2014_ivleva

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

______________________________________________________________________

А. М. ИВЛЕВА, П. И. ПРИЛУЦКАЯ, И. Д. ЧЕРНЫХ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Издание четвертое, исправленное и дополненное

НОВОСИБИРСК

2014

Предисловие к четвертому изданию

Необходимость нового издания вызвана прежде всего тем, что задач- ников в библиотеке стало недостаточно. Кроме того, в процесс работы с книгой всегда выявляются все-таки допущенные опечатки и, главное, какие-то, по мнению авторов, требующие исправления недоработки. Поэтому новое издание не есть копия предыдушего. Нумерация и число глав и разделов сохранились, но некоторые разделы переработаны, дополнены и пополнены новыми задачами. За исключением раздела 1.2, новые задачи добавлены после уже имевшихся, чтобы по возможности сохранить нумерацию задач и преемственность изданий.

Основные изменения коснулись следующих разделов. В разделе 1.2 (комлексные числа) расширено теоретическое описание и добавлены новые задачи. Существенно переработан раздел 5.2: появились удобные сводные таблицы с различными уравнениями прямых и плоскостей, добавлено значительное число новых задач. Дополнен раздел 7.4 о жордановых формах.

Все замеченные опечатки исправлены, но борьба с ними продолжается, и авторы по-прежнему будут признательны всем внимательным читателям, которые их заметят и доведут до сведения авторов.

Авторы, 2013

3

Предисловие к третьему изданию

Изначально это пособие задумывалось как сборник задач по основам линейной алгебры и аналитической геометрии, знакомство с которыми должен (по замыслу авторов) поддерживать любой уважающий себя студент НГТУ. По мере создания сборника возникла весьма продуктивная идея в начале каждого раздела поместить минимум теоретических сведений, а также примеры решения задач. Опять-таки по замыслу авторов, это должно способствовать выработке студентами навыков, необходимых для решения задач и по возможности успешной сдачи экзамена. В результате внедрения этой идеи и ее развития (в сторону увеличения упомянутого выше минимума ) объем книги вырос более чем вдвое, что, в частности, позволило именовать ее уже не просто сборником задач, а учебным пособием.

Структура этого пособия и связи между разделами изображены на следующей схеме. В главе 1 вводятся некоторые базовые понятия совре-

менной математики (множества, числовые поля, многочлены), без кото-

#

4

рых дальнейшее плавание в морях линейной алгебры является если не совсем невозможным, то уж наверняка чрезвычайно затруднительным. Конечно, эти разделы представляют известный интерес и сами по себе в чистом виде. К сожалению, мы не имеем возможности рассмотреть их подробнее, поэтому глава 1 содержит лишь совершенно необходимые основы основ . В главе 2 читатель знакомится с понятиями матрицы и определителя, а также систем линейных уравнений, которые также являются базовыми и необходимыми. Эти понятия по сути своей не сложны, хотя обычно при их изучении возникают определенные затруднения, связанные с некоторой необычностью и непривычностью материала. Поверьте, эта необычность вполне оправданна, что станет понятно при дальнейшем изучении линейной алгебры и многих других наук. В главах 3 4 содержатся важные сведения из жизни геометрических векторов, в главе 5 описываются кривые и поверхности первого порядка, т. е. прямые и плоскости. Глава 6 завершает ознакомление читателя с системами линейных уравнений. Заметим, что ее можно читать непосредственно после второй. Последние главы 7 9 начинают знакомство читателя с тем, что на самом деле и называется линейной алгеброй. Это понятия линейного оператора, линейного и евклидова пространства, квадратичной формы, а также некоторые их приложения. К этим главам рекомендуется приступать только после освоения материала предыдущих глав.

Каждая глава содержит примеры решения типовых задач; решения

заканчиваются квадратиком ( ) в конце. Новые термины, определяе-

:

мые в тексте, выделяются курсивом. Значок =, встречающийся в тексте, следует читать равно по определению или положим по определению . Равенства или условия, объединенные фигурной скобкой, считаются выполненными одновременно, тогда как если они объединены квадратной скобкой, это означает, что должно выполняться, по крайней мере, одно из них. Жирным шрифтом в тексте выделяются ключевые слова, на которые следует обратить особое внимание. Кроме того, для облегчения усвоения материала текст снабжен многочисленными сносками. Помимо традиционных сносок1, содержащих некоторые замечания к тексту, чи- татель встретит еще сноски другого типа. Они как нельзя более серьезны и содержат сложные примеры, замечания и углубленные разъяснения, которые можно пропустить при первом (а иногда и при втором) чтении. Такие сноски выделяются жирным шрифтом2 . Задачи повышенной сложности помечаются звездочкой.

1Постарайтесь не путать номер сноски с верхним индексом.

2Не расстраивайтесь, если вам не все понятно в сноске такого вида.

Глава 1

Основные понятия

1.1.Множества

Множеством мы будем называть любую совокупность произвольных объектов. Объекты, входящие в множество, называются его элемента-

ìè. Запись a 2 A (a 62A) означает: элемент a принадлежит (не принадлежит) множеству A.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ;.

Множество, содержащее все элементы рассматриваемых в данном контексте множеств, называется универсальным1 и обозначается U.

Обозначения множеств: A = fx1; : : : ; xng множество A состоит из элементов x1; : : : ; xn; A = fx 2 Mj (x)g множество A состоит из элементов x множества M, обладающих свойством (x).

Пример 1. A = fxjx = 2n; n 2 Zg множество четных чисел.

Кванторы всеобщности и существования

Часто математические утверждения бывает удобно записывать с помощью специальных значков кванторов. Квантор всеобщности âû-

глядит так: 8 и читается для любого . Квантор существования (9) чи- тается существует . Если в цепочке кванторов встречается символ j, åãî

следует читать такой(-ая,-ое), что .

Кванторы используются следующим образом:

8x 2 M (x) : для любого элемента x из множества M справедливо

свойство (x).

9x 2 M (x) : существует элемент x из множества M, äëÿ êîòî-

рого верно свойство (x).

9!x 2 M (x) : существует единственный элемент x из множества

M, для которого выполняется свойство (x).

1Можно было бы, конечно, определить U как множество ВСЕХ элементов,

но такое определение с точки зрения аксиоматической теории множеств некорректно, поскольку приводит к знаменитому парадоксу Б. Рассела.

7

Пример 2. Выражение 9M > 0j8x 2 D f(x) < M читается сле-

дующим образом: существует число M > 0 такое, что для любого элемента x множества D выполняется f(x) < M.

Множество A называется подмножеством множества B, åñëè

8x 2 A x 2 B . Обозначение: A B.

Множества A и B называются равными2 , если A B и B A. Обозначение: A = B.

Åñëè A B è A 6= B, пишем A B.

Операции над множествами

Объединением (суммой) множеств A и B называется множество, содержащее как элементы A, так и элементы B:

A [ B = fxjx 2 A èëè x 2 Bg:

Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество, содержащее только элементы, принадлежащие A и B одновременно:

A \ B = fxjx 2 A è x 2 Bg:

Разностью множеств A и B называется множество, содержащее элементы A и не содержащее элементы B:

A n B = fxjx 2 A è x 2= Bg:

Дополнением множества A называется множество, содержащее все элементы универсального множества U, кроме элементов A:

A = U n A = fxjx 2= Ag:

Декартовым произведением множеств A и B называется следующее множество упорядоченных пар:

A B = fhx; yijx 2 A è y 2 Bg:

Здесь и в дальнейшем с помощью треугольных скобок мы будем обозначать как раз упорядоченные наборы.

2Разумеется, если A и B конечные множества, то их равенство означает, что

они содержат одни и те же элементы. Хотя это же верно и для бесконечных множеств, для последних поэлементное сравнение не представляется возможным. Приведенное определение корректно для любых множеств.

8

Декартово произведение A A обозначают также A2, A A A = A3 è ò. ä.3

Диаграммы Эйлера Венна

Операции над множествами удобно для наглядности демонстрировать на так называемых диаграммах Эйлера Венна. На них универсальное

множество U ассоциируется с множеством точек квадрата, а рассматри-

ваемые множества с его подмножествами, традиционно изображаемыми в виде кругов.

Числовые множества

N = f0; 1; 2; : : : ; n; : : :g множество натуральных чисел.

8x; y 2 N x + y 2 N; x y 2 N относительно

операций сложения и умножения).

Z = f: : : ; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g множество целых чисел.

8x; y 2 Z x + y 2 Z; x y 2 Z; x y 2 Z , ò. å. Z замкнуто уже

относительно сложения, умножения и вычитания.

Q = fxjx = pq ; p; q 2 Z; q 6= 0g множество рациональных чисел. = множество иррациональных чисел, элементы которого представ-

ляются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

R = Q [ = множество вещественных (или действительных) чисел. Если P любое числовое множество, то P+ обозначает множество всех неотрицательных чисел из P, à P множество всех ненулевых

чисел из P:

P+ = fx 2 Pjx 0g; P = P n f0g:

Выполняются следующие вложения:

N Z Q R:

3На самом деле, если подходить формально, декартово произведение не является ассоциативным, т. е. A (B C) 6= (A B) C. Но давайте считать, что

A B C это множество упорядоченных троек, A B C D множество упорядоченных четверок и т. д. Это даст нам законное основание писать An 8n 2.

9

Пример 3. Доказать тождество A \ B = A [ B.

Решение

а) Докажем, что если x 2 A \ B, òî x 2 A [ B.

x 2 A \ B ) x 2 U è x 62A \ B ) x 62A èëè x 62B ) x 2 A èëè x 2 B ) x 2 A [ B;

таким образом, A \ B A [ B.

б) Докажем, что если x 2 A [ B, òî x 2 A \ B:

x 2 A [ B ) x 62A èëè x 62B ) x 62A \ B ) x 2 A \ B;

таким образом, A [ B A \ B и, следовательно, A \ B = A [ B, что и требовалось доказать.

1.1.Задачи

1.Перечислите элементы множеств:

à) A = fx 2 Njx2 3x 4 0g;

2. Даны множества: A = ( 1; 2]; B = [1; 4). Найдите множества: а) A [ B; á) A \ B; â) A n B; ã) B n A.

3. Изобразите на координатной плоскости множества: а) f(x; y)jx2 y2 > 0; x; y 2 Rg;

á) f(x; y)jy2 2x + 1; x; y 2 Rg.

4.Перечислите элементы декартова произведения множеств A è B, åñëè A = f1, 2, 4g, B = fa; bg.

5.Даны множества: A = fx 2 Zjx2 2x 15 0g; B = f2xjx 2 Zg;

C = f2x + 1jx 2 Zg: Перечислите элементы множеств A, A \ B; A \ C; A n B; A n C; B [ C; B \ C.

6. Докажите следующие тождества, используя только определения операций над мноæåствами:

à) A n B = A \ B; á) B \ (A n B) = ;;

â) B [ (A n B) = A [ B;

ã) A [ A = U;

ä) A \ A = ;:

Проиллюстрируйте их с помощью диаграмм Эйлера Венна 4 . 7. Перечислите все подмножества множества A:

à) A = ff1; 2g; f3g; 1g; á) A = ff1g; f2g; 1; 2g.

4Заметим, что саму иллюстрацию с помощью диаграмм Эйлера Венна никак нельзя считать доказательством, она служит только для наглядности.

10