выделенных из пространства и подчиненных определенным условиям. Из пространства R2 могут быть выделены только точки и плоские фигуры; из пространства R3 – точки, плоскости и пространственные фигуры, которые считаются погруженными в пространство R3 .

4. ПРОЕКЦИОННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ – АНАЛОГ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

Из элементарной геометрии вы уже знакомы с понятием «отображение». Давайте вспомним: отображением фигуры (множества точек) F на фигуру (множество точек) F′ мы называем такое соответствие между ними, когда каждой точке M фигуры F отвечает единственная точка фигуры F′. Можно сказать, что отображение – это либо сам процесс приведения в соответствие точек разных фигур, либо результат этого приведения. Заметим, что в этом случае ОТОБРАЖЕНИЕ является геометрическим аналогом однозначной функции.

Вы знакомы с двумя видами отображения – движением и подобием. Более сложным видом отображения, чем движение и подобие, является проецирование.

Операция проецирования используется для сопоставления элементов двух пространств: исходного (операционного) и картины (обычно плоскости). Эта операция заключается в проведении проецирующих лучей из како-

го-то центра через определенные точки пространства до пересечения с некоторой поверхностью (плоскостью), которую еще называют картиной. В зависимости от положения центра относительно картины различают два случая: центральное проецирование и параллельное проецирование. Выберем в пространстве некоторую плоскость П′ и произвольную точку S , расположенную вне этой плоскости (рис. 1).

Точка S называется центром проекций, а плоскость П′ – плоскостью проекций (картиной). Совокупность S и П′ образует аппарат проецирования. Имея его, мы можем построить проекции произвольно взятых точек А и В. Для этого проводим прямые SA и SB (проецирующие лучи) и продолжаем их до пересечения с картиной в точках A′ и B′. Точки A′ и B′ являются центральными проекциями точек А и В.

Рис. 1

Свойства центрального проецирования

а) Все точки пространства R3 имеют свою определенную проекцию, исключение – точка S. Для нее определенность утрачивается и любая точка на картине может считаться ее проекцией.

б) По одной проекции точки нельзя судить о ее положении в пространстве, так как на проецирующей прямой находится множество других точек, которые имеют одну и ту же проекцию. Следовательно, отображение точек простран-

ства R3 на картину оказывается однозначным лишь в одну сторону: любой

чек в R3 .

Такое соответствие является одно-многозначным и называется гомоморфным. Центральная проекция (фотография, перспективный рисунок) как таковая, без дополнительной информации об объекте, – это гомоморфная модель объекта, обладающая только наглядностью. По одному рисунку или фотоснимку нельзя изготовить объект в натуре, так как эти изображения необратимы.

в) Прямая линия проецируется в прямую. Это видно из того, что треугольник SAB (рис. 1) определяет собой плоскость, а плоскость пересекается с другой плоскостью (в данном случае с П′) по прямой линии (отрезок A′B′). Связку прямых с центром S условились называть ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ЗВЕЗДОЙ.

Операция проецирования может действовать не только в R3 , но и в R2 , как, впрочем, и в пространствах другой размерности.

14 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Точки, расположенные на одной проецирующей прямой, называются КОНКУРИРУЮЩИМИ. Они проецируются в одну точку. Пример: точки В и С – конкурирующие, их проекции B′ и C′совпадают.

тору S и мы получаем ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ – частный ва-

риант центрального (рис. 2). Проецирующие лучи могут проходить к картине под любым углом. Если угол не прямой, то проецирование называется КОСОУГОЛЬНЫМ, если прямой – ПРЯМОУГОЛЬНЫМ (ортогональным). Прямоугольное параллельное проецирование является основным методом получения изображений в технических чертежах.

Свойства параллельного проецирования

а) Параллельные прямые проецируются в параллельные прямые. На рис. 2 показано, что прямая, заданная отрезком AB , и луч BB′ образуют плоскость α, а прямая, заданная отрезком DC , и луч CC′ – плоскость β. Из стереометрии известно, что если