Среднее значение величины

Собственные функции эрмитового оператора образуют ортонормированный базис. Если частица находится в состоянии Ψ, являющемся суперпозицией функций, то физическая величинаA не имеет определенного значения. Получим ее среднее значение.

Разложение состояния Ψ по базису имеет вид:

для дискретного спектра

, (2.23)

для непрерывного спектра

, (2.24)

где – комплексное число. Докажем, что коэффициент разложения является амплитудой вероятности обнаружения состоянияв исследуемом состоянии Ψ, а вероятность обнаружения равна .

Коэффициенты разложения . Умножаемна (2.23) или (2.24), интегрируем по пространственным переменным, переставляем суммирование и интегрирование, учитываем условия ортонормированности (2.21) или (2.22). Для дискретного спектра получаем

,

для непрерывного спектра

.

Заменяем , и для дискретного и непрерывного спектров находим коэффициент разложения

. (2.25)

Определим физический смысл коэффициента . Разложение для дискретного спектраподставляем в условие нормировки функции состоянияи получаем

.

Результат сравниваем с нормировкой вероятности дискретных событий

,

получаем

. (2.26)

Следовательно, вероятность обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью обнаруживается в эксперименте значениедискретной физической величиныA для частицы в состоянии , где– собственное значение операторас собственной функцией.

Для непрерывного спектра разложение

подставляем в условие нормировки функции состояния

,

учитываем ортонормированность (2.22)

,

получаем

.

Результат сравниваем с нормировкой вероятности непрерывных событий

,

получаем

. (2.27)

Следовательно, плотность вероятности обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью в единичном интервале измененияn обнаруживается в эксперименте значение непрерывной физической величиныA для частицы в состоянии , где– собственное значение операторас собственной функцией.

Среднее значение величины, описываемой оператором , в нормированном состоянииравно

, (2.28)

с условием нормировки

.

Доказательство для дискретной величины A:

Состояние разлагаем по собственным функциямоператорас дискретным спектром

.

Разложение подставляем в (2.28), учитываем

,

,

,

получаем

.

Результат совпадает с определением среднего

в теории вероятности дискретной величины.

Для непрерывной величины A аналогично находим из (2.28) известное в теории вероятности выражение для среднего

.

СоотношениЕ неопределенностей

Для измерения величины A, описываемой оператором , частица в состоянииприводится во взаимодействие с соответствующим прибором, описываемом классической физикой. Его показание дает значение измеряемой величины. Повторяем измерение N раз, находим среднее значение и дисперсию

,

.

Если состояние частицы совпадает с одной из собственных функций оператора , то результаты измерений одинаковые и погрешность равна нулю

, .

Для измерения величины , описываемой оператором, используется другой прибор. Еслиикоммутируют, то наборы их собственных функций {Ψ_n} совпадают, соответствующие измерения совместимы. В состоянии результаты однозначные,, их точность не ограничена.

Если эрмитовые операторы ине коммутируют

, (2.29)

где – эрмитовый оператор (доказательство на практических занятиях), то иимеют разные наборы собственных функций. Измерительные приборы дляA и B несовместимы, действие одного прибора нарушает работу другого. Например, на лекции 1 показано, что при измерении координаты частицы путем использования экрана со щелью происходит дифракция волны и растет неопределенность импульса частицы. Измерить A и B одновременно с высокой точностью невозможно. В состоянии найдем связь между флуктуациями результатов измерений, т. е. абсолютными погрешностями:

,

,

где дисперсия в состоянии по определению среднего равна

,

.

Ограничение коммутатора. Среднее от квадратичной формы эрмитовых операторов ипо любому состоянию Ψ не может быть отрицательным

. (2.30)

Во втором равенстве использована операция эрмитового сопряжения. Упрощаем левую сторону (2.30), учитывая эрмитовость операторов, и получаем

.

В результате коммутатор

ограничен

. (2.31)

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В качестве ивыбираем операторы относительного отклонения от среднего

, , (2.32)

удовлетворяющие

.

С учетом

,

находим

, ,.

Из (2.31) получаем

, (2.33)

где – модуль среднего от коммутатора операторовипо рассматриваемому состоянию. Для коммутирующих операторов,и измеренияa и b можно выполнить с неограниченной точностью.

Соотношение неопределенностей координата-импульс. Коммутатор

сравниваем с (2.29)

,

получаем

, ,

из (2.33) находим

(2.37)

– чем точнее измеряется координата частицы, тем неопределеннее импульс, и наоборот. Локализация частицы приводит к увеличению неопределенности ее импульса и кинетической энергии. Аналогичное соотношение было получено в полуклассической квантовой механике.

Соотношение неопределенностей энергия-время. Средняя скорость частицы выражается через путь и время

.

Флуктуация кинетической энергии

,

тогда

.

Учитывая (2.37), находим

(2.39)

– чем точнее измеряется энергия, тем больший промежуток времени необходим для измерения;

– чем уже энергетический уровень δЕ возбужденного состояния, тем больше время его жизни δt.

Соотношение неопределенностей установил Гейзенберг в 1927 г.

Вернер Гейзенберг (1901–1976)