Высшая_математика_Том1

Глава 6.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 6.1. Производная и дифференциал

6.1.1.Вычисление скорости прямолинейного движения

Процесс движения точки вдоль прямой называется прямолинейным движением точки и определяется законом движения S = ϕ(t), указывающим координату S на числовой оси в момент времени t. Согласно этому закону за каждый определенный промежуток времени t = t −t0 , отсчитываемый от момента времени t0 , точка проходит расстояние S = ϕ(t) −ϕ(t0 ) = ϕ(t + t) −ϕ(t0 ) со средней скоростью

S

t

Чем меньше временной промежуток t, тем точнее измеряется средняя скорость перемещения S за время t. Принято считать, что в процессе уменьшения интервала t мы будем получать значение средних скоростей в момент времени t0 . Таким образом, мы приходим к понятию истинной скорости в момент времени t0 , определяемой пределом

Заметим, что если этот предел не существует, то величина скорости в момент времени t0 не определена.

201

ПРИМЕР 6.1.1.

1. Закон движения задается зависимостью координаты x от времени t x = gt2

2

При t = 1 получаем v(1) = g.

2. Закон движения задается зависимостью

1 x(t) = (t −t0 ) sin t −t0

Найти скорость в момент времени t = t0

Вначале заметим, что функция x(t) при t = t0 имеет устранимый разрыв и становится непрерывной, если ее доопределить значением x(t0 ) = 0 (см. устранимый разрыв в п 5.3.7). Учитывая это, находим

не существует (см. пример 5.3.5).

Таким образом, точка, выполняющая прямолинейное движение по заданному закону x(t) в момент времени t = t0 истинной скорости не имеет.

6.1.2. Понятие производной

Представление о процессах, происходящих в окружающем мире, связано с понятием скорости изменения тех или иных величин. Мы рассмотрели простейший процесс — прямолинейное движение точки. В других процессах указан закон y = f (x) изменения величины y в зависимости от аргумента x и понятие «скорости» изменения y относительно x приводит к вычислению предела отношения приращения функции f = f (x + x) − f (x) к приращению аргумента x.

Определение 6.1.1 (производной). Если существует предел отношения приращения функции f (x) в точке x к приращению независимого аргумента x, то он называется производной функции f (x) по переменной x и обозначается f ′(x)

202

Приняты различные способы обозначения производной: f ′(x), d f , y′(x), dx

fx′ и др.

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Если f ′(x) существует во всех точках интервала (a, b), то говорят, что f (x) имеет производную f ′(x) на (a, b) или f (x) дифференцируема на

(a, b).

6.1.3.Вычисление производной основных элементарных функций y = ax + c,

y = sin x, y = loga x

203

Таким образом, нами доказано следующее утверждение

Теорема 6.1.1. (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости). Функция f (x) дифференцируема в точке x тогда и только тогда, когда ее приращение представляется в виде (6.1.1) и в этом представлении выполняется условие (6.1.2).

Обратим внимание на то, что: 1) в представлении (6.1.1) выражение f ′(x) x является линейной функцией по x в фиксированной точке x; 2) бесконечно малая функция o( x) имеет более высокий порядок малости, чем x. В силу этих двух свойств представления (6.1.1) выражение f ′(x) dx называют линейной частью приращения f . Поэтому существует другое определение дифференцируемости.

204

Определение 6.1.2 (дифференцируемости). Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение f в этой точке имеет главную линейную часть, т. е. представляется в виде

При этом величина A(x) = f ′(x) называется производной функции f (x) в точке x, а главная линейная часть f ′(x) x называется дифференциалом и обозначается

df = f ′(x) dx.

6.1.5.Геометрический смысл производной и дифференциала

Уравнение этой секущей ищем в виде y = kx + b. Учитывая, что угловой

коэффициент k = tg α = f , запишем уравнение секущей в виде y = f x + b. x x

Так как эта прямая проходит через точку (x0 , f (x0 )), то выполняется условие

205

1)секущая M1 M0 стремится при M1 → M0 занять предельное положение, которое мы назовем касательной в точке (x0 , f (x0 )) к графику функции f (x);

2)угловой коэффициент касательной в точке (x0 , f (x0 )) равен f ′(x0 ), а само уравнение касательной получается из уравнения (6.1.3) предельным переходом в правой части при x = x1 −x0 → 0 и принимает вид

Вывод 1 (геометрический смысл производной). Производная f ′(x0 ) в

точке x0 есть угловой коэффициент касательной в этой точке, т. е. равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ox, (рис. 6.2)

f ′(x0 ) = k0 = tg α0 .

Вернемся к уравнению касательной (6.1.5) и заметим, что приращение зависимой переменной линейной функции, определяемой (6.1.5) и соответствующей приращению независимого аргумента x равно дифференциалу функции, вычисленному в точке касания x0 :

Вывод 2 (геометрический смысл дифференциала). Дифференциал d f = f ′(x0 ) x, вычисленный при заданных x0 и x, равен приращению y координаты y уравнения касательной, проведенной к графику y = f (x) в

точке (x0 , f (x0 )).

На рис. 6.2 величина дифференциала d f обозначается отрезком AB. Отрезок AC равен приращению функции f , а отрезок BC представляет бесконечно малую более высокого порядка малости o( x) = BC. В этих обозначениях формула приращения функции (6.1.1) принимает вид AC = AB + BC. Геометрический смысл формулы приближенного вычисления (6.1.1) состоит в том, что мы пренебрегаем величиной отрезка BC (при достаточно малых значениях x!) и считаем, что приближенно выполняется равенство f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + AB (рис. 6.2).

206

ЗАМЕЧАНИЕ 6.1.1. На рис. 6.1 и рис. 6.2 мы ограничились изображением случая x = x1 −x0 > 0, полагая, что существование предела (6.1.4) соответствует совпадению левого предела при x = x1 −x0 < 0 и правого предела при x > 0, когда x → 0. Может случится, что в точке x0 существуют левый

ке x0 существуют левая и правая производные, не равные друг другу. Это означает, что в точке x0 существуют

в точке x0 = 0 имеет левую производную и левую касательную и не имеет правой производной и правой касательной.

6.1.6. Непрерывность и дифференцируемость

Функция f (x), дифференцируемая в точке x0 , будет в этой точке непрерывной. Это следует из формулы для приращений (6.1.2) для дифференцируемой функции. Действительно, согласно этой формуле и свойству абсо-

Согласно этому неравенству для любого ε > 0 достаточно взять δ < ε ,

C

тогда будет

| x| < δ = | f | < C,

207

что означает непрерывность в точке x0 .

Обратное утверждение в общем случае не верно. Функция, непрерывная в точке x0 может в этой точке не иметь производной. Рассмотрим два примера.

В этом примере при x = 0 не существует ни левая, ни правая производная, хотя эта функция непрерывная в точке x = 0.

Не имеет производной при x = 0 функция f (x) из упражнения 6.1.2 предыдущего пункта. Для нее f ′(x0 −0) = cos 0 = 1, а f ′(0 + 0) не определена.

§6.2. Свойства операции дифференцирования

Множество элементарных функций определялось в п 0.6.4 вводится как результат арифметических операций ±, ×, div, а также взятия обратной функции f −1 и композиции двух и более функций f ◦g ◦. . . ◦ϕ совершаемых в начале над тремя основными функциями ax + b, sin x, loga x, а затем над уже полученными функциями. Поэтому, чтобы выполнить дифференцирование произвольной элементарной функции, надо вывести правила дифференцирования исходных основных элементарных функций и указанных выше операций. Производные трех основных элементарных функций мы вычислили в п 6.1.3. В этом параграфе мы научимся дифференцировать указанные выше три типа операций.

6.2.1.Дифференцирование арифметических операций

Теорема 6.2.1. (арифметические свойства производной). Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x, тогда

a) их сумма и разность дифференцируемы в x, причем

(f (x) ±g(x))′ = f ′(x) ±g′(x);

b)их произведение дифференцируемо в точке x, причем

( f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x),

208

вчастности (C f (x))′ = C f ′(x), если C —const;

c)их частное дифференцируемо в x, и, если g(x) 6= 0, то

(x) ′ = f (x)′g(x) − f (x)g′(x) . (x) g2 (x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. a) используя определение производной и свойство предела суммы, запишем

f (x + x) ±g(x + x) −( f (x) ±g(x)) =

g(x + x) = g(x) + g. Тогда, по определению производной, с учетом арифметических свойств предела, находим

c) вначале преобразуем отношение приращения функции f (x)/g(x) к приращению аргумента x, предварительно заметив, что из дифференцируемости g(x) в точке x следует непрерывность g(x) и то, что g(x) =6 0 влечет это свойство g(x + x) =6 0 в некоторой окрестности x, поэтому определено

свойства предела, заключаем, что левая часть этих равенств стремится по

209