- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ
- •Элберт Хаббард
- •ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •ГЛАВА 1
- •ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ТЕОРИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
- •1. ЧТО ТАКОЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ?
- •2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ – ИНСТРУМЕНТ ПОЗНАНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ
- •4. ПРОЕКЦИОННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ – АНАЛОГ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
- •Свойства центрального проецирования
- •Свойства параллельного проецирования
- •5. МЕТОД ДВУХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
- •6. МОДЕЛЬ ТОЧКИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ
- •ВЫВОДЫ
- •ПРЯМАЯ ЛИНИЯ И ПЛОСКОСТЬ
- •1. ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •4. ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •5. РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСНОВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
- •Проецирующая плоскость
- •Плоскость уровня
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •Задача № 3
- •Порядок выполнения
- •Задача № 4
- •Порядок выполнения
- •Задача № 5
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 3
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
- •1. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
- •1.1. ПРЯМАЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
- •1.2. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ
- •Линии уровня
- •Линии наибольшего наклона плоскости
- •2. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
- •2.1. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
- •2.2. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
- •2.3. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
- •2.4. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСЕЙ, ЛЕЖАЩИХ В ПЛОСКОСТЯХ ПРОЕКЦИЙ (СОВМЕЩЕНИЕ С ПЛОСКОСТЯМИ ПРОЕКЦИЙ)
- •2.5. ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •ГЛАВА 4
- •ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
- •1.1. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ
- •1.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)
- •1.3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ
- •2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
- •2.1. ПЛОСКОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
- •2.2. ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ)
- •2.3. ПЛОСКОСТИ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
- •3. ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
- •4. ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
- •4.1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
- •4.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •4.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •Задача № 3
- •Порядок выполнения
- •Задача № 4
- •Порядок выполнения
- •Задача № 5
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 5
- •1. ОБ АНАЛОГИИ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ «ФУНКЦИЯ» И «ОТОБРАЖЕНИЕ»
- •2. ПЕРСПЕКТИВНАЯ КОЛЛИНЕАЦИЯ
- •Теорема Дезарга
- •Гомология
- •3. ПЕРСПЕКТИВНО-АФФИННОЕ (РОДСТВЕННОЕ) СООТВЕТСТВИЕ
- •4. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ГОМОЛОГИЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 6
- •ПРОЕКЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ
- •1. ВНЕШНЯЯ ФОРМА ПРЕДМЕТОВ И НЕОБХОДИМОСТЬ ВЫЯВЛЕНИЯ ИХ ВНУТРЕННИХ КОНТУРОВ
- •2. СИСТЕМЫ РАСПОЛОЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
- •3. ВИДЫ
- •3.1. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ
- •3.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВИДЫ
- •3.3. МЕСТНЫЕ ВИДЫ
- •4. РАЗРЕЗЫ
- •4.1. ВИДЫ РАЗРЕЗОВ
- •4.2. ОБОЗНАЧЕНИЕ РАЗРЕЗОВ
- •5. СЕЧЕНИЯ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •КРИВЫЕ ЛИНИИ
- •1. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •2. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •4. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ ЛИНИИ
- •5. УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
- •6. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ
- •7. КРИВИЗНА КРИВОЙ
- •8. КРУГ КРИВИЗНЫ
- •9. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА
- •10. КРИВИЗНА ОКРУЖНОСТИ
- •11. КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •11.1. ЭЛЛИПС
- •11.2. ПАРАБОЛА
- •11.3. ГИПЕРБОЛА
- •12. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
- •13. ПРОЕКЦИИ КРИВЫХ ЛИНИЙ
- •14. ЭЛЛИПС – ФИГУРА, РОДСТВЕННАЯ ОКРУЖНОСТИ
- •15. ОКРУЖНОСТЬ В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •15.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
- •15.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ МАЛОЙ ОСИ ЭЛЛИПСА С ПРИМЕНЕНИЕМ ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 8
- •КРИВЫЕ ЛИНИИ, ИМЕЮЩИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ.
- •ОБВОДЫ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1. НЕКОТОРЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ, ИМЕЮЩИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
- •1.1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
- •Циклоида
- •Эпициклоиды
- •Гипоциклоиды
- •1.2. СПИРАЛИ
- •1.3. ПОДЕРЫ
- •2.ПЛОСКИЕ СОСТАВНЫЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ (ОБВОДЫ) ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.1. АППРОКСИМАЦИЯ ТОЧЕЧНЫХ МАССИВОВ
- •2.3. ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ КРИВЫХ
- •2.4. ПОРЯДОК ГЛАДКОСТИ ОБВОДОВ
- •2.5. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБВОДОВ
- •2.5.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДУГАМИ ОКРУЖНОСТЕЙ
- •2.5.2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •2.5.3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ОБВОДОВ СПЛАЙН-ФУНКЦИЯМИ
- •ВЫВОДЫ
- •ГЛАВА 9
- •МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И МНОГОГРАННИКИ.
- •СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1. МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •2. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ
- •3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ
- •5. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
- •6. РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
- •6.1. СПОСОБ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
- •6.2. СПОСОБ РАСКАТКИ
- •6.3. СПОСОБ ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ТРИАНГУЛЯЦИИ)
- •7. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •СЛОЖНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •2. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.1. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ЛИНИИ
- •2.2. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ ПОМОЩИ ДВИЖУЩЕЙСЯ ПОВЕРХНОСТИ
- •3. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •3.1. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •3.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •3.3. ПРИМЕР АНАЛИТИЧЕСКОГО СПОСОБА ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
- •4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •4.1. ТРЕХГРАННИК ФРЕНЕ
- •4.2. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
- •5. КРИВЫЕ ЛИНИИ НА СФЕРЕ
- •6. КАСАТЕЛЬНЫЕ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ЕЕ НА СТАНКАХ С ЧПУ
- •7.2. КАРКАСНО-КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ И ВИНТОВЫЕ
- •1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
- •3. ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
- •3.1. СФЕРА
- •3.2. ЦИЛИНДР ВРАЩЕНИЯ
- •3.3. КОНУС ВРАЩЕНИЯ
- •3.4. ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ
- •4. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •4.1. ПРЯМОЙ ГЕЛИКОИД
- •4.2. ДРУГИЕ ВИДЫ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •1. СПОСОБ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЕМ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
- •2.1. КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •2.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •3. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- •3.1. ЦИЛИНДРОИД
- •3.2. КОНОИД
- •3.3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД (КОСАЯ ПЛОСКОСТЬ)
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Порядок выполнения
- •ГЛАВА 13
- •РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1. ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ
- •1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
- •1.2. ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
- •2. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.1. ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
- •2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •2.3. ПРИМЕРЫ РАЗВЕРТЫВАНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •Прямой круговой цилиндр
- •Наклонный цилиндр
- •Конус
- •2.4. РАЗВЕРТКИ НЕРАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Порядок выполнения
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •Задача № 3
- •Порядок выполнения
- •Создание конуса с вырезом
- •Создание развертки
- •Задача № 4
- •Порядок выполнения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
- •2. СУТЬ СПОСОБА ПОЛУЧЕНИЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
- •5. СТАНДАРТНЫЕ ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
- •5.1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЯ
- •5.1.1. ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ИЗОМЕТРИИ
- •5.2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДИМЕТРИЯ
- •6. КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •6.1. ФРОНТАЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
- •6.2. ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
- •6.3. ФРОНТАЛЬНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
- •ВЫВОДЫ
- •ГЛАВА 15
- •1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МАКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
- •1.3. ЗАДАНИЕ РАЗМЕРОВ
- •1.3.1. БАЗИРОВАНИЕ И БАЗЫ
- •1.3.2. КОЛИЧЕСТВО РАЗМЕРОВ ДЛЯ ПОЛНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМЫ ДЕТАЛЕЙ
- •1.3.3. РАЗМЕРЫ ФОРМЫ И РАЗМЕРЫ ПОЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •1.3.4. КОНСТРУКТИВНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БАЗ
- •1.4. НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ
- •1.5. ОСЕВЫЕ И ЦЕНТРОВЫЕ ЛИНИИ
- •2. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МИКРОГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ
- •ВЫВОДЫ
- •УПРАЖНЕНИЕ
- •Задача № 1
- •Задача № 2
- •Порядок выполнения
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 12 ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Способ образования поверхностей движением прямой линии ≈ Линейчатые поверхности с одной направляющей – торсовые поверхности ≈ Конические поверхности ≈ Цилиндрические поверхности ≈ Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) ≈ Цилиндроид ≈ Коноид ≈ Гиперболический
параболоид (косая плоскость)
1. СПОСОБ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДВИЖЕНИЕМ ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Поверхность называется ЛИНЕЙЧАТОЙ, если она образована непрерывным перемещением прямой линии в пространстве по определенному закону. Таким законом может быть ее движение по некоторым направляющим линиям.
Из определения линейчатой поверхности следует, что ее образующая в каждый момент времени должна занимать строго определенное положение. Другими словами, число образующих должно составлять однопараметрическое множество ∞1.
Все множество прямых пространства четырехпараметрично – (∞4), так как прямая пространства определяется системой уравнений
y = k1x + b1,
z= k2x + b2,
вкоторой имеются четыре независимых параметра – коэффициенты k1, k2, b1, b2.
266 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
На рис. 1 показаны две проекции прямой l, заданной отрезком |АВ|. Уравнения этих проекций содержат по два коэффициента – k и b.
Рис. 1
Рассмотрим движение прямой, пересекающей одну или несколько кривых линий. Множество прямых, пересекающих одну кривую линию а, трехпараметрично и называется комплексом. Множество прямых, пересекающих две данные кривые a и b, двухпараметрическое и называется КОНГРУЭНЦИЕЙ. Следовательно, по индукции утверждаем, что множество прямых, пересекающих три данные кривые a, b, c, будет однопараметрическим, т. е. выделяет в пространстве линейчатую поверхность. Значит, для образования линейчатой поверхности необходимо иметь три направляющие линии. Но могут ли быть какие то исключения? Какие еще могут быть варианты однозначного выделения в пространстве линейчатой поверхности?
Вернемся к случаю с одной направляющей (рис. 2). (Заметили ли вы, что увеличение числа направляющих постепенно уменьшает «параметризацию» поверхности?)
Г л а в а 12. Линейчатые поверхности |
267 |
Рис. 2
Через любую точку кривой можно провести связку прямых линий, которые образуют двухпараметрическое множество, а вся кривая линия как направляющая определит трехпараметрическое множество прямых заполняющих все пространство. Никакая поверхность этими прямыми не выделяется, за исключением одного случая, а именно, когда только одна прямая линия (образующая) движется так, что все время касается направляющей линии. Такая образующая описывает линейчатую поверхность, которая называется ТОРСОВОЙ (о ней будет идти речь дальше).
Возьмем две направляющие кривые линии а и b (рис. 3). Отметим на кривой а некоторую точку А и примем ее за вершину конической поверхности α с
направляющей b. Задавая другое положение точки А – А1 и принимая ее также за вершину конической поверхности, получим при той же направляющей b отсек новой конической поверхности α1 . Таким образом, получается двухпа-
раметрическое множество прямых (конгруэнция). Эти прямые заполняют собой некоторый отсек пространства (тело конгруэнции) и не определяют собой поверхность.
Рис. 3
268 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Возьмем три направляющие a, b и c (рис. 4). Выделим на направляющей а точку А, через которую проходит, по крайней мере, одна образующая, пересекающая две другие направляющие b и c. Точка А и направляющая b определяют коническую поверхность α, которую направляющая с может пересекать в
одной или нескольких точках (действительных, мнимых), – Сi. Прямые АСi, очевидно, пересекают направляющую b. Таким образом, при перемещении точки А по кривой а прямые АСi опишут линейчатую поверхность.
Рис. 4
Однако следует иметь в виду, что нельзя за направляющие брать три различные по форме и произвольно расположенные линии. Произвольно можно задавать только две направляющие, форму и положение третьей направляющей выбирают так, чтобы она находилась внутри конгруэнции прямых, определяемой двумя уже взятыми направляющими.
Наглядное изображение линейчатой поверхности с тремя направляющими показано на рис. 5. Такую поверхность называют косым цилиндром с тремя направляющими.
Итак, все многообразие линейчатых поверхностей может быть получено движением образующей либо по одной, либо по трем направляющим. При этом должны соблюдаться определенные условия. Например, при движении по одной направляющей таким условием является непрерывное касание образующей в каждой точке направляющей, а при движении по трем направляющем только две из них могут занимать произвольное положение. Кроме того,
Г л а в а 12. Линейчатые поверхности |
269 |
Рис. 5
третья направляющая может быть удалена в бесконечность и заменена так называемой плоскостью параллелизма.
Таким образом, все линейчатые поверхности можно разделить на три группы.
1.Линейчатые поверхности с одной направляющей.
2.Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма.
3.Линейчатые поверхности с тремя направляющими.
Линейчатая поверхность описывается уравнением
r = r(u, v) = r0(u) + vn(u),
где r0(u) – заданная точка на прямой с параметром u, а n(u) – направляющий вектор этой прямой (рис. 6).
Рис. 6
270 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Параметр v дает расстояние между точками r(u, v) и r0(u).
На рис. 6 буквой m обозначена направляющая, буквой l – образующая. Вторая направляющая не показана.
2.ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
СОДНОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ – ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность, образованная непрерывным перемещением касательной прямой к некоторой пространственной кривой линии, называется ТОРСОМ (рис. 7). Направляющая кривая торсовой поверхности называется РЕБРОМ ВОЗВРАТА, поэтому такую поверхность иногда называют поверхностью с ребром возврата.
Рис. 7
Ребро возврата представляет собой геометрическую часть определителя. Торсовую поверхность можно совместить с плоскостью без складок и разрывов, последовательно изгибая ее по образующим, и получить, таким образом, ее развертку. Торсовая поверхность состоит из двух полостей, границей кото-