

, .

Для атома водорода с находим

, ,,;

,

,

–основное состояние,

,

,

. (5.30)

Состояния нормированы

. (5.31)

Плотность вероятности по радиальной переменной равна вероятности обнаружения электрона в шаровом слое радиусом r толщиной

, (5.32)

где

– вероятности обнаружения электрона в шаровом слое радиусом r, толщиной dr; объемом

.

Для состояния находим. Учитывая, из (5.27)

, ,

для атома водорода получаем состояния с нулевым радиальным числом

.

Положение максимума плотности вероятности следует из условия

,

находим

. (5.33)

Для ,получаем–максимум плотности вероятности основного состояния находится на расстоянии r₀ от ядра, что оправдывает его название – боровский радиус атома водорода.

Плотность вероятности состояния 1s

Орбитали – области наиболее вероятного нахождения электрона в атоме в координатах , где угол θ отсчитывается от вертикали. Плотность изображения на рисунке пропорциональна модулю волновой функции

.

Показаны результаты для ;;.

l = 0 1 2 n =

Орбитали атома водорода

Радиальная структура усложняется с ростом n, угловая структура усложняется с увеличением l.

Экситон (от лат. excito – «возбуждаю») является связанным состоянием электрона e и дырки h с эффективными массами ив полупроводнике. Существование экситона предсказал Яков Ильич Френкель в 1931 г. Экситон возникает в полупроводнике при низкой температуре при поглощении фотона. При повышении температуры экситон разрушается тепловым движением. Энергия фотона разрывает кристаллическую связь, появляются свободный электрон и дырка. Центр масс экситона описывается радиус-вектором, где – полная масса. Относительное положение квазичастиц характеризует . Кинетическая энергия экситона складывается из движения центра масс и относительного движения электрона и дырки

,

где –приведенная масса. В системе центра масс экситон описывается как частица, находящаяся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью , в кулоновском поле.Экситон Ванье–Мотта имеет связанные состояния, совпадающие с состояниями водородоподобного атома с большим боровским радиусом и с малой энергией

.

Переходы между такими состояниями в оксиде меди при температуре жидкого азота наблюдал Е. Ф. Гросс в 1952 г.

Евгений Федорович Гросс (1897–1972)

Ридберговский атом имеет высокоэнергетическое состояние электрона с квантовыми числами . Для возбуждения атома используется лазер с перестраиваемой частотой. Фотоны лазера переводят электрон последовательно с основного на болеевысокие уровни энергии. Далее электрон локализуют, создавая волновой пакет путем кратковременного облучения атома микроволновым излучением. К такому состоянию применима полуклассическая теория атома Бора. Ридберговский атом достигает макроскопических размеров. Получены возбужденные состояния атома калия с диаметром траектории электрона ~1 мм, что соответствует главному квантовому числу . Частоты переходов между соседними состояниями с большими квантовыми числами находятся в микроволновой области, а не в оптической, как для низко возбужденных состояний. Электрический дипольный момент атома пропорционален его размеру, поэтому велика энергия взаимодействия атома с внешним электрическим полем и таким атомом легко манипулировать. Время существования ридберговского атома.