
Одномерные стационарные системы
Уравнение Шредингера (2.57) для двухмерных и трехмерных стационарных систем
сводится в ряде случаев к одномерному уравнению (2.59)
,
(3.1)
или
,
(3.2)
где волновое число
связано с длиной волны де Бройля
.
Для
электрона массой
с энергией, выраженной в эВ, получаем
.
При
волновое число
,
длина волны электрона порядка ангстрема.
Переход
к одномерной задаче.
В декартовых координатах стационарное
уравнение Шредингера (2.57) для частицы
массой μ с полной энергией Е
в поле с потенциальной энергией
имеет вид
.
Если потенциальная энергия является суммой слагаемых с разными аргументами
,
То трехмерное уравнение разделяется на независимые одномерные уравнения, волновая функция факторизуется
.
Движения
частицы в проекциях на оси x,
y,
z
происходят независимо. При подстановке
функции в уравнение, деленное на
,
получаем уравнения
,
,
где
;
.
Энергия частицы складывается из энергий независимых движений
.
Частные случаи одномерных стационарных состояний
Свободная
частица при
отсутствии внешнего поля
описывается уравнением (3.2)
с волновым числом
.
Общее решение
(3.3)
является суперпозицией бегущих волн
,
распространяющихся
по- и против оси x
с комплексными амплитудами .
Если краевые условия не накладываются,
то спектр k
непрерывный и энергия
.
Движение частицы создает плотность тока вероятности. В (2.72)
подставляем (3.3) и находим
где
– скорость частицы. В круглой скобке
сумма двух последних слагаемых чисто
мнимая, в результате проекция плотности
тока вероятности на осьx
,
,
.
(3.6)
Для
частицы с зарядом е
и энергией Е
задаем плотности электрического тока
,
получаем плотности тока вероятности
,
и находим модули амплитуд волн
.
Частица
в потенциальном ящике.
Для частицы ящик размером L
является потенциальной ямой. Внутри
ящика потенциальная энергия
и частица с энергиейЕ
описывается уравнением
(3.2)
,
где
.
Уравнению удовлетворяет решение в виде бегущих волн
(3.7а)
с
комплексными амплитудами
,
илистоячих
волн
(3.7б)
с
вещественными
.
Стоячие волны возникают при сложении
бегущих волн
и
.
Решение (3.7б) вещественно.
Стенки ящика создают потенциальный барьер и ограничивают возможные значения волнового числа k и энергии Е. Если не существенны явления на стенках и не известна форма потенциальной энергии барьеров, то вместо одного ящика рассмотрим систему повторяющихся ящиков. Тогда решение удовлетворяет периодическому условию Борна–Кармана
.
(3.8)
При подстановке (3.7а) условие выполняется при
.
Используя
,
,
находим
.
Следовательно, квантуются волновое число, импульс и энергия частицы
,
.
,
где
–квантовое
число.
Длина волны де Бройля на уровне n
,
тогда
показывает число длин волн, укладывающихся
на длине ящика, или число полуволн,
приходящихся на длину траектории.
Расстояние между уровнями
.
Для
кристалла с характерным размером
получаем
.
Сравниваем с тепловой энергией частицы
газа при нормальной температуре
.
При высокой температуре и большом ящике тепловая энергия превышает расстояние между уровнями, дискретность спектра не проявляется и спектр энергии квазинепрерывный.
При низкой температуре и малом ящике тепловой энергии не хватает для перевода частицы между уровнями и существенна дискретность спектра.
Состояние n занимает в координатном пространстве объем, равный размеру ящика:
,
в импульсном пространстве неопределенность
,
в фазовом пространстве
.
(3.9)
Любое состояние, находящееся в одномерном потенциальном ящике, занимает фазовый объем, равный постоянной Планка – основное положение статистической теории, следующее из соотношения неопределенностей.
Частица
в потенциальной яме.
Если потенциальная энергия
имеет минимум, меньший значений при
,
которые считаем одинаковыми и равными
нулю
,
то это потенциальная яма.
При
полной энергии частицы
ее движение не ограничено стенками ямы,
она свободна, энергия имеет непрерывный
спектр, яма лишь рассеивает частицу.
Свободное состояние является бегущей
волной и описывается комплексной
функцией.
При
состояние связанное, частица захвачена
ямой. Потенциальными ямами для электрона
являются: атом, кусок металла или
полупроводника, квантовая точка,
осциллятор и т.д.
Свойства
связанных состояний.
При
частица находится в ограниченных
пределах и имеет дискретный спектр
,
где
–главное
квантовое число.
Состояние с наименьшей энергией E0
называется основным,
остальные – возбужденные.
Функции
связанных состояний вещественные и
являются стоячими волнами.
Спектр
состояний одномерной ямы невырожденный
– состояния с разными волновыми функциями
имеют разные энергии.
Для симметричной ямы
,
где
является точкой симметрии потенциальной
энергии, уравнение Шредингера
не
изменяется при замене
.
Множество общих решений распадается
на линейно независимые и
взаимно ортогональные
подмножества
четных и нечетных решений
,
,
,
.
Число
нулей волновой функции на протяжении
ямы является номером состояния и
называется главным квантовым числом
Оно определяет длину волны
,
импульс
и полную энергию
частицы. С ростомn
уменьшается
,
увеличиваются
и
.Между двумя
последовательными нулями функции
состояния находится нуль соседнего по
энергии состояния.
Множество
связанных состояний
образует ортонормированный базис
.
(3.20)
Произвольное состояние частицы в яме разлагается по этому базису, является суперпозицией состояний с разными энергиями. Частицу в таком состоянии можно обнаружить с некоторой вероятностью на любом уровне.
Борновский параметр. В яме с характерной шириной L из соотношения неопределенностей
,
где
,
получаем характерный импульс и
кинетическую энергию частицы
,
.
Мера воздействия ямы на частицу определяется безразмерным борновским параметром, показывающим насколько велика энергия ямы по сравнению с кинетической энергией частицы:
,
(3.22)
где
– характерная
глубина ямы.
При
яма слабая, при
яма сильная.
Частица
в области, недоступной для классического
движения.
На краю ямы при
полная энергия частицы равна потенциальной
энергией
,
кинетическая энергия и импульс обращаются
в нуль, классическая частица останавливается.
При
выполняется
,
кинетическая
энергия
– отрицательная, импульс
– мнимый, поэтому при
классическая частица не существует.
Для квантовой частицы уравнение Шредингера
при
,
получает вид
(3.23)
с вещественным коэффициентом затухания
.
Уравнение
имеет не равное нулю решение. Квантовая
частица обнаруживается вне потенциальной
ямы с некоторой вероятностью благодаря
туннельному
эффекту.
При
,
общее решение (3.23) имеет вид
,
.
Нормировка
в
области
выполняется только для убывающего с
ростом x
частного решения. Поэтому полагаем
и получаем
.
Плотность вероятности обнаружения частицы
экспоненциально уменьшается при удалении от края ямы, где характерное расстояние затухания
– характерное расстояние от края ямы, до которого еще вероятно обнаружить частицу. Чем выше уровень энергии E, тем дальше от края ямы можно обнаружить частицу.
В частности
,
,
где
κ – расстояние
от края ямы до места, где вероятность
обнаружения частицы уменьшается в
раз. Чем ниже уровень энергии, тем больше
,
тем меньше κ и быстрее уменьшается
вероятность с удалением от края ямы.